高中数学 第三章 函数 3131 函数的奇偶性课件 新人教B版必修1 课件.ppt

3.1.3,函数的奇偶性,第,1,课时函数的奇偶性,1.,函数的奇偶性,前提,函数,f(x),定义域,D,内的,任意一个,x,，,都有,-xD,，,条件,且,f(-x)=f(x),且,f(-x)=-f(x),结论,则称,y=f(x),为偶函数,则称,y=f(x),为奇函数,【,思考,】,函数的奇偶性定义中，“对于定义域,D,内任意一个,x,，都有,-xD”,，那么奇偶函数的定义域有什么特征？,提示：,奇偶函数的定义域关于原点对称,.,2.,奇偶函数的图像特征,(1),函数是偶函数图像关于,y,轴对称；,(2),函数是奇函数图像关于原点对称,.,【,思考,】,(1),如果奇函数在原点处有定义，则其图像有什么特征？,提示：,图像过原点，即,f(0)=0.,(2),有没有一个函数既是奇函数，又是偶函数？,提示：,有,.,如,f(x)=0,的图像为,x,轴，即关于,y,轴对称，又关于原点对称，因此既是奇函数，又是偶函数,.,【,素养小测,】,1.,思维辨析,(,对的打“”，错的打“,”),(1),奇函数的图像一定过原点,.(,),(2),如果定义域内存在,x,0,，满足,f(-x,0,)=f(x,0,),，,函数,f(x),是偶函数,.(,),(3),若对于定义域内的任意一个,x,，都有,f(x)+,f(-x)=0,，则函数,f(x),是奇函数,.(,),提示：,(1),.,不一定，如函数,f(x)=.,(2),.,不符合定义，必须对于定义域内的任意一个,x,都成立,.,(3).,若,f(x)+f(-x)=0,，则,f(-x)=-f(x).,2.,下列图像表示的函数具有奇偶性的是,(,),【,解析,】,选,B.B,选项的图像关于,y,轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性,.,3.,若,f(x),为,R,上的奇函数，且,f(2)=3,，则,f(-2),=_.,【,解析,】,因为,f(x),为,R,上的奇函数，,所以,f(-2)=-f(2)=-3.,答案：,-3,类型一函数奇偶性的判断,【,典例,】,1.,函数,f(x)=-2x,的图像关于,(,),A.y,轴对称,B.,坐标原点对称,C.,直线,y=-x,对称,D.,直线,y=x,对称,2.,判断下列函数的奇偶性：世纪金榜导学号,(1)f(x)=|2x-1|-|2x+1|.,(2)f(x)=,【,思维,引,】,1.,先判断函数的奇偶性，再判断图像的对称性,.,2.,根据函数奇偶性的定义判断,.,【,解析,】,1.,选,B.,函数的定义域,A=x|x0,，,所以,xA,时，,-xA,，且,f(-x)=-+2x,=-=-f(x),，,所以,f(x),为奇函数，故图像关于坐标原点对称,.,2.(1),因为,xR,，,f(-x)=|-2x-1|-|-2x+1|,=-(|2x-1|-|2x+1|)=-f(x),，所以,f(x),是奇函数,.,(2),方法一：作出函数图像如图：,关于原点对称，所以函数是奇函数,.,方法二：当,x0,时，,f(x)=1-x,2,，此时,-x0,，,所以,f(-x)=(-x),2,-1=x,2,-1,，,所以,f(-x)=-f(x),；当,x0,，,f(-x)=1-(-x),2,=1-x,2,，,所以,f(-x)=-f(x),；当,x=0,时，,f(-0)=-f(0)=0.,综上，对,xR,，总有,f(-x)=-f(x),，所以,f(x),为,R,上,的奇函数,.,【,内化,悟,】,函数具有奇偶性的前提是什么？,提示：,定义域关于原点对称,.,【,类题,通,】,判断函数奇偶性的两种方法,(1),定义法：,(2),图像法：,【,发散,拓,】,如果两个函数,f(x),，,g(x),具有奇偶性，且有共同的,定义域，那么,f(x)g(x),、,f(x)g(x),、,(g(x)0),有以下规律：偶,偶,=,偶、奇,奇,=,奇、,偶,偶,=,偶、偶,奇,=,奇、奇,奇,=,偶，相除时类似于,相乘的情况,.,【,延伸,练,】,设,f(x),是,R,上的任意函数，则下列叙述正确的是,(,),A.f(x)f(-x),是奇函数,B.f(x)|f(-x)|,是奇函数,C.f