高中数学 第三章函数的应用方程的根与函数的零点课件 新人教版必修1 课件.ppt

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第三章 函数的应用,人教,A,版数学,3,1,函数与方程,3,1.1,方程的根与函数的零点,1,函数,y,x,2,1,与,x,轴交点坐标为,方程,x,2,1,0,的实数根为,.,函数,y,x,2,与,x,轴交点坐标为,方程,x,2,0,的实数根为,.,函数,y,x,2,1,与,x,轴交点,方程,x,2,1,0,的实数根,(1,0),，,(,1,0),x,1,(0,0),x,0,无,无,2,一般地，一元二次方程,ax,2,bx,c,0(,a,0),的实数根及其相应的二次函数,y,ax,2,bx,c,(,a,0),的图象与,x,轴交点的关系如下表，请填写,b,2,4,ac,函数,y,ax,2,bx,c,图象,方程的实根,y,ax,2,bx,c,与,x,轴的交点,结论,0,方程的实根即函数图象与,x,轴交点的横坐标,0,0,无,无,3.,对于函数,y,f,(,x,),，我们把使,的实数,x,叫做函数,y,f,(,x,),的零点,方程,f,(,x,),0,有实数根,函数,y,f,(,x,),的图象与,有交点,函数,y,f,(,x,),有,点,4,若函数,y,f,(,x,),在区间,a,，,b,上的图象是连续曲线，且有,，则函数,y,f,(,x,),在区间,(,a,，,b,),内有零点，即存在,c,(,a,，,b,),使得,f,(,c),.,f,(,x,),0,x,轴,零,f,(,a,),f,(,b,)0,0,本节重点难点：通过方程与函数的关系，确定方程根的存在性和根的个数,1,一般结论,如果函数,y,f,(,x,),在区间,a,，,b,上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有,f,(,a,),f,(,b,)0,，那么，函数,y,f,(,x,),在区间,(,a,，,b,),内有零点即存在,c,(,a,，,b,),，使得,f,(,c,),0,，这个,c,就是方程,f,(,x,),0,的根零点,c,通常称作函数,f,(,x,),的变号零点,注意：,f,(,x,),的图象必须在区间,a,，,b,上,连续不断,且,f,(,a,),f,(,b,)0,时，才可确定,f,(,x,),在,a,，,b,上有零点,2,函数变号零点的性质,对于任意函数,y,f,(,x,),，只要它的图象是连续不间断的，则有：,当它通过变号零点时，函数值变号如函数,f,(,x,),x,2,2,x,3,的图象在零点,1,的左边时，函数值取正号，当它通过零点,1,时，函数值由正变为负，再通过第二个零点,3,时，函数值又由负变正,在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号,3,方程的根与函数的零点的作用,一方面，函数是否有零点是研究函数性质和精确地画出函数图象的重要一步例如，求出二次函数的零点及其图象的顶点坐标，就能确定二次函数的一些主要性质，并能粗略地画出函数的简图,另一方面，对于不能用公式法求根的方程,f,(,x,),0,来说，我们可以将它与函数,y,f,(,x,),联系起来，利用函数的性质找出零点或所在范围，从而求出方程的根或根的近似值,例,1,1.,指出下列函数的零点：,f,(,x,),4,x,3,f,(,x,),x,2,3,x,2,f,(,x,),x,4,1,2,函数,f,(,x,),x,2,ax,b,的两个零点是,2,和,4,，求,a,、,b,.,3,函数,f,(,x,),ax,2,x,1,仅有一个零点，求实数,a,的取值范围,(1),指出下列函数的零点：,f,(,x,),x,2,2,x,3,零点为,_,g,(,x,),lg,x,2,零点为,_,(2),已知,1,和,4,是函数,f,(,x,),ax,2,bx,4,的零点，则,f,(1),_.,例,2,二次函数,y,ax,2,bx,c,中，,a,c,0,，则函数的零点个数是,(,),A,1,个,B,2,个,C,0,个,D,无法确定,分析,分析条件,a,c,0,，,a,是二次项系数，确定抛物线的开口方向，,c,f,(0),，所以,a,c,a,f,(0)0,、,0,、,0,，,f,(,b,)0,，则函数,f,(,x,),在区间,(,a,，,b,),内,(,),A,一定有零点,B,一定没有零点,C,可能有两个零点,D,至多有一个零点,(2),若函数,f,(,x,),在定义域,x,|x,R,且,