高中数学 第三章 直线与方程 323 直线的一般式方程课件 新人教A版必修2 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,3.2.3,直线的一般式方程,直线的一般式方程,关于,x,y,的二元一次方程,Ax+By+C=0(,其中,A,B,不同时为,0),叫做直线的一般式方程,简称一般式,.,【,思考,】,(1),方程,y-y,0,=0,是二元一次方程吗,?,提示,:,是,是,A,为,0,的二元一次方程,.,(2),直线与二元一次方程的关系是什么,?,提示,:,直线的方程都可以化为二元一次方程,;,二元一次方程都表示直线,.,【,素养小测,】,1.,思维辨析,(,对的打“”,错的打“,”),(1),任何一条直线的二元一次方程都能化为其他四种形式,.(,),(2),直线的二元一次方程,Ax+By+C=0,中,若,A=0,则,B,一定不等于,0.(,),(3),直线的一般式方程可以写成,Ay+Bx+C=0,的形式,.(,),提示,:,(1),.,如与,x,轴平行的直线没有截距式,.,(2).,因为,A,B,不同时为零,.,(3),.,直线的一般式方程必须写成,Ax+By+C=0,的形式,.,2.,若方程,Ax+By+C=0,表示直线,则,A,B,应满足的条件,是,(,),A.A0,B.B0,C.AB0,D.A,2,+B,2,0,【,解析,】,选,D.A,B,满足不同时等于,0.,3.,直线,y-1=4(x+2),化为一般式方程为,_.,【,解析,】,y-1=4(x+2),化为,4x-y+9=0.,答案,:,4x-y+9=0,类型一直线的一般式方程,【,典例,】,1.,已知直线,Ax+By+C=0(AB0,BC0),则直线不经过,(,),A.,第一象限,B.,第二象限,C.,第三象限,D.,第四象限,2.(2019,宿州高一检测,),已知直线,l,经过点,P(2,3),且斜,率为,-,试求下列直线的一般式方程,:,(1),直线,l,.,(2),与直线,l,平行,且过点,(-3,1),的直线,.,(3),与直线,l,垂直,且过点,(0,-1),的直线,.,【,思维,引,】,1.,化为斜截式,利用斜率、,y,轴上截距的符号判断,.,2.,根据条件,利用点斜式、斜截式写出直线方程,再化成一般式,.,【,解析,】,1.,选,A.,直线,Ax+By+C=0,化为,:y=-x-,又,AB0,BC0,所以,-0,-0,则直线不经过第一象,限,.,2.(1),直线,l,的方程是,y-3=-(x-2),所以,2y-6=3(2-x),所以,3x+2y-12=0.,所以直线,l,的一般式方程是,3x+2y-,12=0.,(2),与,l,平行且过点,(-3,1),的直线为,y-1=-(x+3),所以,2-2y=3x+9,所以,3x+2y+7=0.,(3),与,l,垂直的直线的斜率为,k=,所以,y+1=,(x-0),所以2x-3y-3=0.,【,内化,悟,】,直线方程化为一般式时有哪些注意事项,?,提示,:,(1),按照,x,项、,y,项、常数项的顺序排列,.,(2)x,项的系数一般为正,.,(3),系数,A,B,C,一般化为整数,.,【,类题,通,】,关于直线的一般式方程与其他形式的方程,一般情况下,直线的一般式方程与直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以进行互化,但是最常用的是一般式方程化斜截式方程,可以得出斜率、,y,轴截距,用于作图或转化解题,.,【,习练,破,】,1.,若,a,b,c,都大于,0,则直线,ax+by+c=0,的图象大致是图中的,(,),【,解析,】,选,D.,直线,ax+by+c=0,化为,:y=,因为,a,b,c,都大于,0,所以,-0,-0,所以直线,ax+by,+c=0,的图象大致是图中的,D.,2.,在,ABC,中,点,