(x)-f(-x),是偶函数,D.f(x)+f(-x),是偶函数,【,解析,】,选,D.,当,xR,时，,-xR,，,A,中，,设,g(x)=f(x)f(-x),，则,g(-x)=f(-x),f(x)=g(x),，,为偶函数；,B,中，设,g(x)=f(x)|f(-x)|,，则,g(-x)=f(-x),|f(x)|,非奇非偶函数；,C,中，设,g(x)=f(x)-f(-x),，则,g(-x)=f(-x)-f(x),=-g(x),，为奇函数；,D,中，设,g(x)=f(x)+f(-x),，则,g(-x)=f(-x)+f(x),=g(x),，所以,f(x)+f(-x),是偶函数,.,【,习练,破,】,判断下列函数的奇偶性：,(1)f(x)=(2)f(x)=x,3,+x.,(3)f(x)=,【,解析,】,(1)f(x)的定义域是,A=(-,，,1),(1,，,+),，,-1A,，但,1,A,，所以,f(x),为非奇非偶函数,.,(2)f(x)=x,3,+x,的定义域是,R,，当,xR,时，,-xR,，且,f(-x)=-f(x),，所以,f(x),为奇函数,.,(3),函数的定义域为,R,，当,xR,时，,-xR,，,当,x0,时，,-x0,，则,f(-x)=-(-x)+1=x+1=f(x),；,当,x=0,时，,f(-x)=f(x)=1,；,当,x0,，,f(-x)=-x+1=f(x).,综上，对任意,xR,，都有,f(-x)=f(x),，所以,f(x),为偶函数,.,【,加练,固,】,函数,f(x)=x,2,的图像关于,(,),A.y,轴对称,B.,直线,y=-x,对称,C.,坐标原点对称,D.,直线,y=x,对称,【,解析,】,选,A.f(x),的定义域为,x|x0,，,又,f(-x)=-(-x),2,=-x,2,=f(x).,所以,f(x),是偶函数，所以其图像关于,y,轴对称,.,类型二奇偶函数图像的应用,【,典例,】,1.,如图，给出了奇函数,f(x),的局部图像，,那么,f(1),等于,(,),A.-4B.-2,C.2D.4,2.,设偶函数,f(x),的定义域为,-5,，,5,，且,f(3)=0,，当,x0,，,5,时，,f(x),的图像如图所示，则不等式,xf(x)0,的解集是,_.,世纪金榜导学号,【,思维,引,】,1.,奇函数关于原点对称，点,(-1,，,f(-1),的对称点为,(1,，,-f(-1).,2.,利用偶函数的图像性质作出,x-5,，,0,上的图像，分两种情况讨论求不等式的解集,.,【,解析,】,1.,选,B.,由函数的图像可得,f(-1)=2,，又由函数为奇函数，则,f(1)=-f(-1)=-2.,2.,因为,f(x),为偶函数，且由图像可得在,0,，,3),上，,f(x)0,，,则在,-5,，,-3),上，,f(x)0,，在,(-3,，,0,上，,f(x)0,，,xf(x)0,所以,-5x-3,或,0 x1,时，,f(x)=-1,，则,f(-2)=(,),【,解析,】,选,B.,根据题意，当,x1,时，,f(x)=-1,，,则,f(2)=-1=,，又由函数,f(x),为奇函数，,则,f(-2)=-f(2)=-.,2.,已知函数,f(x)=ax,2,+bx+c(-2a-3x1),是偶函数，则,a=_,，,b=_.,【,解析,】,因为,f(x),是偶函数，所以其定义域关于,y,轴对,称,.,所以,-2a-3=-1.,所以,a=-1.,所以,f(x)=-x,2,+bx+c.,因为,f(-x)=f(x),，所以,-(-x),2,+b(-x)+c=-x,2,+bx+c.,所以,-b=b,，所以,b=0.,答案：,-1,0,【,加练,固,】,若,f(x)=ax,2,+bx+c(a0),是偶函数，则,g(x)=ax,3,+bx,2,+cx,是,(,),A.,奇函数,B.,偶函数,C.,非奇非偶函数,D.,既是奇函数又是偶函数,【,解析,】,选,A.,因为,f(x)=ax,2,+bx+c(a0),是偶函数，,所以,f(x)=f(-x),，即,ax,2,+bx+c=ax,2,-bx+c,，所以,b=0,，,所以,g(x)=ax,3,+bx,2,+cx=ax,3,+cx,，所以,g(-x)=-(ax,3,+cx),=-g(x),，所以,g(x),是奇函数,.,