高中数学 第三章 函数 3132 函数奇偶性的应用课件 新人教B版必修1 课件.ppt

第2课时,函数奇偶性的应用,类型一利用函数的奇偶性求解析式,【,典例,】,已知,f(x),是定义在,R,上的奇函数，,x0,时，,f(x)=x,2,-2x-3,，求,f(x),的解析式,.,世纪金榜导学号,【,思维,引,】,利用奇偶性分别求出当,x=0,，,x0,时的解析式,.,【,解析,】,因为,f(x),是定义在,R,上的奇函数，所以,f(0)=0,，,若,x0,，,则,f(-x)=(-x),2,-2(-x)-3=x,2,+2x-3,，,又由函数,f(x),为奇函数，则,f(x)=-f(-x)=-x,2,-2x+3,，,故,f(x)=-x,2,-2x+3,，所以函数,f(x)=,【,内化悟,】,对于奇函数，怎样处理在,x=0,处的解析式？,提示：,考查在,x=0,处是否有意义，如果有则,f(0)=0.,【,类题,通,】,利用函数奇偶性求解析式的方法,(1)“,求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，,x,就应在哪个区间上设,.,(2),要利用已知区间的解析式进行代入,.,(3),利用,f(x),的奇偶性写出,-f(x),或,f(-x),，从而解出,f(x).,【,习练,破,】,f(x),为,R,上的奇函数，且当,x0,时,f(x)=x(1+x,3,),，则当,x0,时,f(x),为,(,),A.x(1+x,3,)B.-x(1-x,3,),C.x(1-x,3,)D.-x(1+x,3,),【,解析,】,选,C.,根据题意，,x0,，,则,f(-x)=(-x)1+(-x),3,=-x(1-x,3,),，又由函数,f(x),为奇函数，则,f(x)=-f(-x)=x(1-x,3,).,【,加练,固,】,已知函数,f(x),是定义在,R,上的奇函数，当,x0,时，,f(x)=x,2,-x+1.,(1),求,f(0),的值,.,(2),求,f(x),在,R,上的解析式,.,【,解析,】,(1),函数,f(x),是定义在,R,上的奇函数，,则,f(-x)=-f(x),，令,x=0,，得,f(-0)=-f(0),，,即,f(0)=0,，故,f(0)=0,；,(2),当,x0,，,f(x)=(-x),2,-(-x)+1=x,2,+x+1,，,又由函数,f(x),为奇函数，,则,f(x)=-f(-x)=-x,2,-x-1,，,又由,f(0)=0,，则,f(x)=,类型二函数奇偶性与单调性关系的应用,【,典例,】,1.,定义在,R,上的偶函数,f(x),满足：对任意,x,1,，,x,2,0,，,+)(x,1,x,2,),，有,0,，,则,(,),A.f(3)f(-2)f(1),B.f(1)f(-2)f(3),C.f(-2)f(1)f(3),D.f(3)f(1)f(-2),2.,已知偶函数,f(x),在区间,0,，,+),上单调递增，则满足条件,f(2x+1)f(5),的,x,的取值范围是,(,),世纪金榜导学号,A.(-3,，,2)B.(-2,，,3),C.(-2,，,2)D.-3,，,2,【,思维,引,】,1.,先得出函数的单调性，再利用奇偶性转化到一个单调区间上比较,.,2.,利用奇偶性得出函数在,R,上的单调性，结合图像确定,2x+1,的范围，从而求,x,的范围,.,【,解析,】,1.,选,A.,根据题意，函数,f(x),为偶函数，,则,f(-2)=f(2),，函数,f(x),满足：对任意,x,1,，,x,2,0,，,+)(x,1,x,2,),，有,0,，则函数,f(x),在,0,，,+),上为减函数，,则,f(3)f(2)f(1),又由,f(-2)=f(2),，,则,f(3)f(-2)f(1).,2.,选,A.,因为函数,f(x),为偶函数且在区间,0,，,+),上,单调递增，则在,(-,，,0),上是减函数，,f(2x+1)f(5)|2x+1|5,，即,-52x+15,，解可得：,-3x2,，即,x,的取值范围为,(-3,，,2).,【,内化,悟,】,若偶函数,f(x),在区间,a,，,b,上是增函数，那么在区间,-b,，,-a,上的单调性是怎样的？如果函数,f(x),是奇函数呢？