A(-1,2),B(2,1),点,C,与点,A,关于,y,轴对称,则,AB,边上的高所在的直线方程为,(,),A.x+3y-7=0,B.x+y-2=0,C.3x-y-1=0,D.3x-y+1=0,【,解析,】,选,C.,因为在,ABC,中,点,A(-1,2),B(2,1),点,C,与点,A,关于,y,轴对称,所以,C(1,2),所以,k,AB,=,所以,AB,边上的高所在的直线方程为,y-2=3(x-1),即,3x-,y-1=0.,【,加练,固,】,根据下列各条件写出直线的方程,并且化成一般式,.,(1),斜率是,-,经过点,A(8,-2).,(2),经过点,B(4,2),平行于,x,轴,.,(3),在,x,轴和,y,轴上的截距分别是,-3.,(4),经过两点,P,1,(3,-2),P,2,(5,-4).,【,解析,】,(1),由点斜式得,y-(-2)=-(x-8),即,x+2y-4=0.,(2),由斜截式得,y=2,即,y-2=0.,(3),由截距式得,=1,即,2x-y-3=0.,(4),由两点式得,即,x+y-1=0.,类型二含参数的一般式方程,【,典例,】,1.,已知直线,x+3y+n=0,在,x,轴上的截距为,-3,则实数,n,的值为,(,),A.-3,B.3,C.-,D.,2.(2019,安顺高一检测,),设直线,l,的方程为,ax+y+2-a=0(aR).,(1),若直线,l,与直线,l,1,:2x+y-2=0,垂直时,求,a,的值,.,(2),若,l,在两坐标轴上的截距相等,求,l,的方程,.,【,思维,引,】,1.,方法一,:,化为截距式,由,x,轴上的截距为,-3,求,n,的值,.,方法二,:,令,y=0,求得,x,值,即为直线在,x,轴上的截距,.,解方程求得,.,2.(1),根据两直线垂直时斜率之积为,-1,求解,;,(2),将直线与坐标轴的截距用,a,表示进而求解,.,【,解析,】,1.,选,B.,根据题意,方法一,:,直线方程变为,方法二,:,点,(-3,0),在直线,x+3y+n=0,上,即,(-3),+n=0,解得,n=3 .,2.(1),直线,l,与直线,l,1,:2x+y-2=0,垂直,斜率,k,1,=-2,直线,l,斜,率为,k=-a,由,k,1,k=-1,解得,a=-.,(2),l,在两坐标轴上的截距相等,显然,a0,当,x=0,时,y=a-2,当,y=0,时,x=,则,a-2=,解得,a=1,或,a=2,故直线,l,的方程为,x+y+1=0,或,2x+y=0.,【,内化,悟,】,直线的一般式方程化斜截式方程时需要注意什么问题,?,提示,:,必须考察,B,是否为,0,当,B,不等于,0,时才能化成斜截式方程,不确定时需要对,B,分情况讨论,.,【,类题,通,】,已知含参的直线的一般式方程求参数的值或取值范围的步骤,【,习练,破,】,若方程,(m,2,-3m+2)x+(m-2)y-2m+5=0,表示直线,.,(1),求实数,m,的范围,.,(2),若该直线的斜率,k=1,求实数,m,的值,.,【,解析,】,(1),由 解得,m=2,若方程表示直线,则,m,2,-3m+2,与,m-2,不能同时为,0,故,m2.,(2),由,-,解得,m=0.,【,加练,固,】,设直线,l,的方程为,(m,2,-2m-3)x-(2m,2,+m-1)y+6-2m=0.,(1),已知直线,l,在,x,轴上的截距为,-3,求,m,的值,.,(2),已知直线,l,的斜率为,1,求,m,的值,.,【,解析,】,(1),由直线,l,在,x,轴上的截距为,-3,则直线,l,过点,(-3,0),即,(m,2,-2m-3),(-3)-(2m,2,+m-1),0+6-2m=0.,即,3m,2,-4m-15=0.,得,m=-,或,m=3(,舍去,).,所以,m=-.,(2),由题意知,2m,2,+m-10,由直线,l,化为斜截式方程得,y=,得,m=-2,或,m=-1(,舍去,).,所以,m=-2.,类型三直线方程的综合应用,角度,1,在镜面反射中的应用,【,典例,】,一条光线从点,A(2,4),射出,倾斜角为,60,遇,x,轴后反射,则反射光线的直线方程为,(,),A.x-y+4-2 =0,B.x-y-2-4 =0,C.x+y+4-2 =0,D.x+y-2-4 =0,【,思维,引,】,求出反射光线的斜率、反射光线的一点后写直线的方程,.,【,解析,】,选,C.,因为,tan 60=,所以,k=tan(180-,60)=-,因为点,A(2,4),关于,x,轴的对称点,A(2,-4),在反射光线上,设反射光线所在的直线方程为,y=,-x+b,所以,-4=-2+b,解得,b=2 -4,故反射光,线所在的直线方程为,y=-x+2 -4,即,x+y+4-,2 =0.,【,素养,探,】在直线方程的应用过程中,常常用到核心素养中的数学运算,通过求对称点,设直线方程,用待定系数法求解,.,把本例中的条件变为“一条光线从点,A(2,4),射出,遇,x,轴后反射,反射光线经过点,B(5,2)”,试求反射光线的直线方程,.,【,解析,】,点,A(2,4),关于,x,轴的对称点,A(2,-4),由镜面,反射原理,点,A,在反射光线的反向延长线上,又因为,k,AB,=2,所以反射光线的方程为,y-2=2(x-5),即,2x-y-8=0.,角度,2,在直线平行、垂直中的应用,【,典例,】,直线,l,1,:mx+4y+3=0,l,2,:2x+(m+2)y+3=0,若,l,1,l,2,则,m的值为,_,若,l,1,l,2,则,m,的值为,_.,【,思维,引,】,利用直线平行、垂直时一般式的系数关系求值,.,【,解析,】,若,l,1,l,2,由 解得,m=-4,或,m=2,又,所以,m2,所以,m=-4;,若,l,1,l,2,由,2m+4(m+2)=0,解得,m=-.,答案,:,-4,-,【,类题,通,】,一般式在直线平行、垂直中的应用,直线,l,1,:A,1,x+B,1,y+C,1,=0,l,2,:A,2,x+B,2,y+C,2,=0,(1),平行,:A,2,B,2,C,2,均不为,0,l,1,l,2,A,2,B,2,中有一个为,0,则根据,A,1,B,1,是否为,0,判断位置关系,;,若,C,2,为,0,则根据只需判断,A,1,B,1,与,A,2,B,2,的关系,.,(2),垂直,:,l,1,l,2,A,1,A,2,+B,1,B,2,=0.,【,习练,破,】,1.,若直线,l,1,:ax+2y+6=0,与直线,l,2,:x+(a-1)y+(a,2,-1)=0,平行,则,a,的值为,(,),A.a=1,B.a=2,C.a=-2,D.a=-1,【,解析,】,选,D.,因为直线,l,1,:ax+2y+6=0,与直线,l,2,:x+(a-,1)y+(a,2,-1)=0,平行,所以 解得,a=-1,所,以,a,的值为,-1.,2.(2019,温州高一检测,),若直线,x+ay-2=0,与直线,ax+2y+1=0,垂直,则,a=(,),A.-2 B.0 C.-2,或,0,D.2,【,解析,】,选,B.,因为直线,x+ay-2=0,与直线,ax+2y+1=0,垂直,所以,1a+a2=0,解得,a=0.,【,加练,固,】,(2019,洛阳高一检测,),已知直线,l,1,:3x+(m+1)y-6=0,l,2,:mx+2y-(m+2)=0,分别求满足下列条件的,m,的值,.,(1),l,1,l,2,;(2),l,1,l,2,.,【,解析,】,(1),若,l,1,l,2,则有,3,m+(m+1),2=0,解得,m=-.,(2),若,l,1,l,2,则有,3,2-m(m+1)=0,解得,m=-3,或,m=2,当,m=-3,时,直线,l,1,与直线,l,2,平行,.,当,m=2,时,直线,l,1,与直线,l,2,重合,不符合题意,舍去,.,所以,m=-3.,