高中数学 第一章 立体几何初步 173 球课件 北师大版必修2 课件.ppt

7.3,球,7,.,3,球,1,.,理解球的截面,并能解决相关问题,.,2,.,了解圆的切线的相关概念,记住球的表面积和体积公式,.,3,.,会用球的表面积公式和体积公式进行有关计算,并能解决一些简单的实际问题,.,1,.,球的截面,(1),如图,用一个平面,去截半径为,R,的球,O,截面是,圆面,O,则球心与截面圆心的连线,OO,垂直,于截面,.,设球心到截面的距离为,d,O,的半径为,r,则有如下关系,:,R,2,=,r,2,+d,2,.,(2),球面被经过球心的平面截得的圆叫作,球的大圆,;,被不经过球心的平面截得的圆叫作,球的小圆,.,2,.,球的切线,当直线与球有唯一交点时,称直线与圆,相切,其中它们的交点称为直线与球的切点,过球外一点的所有切线的长度都,相等,.,3,.,球的体积,4,.,球的表面积,设球的半径为,R,那么它的表面积,S=,4,R,2,.,说明,:(1),球的表面积和体积公式均是关于球的半径的函数,.,(2),球的表面不像柱体、锥体和台体那样可以展开在一个平面上,即使是球面上任意小的一块,也不能展开在一个平面上,因此球的表面没有展开图,.,【做一做,1,】,直径为,6,的球的表面积和体积分别是,(,),A.144,144,B.144,36,C.36,144,D.36,36,答案,:,D,【做一做,2,】,8,个半径为,1,的铁球,熔化成一个大球,则大球的表面积是,.,答案,:,16,【做一做,3,】,过球的某一条半径的中点,作一个垂直于这条半径的截面,截面面积为,48 cm,2,求球的表面积,.,题型一,题型二,题型三,题型四,【例,1,】,在球内有相距为,1,的两个平行截面,截面面积分别是,5,和,8,球心不在两截面之间,求球的表面积,.,分析,:,求球的表面积或体积只需要求出球的半径,要求球的半径只需解球的半径、截面圆半径和球心到截面的距离组成的直角三角形,.,题型一,题型二,题型三,题型四,解,:,设球的半径为,R,过截面圆圆心作垂直于截面的球的轴截面,(,过轴的截面,),如图所示,.,圆,O,是圆心在球心的圆,A,1,B1,A,2,B,2,分别是两个平行截面圆的直径,.,过圆心,O,作,OC,1,垂直,A,1,B,1,于点,C,1,并延长交,A,2,B,2,于点,C,2,.,因为,A,1,B,1,A,2,B,2,所以,OC,2,A,2,B,2,.,由圆的性质可得,C,1,和,C,2,分别是,A,1,B,1,和,A,2,B,2,的中点,.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思,球的轴截面,(,过球心的截面,),是将球的问题转化为圆的问题的关键,因此必须抓住球的轴截面,利用其性质列出方程,(,组,),求球的半径,进而解决问题,.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练,1,】,三个球的半径之比为,1,2,3则最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的,(,),答案,:,C,题型一,题型二,题型三,题型四,反思,计算球的体积或体积的简单应用都需要认真解决球的半径问题,.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练,2,】,一个平面截一球得到直径为,6 cm,的圆面,球心到这个截面的距离为,4 cm,则球的体积为,.,解析,:,如图所示,由已知,O,1,A=,3,cm,OO,1,=,4,cm,R=OA=,5,cm,题型一,题型二,题型三,题型四,【例,3,】,在球面上有四个点,P,A,B,C,如果,PA,PB,PC,两两互相垂直,且,PA=PB=PC=a,求这个球的体积,.,分析,:,因为,PA,PB,PC,是两两互相垂直且相等的三条棱,所以可以将三棱锥,P-ABC,看成一个正方体的一角,P,A,B,C,四点在球面上,所以此球可视为以,PA,PB,PC,为相邻三条棱的正方体的外接球,其直径为正方体的体对角线,.,题型一,题型二,题型三,题型四,解,:,设球的半径为,R,因为,PA,PB,PC,两两互相垂直,且,PA=PB=PC=a,所以以,PA,PB,PC,为相邻三条棱可以构造正方体,.,又因为,P,A,B,C,是球面上的四点,所以球是所构造的正方体的外接球,正方体的体对角线是球的直径,反思,与球有关的组合体问题,通常有两种情况,:,一种是内切,一种是外接,.,解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,.,球与旋转体的组合,通常作它们的轴截面,球与多面体的组合,通常通过多面体的一条侧棱和球心,或,“,切点,”“,接点,”,作出截面图,.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练,3,】,有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比,.,解,:,设正方体的棱长为,a.,正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个正方形的中心,经过四个切点及球心作截面,如图甲,所以有,2,r,1,=a,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,易错点,考虑问题不全而致误,【例,4,】,一个球内有相距,9 cm,的两个平行截面,面积分别为,49,cm,2,和,400,cm,2,求球的表面积,.,错解,:,如图所示,设,OD=x,cm,由题,意,知,CA,2,=,49,CA=,7,cm,.,又,BD,2,=,400,BD=,20,cm,.,设球的半径为,R,cm,则有,(,CD+DO,),2,+CA,2,=R,2,=OD,2,+DB,2,即,(9,+x,),2,+,7,2,=x,2,+,20,2,x=,15,R=,25,.,S,球,=,4,R,2,=,2,500,cm,2,.,错因分析,:,本题出现错解的原因在于考虑不周,由于球心可能在两个截面之间,也可能在两个截面的同一侧,因此解决此题要分类讨论,.,题型一,题型二,题型三,题型四,正解,:,(1),当球心在两个截面的同侧时,解法同错解,.,(2),当球心在两个截面之间时,如图所示,设,OD=x,则,OC=,9,-x.,设球的半径为,R,可得,x,2,+,20,2,=,(9,-x,),2,+,7,2,=R,2,此方程无正数解,即此种情况不可能,.,综上可知,球的表面积是,2,500,cm,2,.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练,4,】,设球,O,的半径为,5,一个内接圆台的两底面半径分别是,3,和,4,求圆台的体积,.,解,:,如图所示,分两种情况,1 2 3 4 5,答案,:,B,1 2 3 4 5,2.,如果两个球的半径之比为,1,3,那么这两个球的表面积之比为,(,),A.1,9B.1,27C.1,3D.1,1,解析,:,设两个球的半径分别为,R,1,R,2,答案,:,A,1 2 3 4 5,3.,两个球的表面积之差为,48,它们的大圆周长之和为,12,则这两个球的半径之差为,(,),A.4B.3C.2D.1,解析,:,设两个球的半径分别为,R,r,(,Rr,),.,由题意,知,答案,:,C,1 2 3 4 5,4.,一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为,2 cm,的球面上,如果正四棱柱的底面边长为,1 cm,那么该正四棱柱的侧面积为,.,1 2 3 4 5,5.,某个几何体的三视图如图所示,(,单位,:m),.,求,:(1),该几何体的表面积,(,结果保留,);,(2),该几何体的体积,(,结果保留,),.,1 2 3 4 5,