,提示：,偶函数,f(x),在区间,a,，,b,上是增函数，那么在区间,-b,，,-a,上的单调性是减函数,.,若函数,f(x),是奇函数，则在区间,-b,，,-a上也是增函数,.,【,类题,通,】,奇偶性与单调性的关系,1.,关系：,(1),奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同；,(2),偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反,.,2.,应用：,(1),奇函数在连续的区间上，由,f(a),，,f(b),的关系，利用单调性可直接得到,a,，,b,的大小关系；,(2),偶函数在连续的区间上，由,f(a),，,f(b),的关系，应考虑,|a|,，,|b|,的关系,.,【,习练,破,】,1.,已知函数,f(x),是定义在区间,-2,，,2,上的偶函数，,当,x0,，,2,时，,f(x),是减函数，如果不等式,f(1-m)f(m),成立，则实数,m,的取值范围是,(,),A.B.1,，,2,C.(-,，,0)D.(-,，,1),【,解析,】,选,A.,根据题意，函数,f(x),是定义在区间,-2,，,2,上的偶函数，当,x0,，,2,时，,f(x),是减函,数则,f(1-m)f(m),，解可得,-1m0,所以函数,y=x-,在,(0,，,+),上是增函数,.,列出部分函数值如下表所示，描点作图,.,x,1,2,3,0,再根据函数是奇函数，可得出函数图像如图所示，,【,素养,探,】,在探究函数的图像和性质时，常常用到核心素养中的逻辑推理，通过探究函数的性质，进一步得到函数的图像,.,将本例中的函数变为,y=,，试探究函数的性质，并作出函数的图像参考公式,a,3,-b,3,=(a-b)(a,2,+ab+b,2,),【,解析,】,函数的定义域为,D=x|x0,，从而可知函数的图像有左右两部分,.,设,f(x)=,，则对任意,xD,，都有,-xD,，,而且,f(-x)=-f(x),，,所以函数,y=,是奇函数，函数的两部分图像关于,原点对称,.,因为,x,1,，,x,2,(0,，,+),，且,x,1,x,2,时，,f(x,2,)-f(x,1,)=,所以 因为,x,1,，,x,2,(0,，,+),，,所以,0,，所以函数,y=,在,(0,，,+),上是减函数,.,列出部分函数值如下表所示，描点作图,.,x,1,2,3,8,1,再根据函数是奇函数，可得出函数图像如图所示，,角度,2,研究函数的对称性,【,典例,】,求证二次函数,f(x)=-x,2,+2x+3,关于,x=1,对称,.,世纪金榜导学号,【,思维,引,】,分别计算,f(1+h),，,f(1-h),【,证明,】,任取,hR,，因为,f(1+h)=-(1+h),2,+2(1+h)+3,=-h,2,+4,，,f(1-h)=-(1-h),2,+2(1-h)+3=-h,2,+4,，,所以,f(1+h)=f(1-h),，所以函数的图像关于,x=1,对称,.,【,类题,通,】,1.,如何探究函数的性质及图像,主要从以下几个方面进行探究，定义域、奇偶性、单调性,.,如果具有奇偶性，则只探究,y,轴右侧的函数性质及图像，,y,轴左侧的可以根据奇偶性得到,.,2.,关于函数的对称性,函数,f(x),若对于任意,xR,，,a,是常数，,(1),关于直线,x=a,对称：,f(a+x)=f(a-x)(f(2a-x)=f(x),，,(2),关于点,(a,，,b),对称：,f(a+x)+f(a-x)=2b(f(2a-x)+f(x)=2b),，,特别地：关于点,(a,，,0),对称，则,f(a+h)=-f(a-h).,【,习练,破,】,求证：函数,f(x)=,的图像关于,(-1,，,1),对称,.,【,证明,】,任取,hR,，因为,f(-1+h)=,f(-1-h)=,所以,f(-1h)+f(-1-h)=,所以函数,f(x)=,的图像关于,(-1,，,1),对称,.,【,加练,固,】,试探究函数,f(x)=x|x|-2x,的性质，作出图像并写出单调区间和值域,.,【,解析,】,函数的定义域为,R,，任取,xR,，则,-xR,，,且,f(-x)=-x|-x|-2(-x)=-x|x|+2x,=-f(x),，,所以函数,f(x)=x|x|-2x,是奇函数，,当,x0,，,+),时，,f(x)=x,2,-2x,是二次函数，,对称轴为,x=1,，,f(1)=1-2=-1,，与,x,轴交于,(0,，,0),，,(2,，,0),，作出函数图像如图，再根据函数是奇函数,得函数的图像，如图所示：,由图可知，函数的单调增区间为,(-,，,-1,或,1,，,+),，单调减区间为,-1,，,1,，值域为,R.,