1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.1.1,曲线与方程,解析几何在平面上建立直角坐标系：,点,P,曲线,C,f,（,x,，,y,）,=0,曲线,C,划分的区域,f,（,x,，,y,）,0,）,对应,这些对应关系沟通了几何与代数，使我们可以借助代数方法研究几何问题，也可以借助图形研究代数问题，而联系两者的有力工具是坐标法。,（,x,，,y,）,x,y,0,曲线与方程对应包含两方面：,（）曲线上点的坐标都是方程的解,（）以这个方程解为坐标的点都是曲线上的点,试证以（,a,，,b,）为圆心，,r,为半径的圆的方程为(,x-a),2,+(y-b)
2、2,=r,2,证明：,（）如点（,x,0,，,y,0,）在圆上，则点（,x,0,，,y,0,）到（,a,，,b,）的距离为,r,，则坐标满足方程(,x-a),2,+(y-b),2,=r,2,（）如（,x,0,，,y,0,）满足方程(,x-a),2,+(y-b),2,=r,2,，则以（,x,0,，,y,0,）为坐标的点,M,到（,a,，,b,）的距离为,r,，满足圆的定义，从而点,M,（,x,0,，,y,0,）在圆上。从而得证。,称这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。,例：证明与两条坐标轴距离的积是常数,k,（,k0,）的点的轨迹是,xy,k,。,解析几何主要研究的问题：,（,）根
3、据已知条件，求出表示曲线的方程,（）通过曲线的方程，研究曲线的性质。,下面主要探讨求曲线的方程,：,一、直接法：求轨迹方程最基本的方法，直接通过建立,x,，,y,之间的关系，构成（,x,，,y,）即可。,例：设，两点坐标为（，），（，）求线段垂直平分线方程。,(1),由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程的解；,由（,1,）、（,2,）可知，方程是所求轨迹的方程,.,（,2,）设点,M,1,的坐标,(,x,1,y,1,),是方程的解，那么,x,1,y,1,=,k,即,x,1,y,1,=,k,.,而,x,1,、,y,1,正是点,M,1,到纵轴、横轴的距离，因此点,M,1,到这两条直线的距离
4、的积是常数,k,，点,M,1,是曲线上的点,.,证明结论,归纳求曲线方程一般步骤：,（,）“建系取点”，由已知几何问题，建立适当的平面直角坐标系，用（,x,，,y,）表示曲线上任意一点的坐标。,（）条件列式：据几何条件写出满足题设的点集合,（）代换：将点的坐标带入几何条件（），列出方程,f,（,x,，,y,）,（）化简方程：尽可能通过同解变形化简上述方程。,（）查漏补缺：验证方程所表示的曲线是否所求动点,的轨迹。,一般地，由于化简方程是同解变形，上述步骤（）可省略不写。,下面继续探讨求曲线的方程,：,二、定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程。,例：若动点
5、到定点（，）的距离与到定直线,y,距离的比为定值，求动点的轨迹方程。,下面继续探讨求曲线的方程,：,三、代入法：又称相关点法,其特点是：动点,M,（,x,，,y,）的坐标取决于已知曲线,C,上的点（,x,0,，,y,0,）的坐标，可先用,x,，,y,表示,x,0,，,y,0,，,再带入曲线,C,的方程，即得点,M,的轨迹方程。,例3：若,ABC,的两个顶点,B,，,C,的坐 标 分别是（-1，0）和（2，0），顶点,A,在直线,y=x,上移动，求,ABC,重心,G,的轨迹方程。,下面继续探讨求曲线的方程,：,四、参数法：选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标,x,，,y,，得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其普通方程。,例4：已知点,C,的坐标是（2，2），过点,C,的直线,CA,与,x,轴交于点,A,，过点,C,且与直线,CA,垂直的直线与,y,轴交于点,B,，设点,M,是线段,AB,的中点，求点,M,的轨迹方程。,y,x,0,C,A,B,M,归纳：选参数时必须首先考虑到制约动点的各种因素，然后再选取合适的参数，常见的参数有角度、直线的斜率、点的坐标、线段长度等。,小结：,1.理解曲线的方程与方程的曲线的对应关系包含的两方面。,2.掌握求曲线方程的一般步骤：,建系取点,条件列式,代换,化简方程,查漏补缺,3.求轨迹方程的常见方法：,直接法,定义法,代入法,参数法。,
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