空间向量法解决立体几何问题.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,利用空间向量解决立体几何问题,数学专题二,学习,提纲,二、立体几何问题的类型及解法,1,、判断直线、平面间的位置关系；,(1),直线与直线的位置关系,;,(2),直线与平面的位置关系,;,(3),平面与平面的位置关系,;,2,、求解空间中的角度；,3,、求解空间中的距离。,1,、直线的方向向量；,2,、平面的法向量,。,一、引入两个重要空间向量,一,.,引入两个重要的空间向量,1.,直线的方向向量 把,直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为,直线的方向向量,.,如图,在空间直角坐标系中,由,A,(,x,1,y,1,z,1,),与,B,(,x,2,y,2,z,2,),确定的直线,AB,的方向向量是,z,x,y,A,B,2.,平面的法向量,如果表示向量,n,的有向线段所在的直线垂直于平面,称这个向量垂直于平面,记作,n,这时向量,n,叫做,平面,的法向量,.,n,3.,在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢,?,如图,设,a,=(x,1,y,1,z,1,),、,b,=(x,2,y,2,z,2,),是平面,内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若,na,且,nb,则,n,.,换句话说,若,na=0,且,nb=0,则,n,.,a,b,n,(1),求平面的法向量的坐标的一般步骤第一步,(,设,),:,设出平面法向量的坐标为,n,=(x,y,z).,第二步,(,列,):,根据,na=0,且,nb=0,可列出方程组,第三步,(,解,):,把,z,看作常数,用,z,表示,x,、,y.,第四步,(,取,):,取,z,为任意一个正数,(,当然取得越特 殊越好,),便得到平面法向量,n,的坐标,.,例,1,在棱长为,2,的正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,O,是面,AC,的中心,求面,OA,1,D,1,的法向量,.,A,A,A,B,C,D,O,A1,B1,C1,D1,z,x,y,解：以,A,为原点建立空间直角坐标系,O-xyz,设平面,OA,1,D,1的法向量的法向量为,n,=(x,y,z),那么,O(1,，,1,，,0),，,A,1,(0,，,0,，,2),，,D,1,(0,，,2,，,2),得平面,OA,1,D,1,的法向量的坐标,n,=(2,0,1).,取,z=1,解得,:,得,:,由,=,（,-1,，,-1,，,2,），,=,（,-1,，,1,，,2,）,(2),求平面的法向量的坐标的特殊方法,:,第一步,:,写出平面内两个不平行的向量,a=(x,1,y,1,z,1,),b=(x,2,y,2,z,2,),第二步,:,那么平面法向量为,二,.,立体几何问题的类型及解法,1.,判定直线、平面间的位置关系,(1),直线与直线的位置关系,不重合的两条直线,a,b,的方向向量分别为,a,b,.,若,a,b,即,a=b,则,ab.,若,ab,即,ab=0,则,ab,a,b,a,b,例,2,已知平行六面体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,的底面,ABCD,是菱形,C,1,CB=C,1,CD=BCD=,求证,:C C,1,BD,A1,B1,C1,D1,C,B,A,D,证明：设,a,b,c,依题意有,|,a,|=|,b,|,，,于是,a b,=,c(a b)=ca cb,=|c|a|cos,|c|b|cos,=0,C C,1,BD,(2),直线与平面的位置关系,直线,L,的方向向量为,a,平面,的法向量为,n,且,L .,若,a,n,即,a,=n,则,L,若,an,即,an=0,则,a .,n,a,n,a,L,L,例,3,棱长都等于,2,的正三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,D,E,分别是,AC,CC,1,的中点,求证,:,(1)A,1,E,平面,DBC,1,;,(2)AB,1,平面,DBC,1,A1,C1,B1,A,C,B,E,D,z,x,y,解：以,D,为原点，,DA,为,x,轴，,DB,为,y,轴建立空间直角坐标系,D-xyz.,则,A(-1,0,0),B(0,0),E(1,0,1),A,1,(-1,0,2),B,1,(0,2),C,1,(1,0,2).,设平面,DBC,1,的法向量为,n,=(x,y,z),则,解之得 ，,取,z=1,得,n,=(-2,0,1),(1),=-n,从而,A,1,E,平面,DBC,1,(2),而,n=,-2+0+2=0,AB,1,平面,DBC,1,(3),平面与平面的位置关系,平面,的法向量为,n,1,平面,的法向量为,n,2,若,n,1,n,2,即,n,1,=n,2,则,若,n,1,n,2,即,n,1,n,2,=0,则,n,2,n,1,n,1,n,2,例,4,正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,、,F,分别是,BB,1,、,CD,的中点,求证,:,平面,AED,平面,A,1,FD,z,x,y,A,B,C,D,F,E,A1,B1,C1,D1,证明,:,以,A,为原点建立如图所示的的直角坐标系,A-xyz,平,面,AED,平面,A,1,FD,n,1,n,2,=-2+0+2=0,同理可得平面,A,1,FD,的法向量为,n,2,=(2,0,1),取,z=2,得,n,1,=(-1,0,2),解得：,设平面,AED,的法向量为,n,1,=(x,y,z),得,于是 ，,设：正方体的棱长为,2,那么,E(2,0,1),A1(0,0,2),F(1,2,0),D(0,2,0),2.,求空间中的角,(1),两异面直线的夹角,利用向量法求两异面直线所成的夹角,不用再把这两条异面直线平移,求出两条异面直线的方向向量,则两方向向量的夹角与两直线的夹角相等或互补,我们仅取锐角或直角就行了,.,例,5,如图在正方体,ABCD-A1B1C1D1,中,M,是,AB,的中点,则对角线,DB,1,与,CM,所成角的余弦值为,_.,B,C,A,M,x,z,y,B1,C1,D1,A1,C,D,解,:,以,A,为原点建立如图所示的直角坐标系,A-xyz,设正方体的棱长为,2,那么,M(1,0,0),C(2,2,0),B,1,(2,0,2),D(0,2,0),cos=|cos|,设,DB,1,与,CM,所成角为,与 所成角为,于是：,(2),直线与与平面所成的角,若,n,是平面,的法向量,a,是直线,L,的方向向量,设,L,与,所成的角,n,与,a,所成的角,则,=-,或,=-,于是,因此,n,n,a,a,例,6,正三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,的底面边长为,a,高为 ，求,AC,1,与侧面,ABB,1,A,1,所成的角。