高中数学 第一章 推理与证明 14 数学归纳法课件2 北师大版选修2 2 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.4,数学归纳法,第一阶段,:,输入阶段,创设问题情境，启动学生思维,不完全归纳法和完全归纳法对比引例,有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些他给每人一筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答案大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生显然，二徒弟比大徒弟聪明,这则故事对我们有什么重要启示？,事物都是一分为二的，我们应该辩证地看问题，要学会灵活使用不完全归纳法。,第一阶段,:,输入阶段,回顾数学旧知，追溯归纳意识,这是,不完全归纳法,这是,完全归纳法,已知数列 前四项分别是,写出该数列的一个通项公式,利用判别式总结直线和椭圆位置关系时需要分哪几种情况进行讨论？,需要分 和 三种情况进行讨论。,第一阶段,:,输入阶段,借助数学史料,促使学生思辨,问题,1,已知 ，,(nN,*,),。,(1),分别求,.(2),由此你能得到一个什么结论,?,这个结论正确吗,?,问题,2 ,当,n,N,时，是否都为质数？验证：,f,（,0,）,41,，,f,（,1,）,43,，,f,（,2,）,47,，,f,（,3,）,53,，,f,（,4,）,61,，,f,（,5,）,71,，,f,（,683,，,f,（,7,）,97,，,f,（,8,）,113,，,f,（,9,）,131,，,f,（,10,）,151,，,，,f,（,39,）,1 601,但是,f,（,40,）,1 681,，是合数,多米诺骨牌,第二阶段,:,新旧知识相互作用阶段,搜索生活实例，激发学习兴趣,多米诺骨牌游戏成功的关键有两点：,(1),第一张牌被推倒；,(2),假如某一张牌倒下,则它的后一张牌必定倒下于是,我们可以下结论：多米诺骨牌会全部倒下,搜索：,再举几则生活事例：车棚里整齐排放的自行车被推倒,烽火台传递信息，早操排队对齐等,第二阶段,:,新旧知识相互作用阶段,探究数学问题，领悟方法真谛,问题探究：不等式 对于哪些正整数,n,都成立？证明你的结论。,（,1,）,结论的发现：,当 时，原不等式成立。,（,2,）,尝试证明：,结论的发现要通过大量的实验，如何改进刚才无穷无尽的实验方法？比如,n=4,时的情况。,已知,n=3,时，不等式成立，即,能否由此出发来证明不等式当,n=4,时也成立即 。等价于问题：已知 ，求证：,（,不用直接计算）,第二阶段,:,新旧知识相互作用阶段,探究数学问题，领悟方法真谛,现在已知,n=4,时，不等式成立，以此出发来证明,当,n=5,时，不等式也成立。即已知 ，,求证：,可以仿照刚才的证明那样，只要把,3,改成,4,，把,4,改成,5,就可以了。,刚才的,证明与实验的不同之处,是什么？,第二阶段,:,新旧知识相互作用阶段,探究数学问题，领悟方法真谛,不同之处是：,试验一次与另一次的均不同，要做无穷多次，永远做不完。而现在做的，虽然也要做无穷多次，但都是类似的，本质上是相同的。,做一次可以顶很多次了,。那么,能否,把刚才的问题,一般化,？,已知 ，求证：,证明这个命题的意义是什么？体现了什么数学思想？,意义在于将无穷多次重复的实验浓缩为一个具体步骤，体现了递推思想。,第二阶段,:,新旧知识相互作用阶段,探究数学问题，领悟方法真谛,思考与交流,1,：,能否把刚才的思维过程,用关键性的几个步骤表示出来？,（,1,）验证当,n=3,时原不等式成立；,（,2,）假设当 时不等式成立，即 。则当,n=k+1,时,所以根据（,1,），（,2,）不等式 对任何 都成立。,第二阶段,:,新旧知识相互作用阶段,引导学生概括，形成科学方法,通过刚才问题的探讨，相信给大家留下了深刻的印象，请同学们类比刚才不等式问题的证明总结概括一下如何证明一个与正整数,n,有关的数学命题？它有哪几个关键步骤？,证明一个与正整数,n,有关的数学命题的,关键步骤,如下：,（,1,）证明当,n,取第一个值 时命题成立；,（,2,）假设当 时命题正确，证明当,n=k+1,时命题也正确。完成这两个步骤后，就可以断定命题对从 开始的所有正整数,n,都正确。,这种证明与正整数,n,有关的命题的方法叫,数学归纳法,。,第三阶段,:,操作阶段,方法初步应用，培养反思意识,例,1,证明：首项为 ，公差为,d,的等差数列 的前,n,项和公式为,证明：,（,1,）当,n=1,时，命题显然成立；,（,2,）假设当,n=k,时命题成立，即 则当,n=k+1,时，,由（,1,），（,2,）可知，对于任意的正整数,n,有,第三阶段,:,操作阶段,方法初步应用，培养反思意识,思考与交流,2,：,有同学第二步采用下面的证法：假设,n=k,时命题成立，即 则当,n=k+1,时，因为,所以,即当,n=k+1,时命题也成立。你认为这样证明正确吗？为什么？,这样证明,不正确,，因为在第二步,没有使用归纳假设,，所以不是数学归纳法的证明。,第四阶段,:,总结巩固阶段,师生共同小结，完成概括提升,本节课学习的主要内容是什么？什么叫归纳法？它分为哪几种类型？各有什么特点？数学归纳法的基本原理是什么？使用要点是什么？本节课主要涉及到哪些数学思想方法？,2,、归纳法是一种,由特殊到一般,的推理方法，它可以分为,完全归纳法和不完全归纳法,；,完全归纳法,只局限于,有限个元素,，而,不完全归纳法,得出,的结论不一定,具有,可靠,性，,数学归纳法属于完全归纳法,。,3,、数学归纳法的基本原理是,递推（递归）思想,，使用要点可概括为：,两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设须用到，结论写明不能忘；,1,、本节课的主要内容是,归纳法和数学归纳法,；,4,、本节课涉及到的数学思想方法有：,递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想和辩证唯物主义思想。,第四阶段,:,总结巩固阶段,布置课后作业，巩固延伸升华,课本,19,页习题,1,4,第,1,，,3,题,补充作业：,已知数列 中，,（,1,）计算 的值，并推测通项 的公式；,（,2,）用数学归纳法证明你的结论。,