x,0,上是偶函数，且在,(0,，,),上为减函数，,f,(2),0,，则函数,f,(,x,),的零点有,(,),A,一个,B,两个,C,至少两个,D,无法判断,答案,(1)C,(2)B,分析,从已知的区间,(,a,，,b,),，求,f,(,a,),和,f,(,b,),判断是否有,f,(,a,),f,(,b,)0.,总结评述：,这是最基本的题型，所用的方法也是基本方法：只要判断区间,a,，,b,的端点函数值的乘积是否有,f,(,a,),f,(,b,)0.,若函数,y,f,(,x,),在区间,(,2,2),上的图象是连续不断的曲线，且方程,f,(,x,),0,在,(,2,2),上仅有一个实数根,0,，则,f,(,1),f,(1),的值,(,),A,大于,0 B,小于,0,C,无法判断,D,等于零,答案,C,解析,当有变号零点时,f,(,1),f,(1)0,，故选,C.,例,4,求函数,f,(,x,),(,x,2,x,2)(,x,2,2,x,8),的零点，并指出使,y,0,成立的,x,的取值范围,解析,y,(,x,2,x,2)(,x,2,2,x,8),(,x,2)(,x,1)(,x,2)(,x,4),(,x,2),2,(,x,1)(,x,4),函数的零点为,2,1,和,4,画出示意图：,可知使,y,0,成立的,x,的取值范围是区间,(1,4),在求使,y,0),的,x,的取值范围时，常根据零点的性质画出示意图，在数轴上标出零点，画曲线时，奇过,(,乘方次数为奇数，即变号零点,),偶不过,(,乘方次数为偶数，即不变号零点,),直接据图示写出,x,的取值范围这种方法通常称作,“,标根法,”,(,或,“,穿根法,”,),例,5,已知函数,f,(,x,),在其定义域上是单调函数，证明,f,(,x,),至多有一个零点,分析,不妨设,f,(,x,),在,R,上是增函数，为证明,f,(,x,),0,至多有一个实根，考虑用反证法证明,证明,假设,f,(,x,),0,至少有两个不同的实根,x,1,，,x,2,，且不妨设,x,1,x,2,，由题意得,f,(,x,1,),0,，,fx,2,),0.,f,(,x,1,),f,(,x,2,),f,(,x,),在其定义域上是单调函数，不妨设为增函数，由,x,1,x,2,则,f,(,x,1,)1,时，,f,(,x,)0,，,从而不存在,x,1,，使,f,(,x,),0,，,方程,f,(,x,),0,没有大于,1,的实数根,错解,f,(1),20,，,f,(,1),20,，,f,(,x,),至少有一个零点，故选,C.,辨析,解决函数问题必须注意函数的定义域，本题中，函数,f,(,x,),定义域为,(,，,0),(0,，,),，,f,(,x,),的图象不是连续不断的在定义域上不能用勘根定理因为此定理的前提条件是函数图象,连续不断,正解,易知函数定义域为,x,R,|,x,0,，当,x,0,时，,f,(,x,)0,时，,f,(,x,)0,，,函数无零点，故选,A.,一、选择题,1,已知函数,f,(,x,),在区间,a,，,b,上单调，且,f,(,a,),f,(,b,)0,则方程,f,(,x,),0,在区间,a,，,b,上,(,),A,至少有一实根,B,至多有一实根,C,没有实根,D,必有惟一的实根,答案,D,2,若方程,2,ax,2,x,1,0,在,(0,1),内恰有一解，则,a,的取值范围是,(,),A,a,1,C,1,a,1 D,0,a,1,答案,B,解析,a,0,时，显然不满足，令,f,(,x,),2,ax,2,x,1,，,f,(,x,),0,在,(0,1),内恰有一解,f,(0),f,(1)0,，,即,1(2,a,2)1.,选,B.,3,已知函数,f,(,x,),的图象是连续不断的，有如下的,x,、,f,(,x,),对应值表：,函数,f,(,x,),在区间,1,6,上的零点至少有,(,),A,2,个,B,3,个,C,4,个,D,5,个,答案,B,x,1,2,3,4,5,6,f,(,x,),123.56,21.45,7.82,11.57,53.76,126.49,4,(2010,天津理，,2),函数,f,(,x,),2,x,3,x,的零点所在的一个区间是,(,),A,(,2,，,1)B,(,1,0),C,(0,1)D,(1,2),答案,B,二、填空题,5,已知函数,f,(,x,),在定义域,R,上的图象如图所示，则函数,f,(,x,),在区间,R,上有,_,个零点,答案,3,6,(,上海大学附中,2009,2010,高一期末,),函数,y,10,x,与函数,y,x,2,的图象交点个数为,_,答案,2,