,z,x,y,C1,A1,B1,A,C,B,O,解,:,建立如图示的直角坐标系,则,A(,0,0),B(0,0)A,1,(,0,).C(-,0,),设面,ABB,1,A,1,的法向量为,n,=(x,y,z),得,由 ，解得 ，,取,y=,得,n,=(3,0),，,设 与,n,夹角为,而,故：,AC,1,与侧面,ABB,1,A,1,所成的角大小为,30.,（,3,）二面角,设,n,1,、,n,2,分别是二面角两个半平面,、的法向量，由几何知识可知，二面角,-L-,的大小与法向量,n,1,、,n,2,夹角相等（选取法向量竖坐标,z,同号时相等）或互补（选取法向量竖坐标,z,异号时互补），于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角，这样可避免了二面角的平面角的作图麻烦,.,n,1,n,2,n,1,n,2,例,7,在四棱锥,S-ABCD,中,DAB=ABC=90,，侧棱,SA,底面,AC,，,SA=AB=BC=1,，,AD=2,，求二面角,A-SD-C,的大小,.,z,x,y,A,B,C,D,S,解：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则 B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）.,设平面SCD的法向量,n,1,=(x,y,z),则由,得,n,1,=(1,1,2).,而面SAD的法向量,n,2,=(1,0,0).,于是二面角A-SD-C的大小满足,二面角A-SD-C的大小为 .,3.,求解空间中的距离,(1),异面直线间的距离,两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段,只需利用向量的正射影性质直接计算,.,如图,设两条异面直线,a,、,b,的公,垂线的方向向量为,n,这时分别在,a,、,b,上任取,A,、,B,两点,则向量在,n,上的正射影长就是两条异面直线,a,、,b,的距离,.,即,两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值,.,n,a,b,A,B,例,8,在棱长为,1,的正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,求异面直线,AC,1,与,BD,间的距离,.,z,x,y,A,B,C,D,D1,C1,B1,A1,解,:,建立如图所示的空间直角坐标系,A-xyz,则,A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C,1,(1,1,1),设异面直线,AC,1,与,BD,的公垂线的方向向量,n,=(x,y,z),则由,得,n,=(-1,-1,2).,异面直线,AC,1,与,BD,间的距离,(2),点到平面的距离,A,为平面,外一点,(,如图,),n,为平面,的法向量,过,A,作平面,的斜线,AB,及垂线,AH.,=,=.,于是，,点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值,.,n,A,B,H,例,9,在直三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中,AA1=,AC=BC=1,ACB=90,求,B,1,到面,A,1,BC,的距离,.,z,x,y,C,C1,A1,B1,A,B,解,:,以,C,为原点建立空间直角坐标系,C-xyz,则,C(0,0,0),A1(1,0,),B(0,1,0),B1(0,1,).,设面,A,1,BC,的法向量,n,=(x,y,z),由 得,n,=(-,0,1).,或,或,可见,选择平面内外两点的向量时,与平面内的点选择无关,.,会求了点到平面的距离,直线到平面、平面到平面间的距离都可转化为求点到平面的距离来求,.,例,10,四棱锥,P-ABCD,的底面,ACBD,是菱形,AB=4,ABC=60,侧棱,PA,底面,AC,且,PA=4,E,是,PA,的中点,求,PC,与平面,PED,间的距离,.,x,z,y,P,B,E,A,D,C,F,解,:,以,A,为原点、,AB,为,x,轴、,ACD,中,CD,边上的高,AF,为,y,轴、,AP,为,z,轴建立空间直角坐标系,则,F,为,CD,的中点,于是,A(0,0,0),B(4,0,0),F(0,2 ,0),C(2,2 ,0),D(-2,2 ,0),P(0,0,4),E(0,0,2).,设面,BED,的法向量,n,=(x,y,z),由,得,n,=(1,2).,n,2+6-8=0,，故,PC,面,BED,PC,到面,BED,的距离就是,P,到面,BED,的距离,.,空间向量理论引入立体几何中，通常涉及到夹角、平行、垂直、距离等问题，其方法是不必添加繁杂的辅助线，只要,建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量运算解决立体几何问题,。这样使问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理问题完全转化为代数运算，降低了思维难度，这正是在立体几何中引进空间向量的独到之处。,