高中数学 第二章 等式与不等式 211 等式的性质与方程的解集课件 新人教B版必修1 课件.ppt

第二章等式与不等式,2.1,等式,2.1.1,等式的性质与方程的解集,1.,常用乘法公式,(1),平方差公式,：,(a+b)(a-b)=a,2,-b,2,，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差,.,(2),完全平方公式,：,(ab),2,=a,2,2ab+b,2,，两数和,(,或差,),的平方，等于这两数的平方和，加上,(,或减去,),这两数积的,2,倍,.,(3),其他恒等式：,(a+b)(a,2,-ab+b,2,)=a,3,+b,3,；,(a+b),3,=a,3,+3a,2,b+3ab,2,+b,3,；,(a+b+c),2,=a,2,+b,2,+c,2,+2ab+2bc+2ac.,【,思考,】,(1),平方差公式的左右两边分别有什么特点？,提示：,公式的左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是相同项的平方减去相反项的平方,.,(2),完全平方公式的左右两边分别有什么特点？,提示：,公式左边都是二项式的平方，右边是一个二次三项式；公式右边第一、三项分别是左边第一、第二项的平方；第二项是左边两项积的,2,倍,.,2.,十字相乘法,(1),二次项系数为,1,时：,x,2,+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b),(2),二次系数不为,1,时：,acx,2,+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d),(3),记忆口诀：拆两头，凑中间,.,【,思考,】,十字相乘法分解因式的关键是什么？,提示：,把二次项和常数项分解，交叉相乘，得到两个因数，再把两个因式相加，看它们的和是不是正好等于一次项系数,.,3.,方程的解集：,(1),方程的解,(,根,),：能使方程左右两边相等的未知数的值,.,(2),方程的解集：一个方程所有的解组成的集合,.,【,思考,】,把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解,(,根,),吗？,提示：,把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程的增根,.,【,素养小测,】,1.,思维辨析,(,对的打“”，错的打“,”),(1),计算,(2a+5)(2a-5)2a,2,-25.(,),(2),因式分解过程为：,x,2,-3xy-4y,2,=(x+y)(x-4).(,),(3),用因式分解法解方程时部分过程为：,(x+2)(x-3)=6,，所以,x+2=3,或,x-3=2.(,),提示,：,(1),.(2a+5)(2a-5)=(2a),2,-25=4a,2,-25.,(2),.x,2,-3xy-4y,2,=(x+y)(x-4y).,(3),.,若,(x+2)(x-3)=0,，可化为,x+2=0,或,x-3=0.,2.,方程,x(x-1)=x,的根是,(,),A.x=2B.x=-2,C.x,1,=-2,，,x,2,=0D.x,1,=2,，,x,2,=0,【,解析,】,选,D.,因为,x(x-1)=x,，所以,x,2,-x=x,，,所以,x,2,-2x=0,，所以,x(x-2)=0,，所以,x,1,=2,，,x,2,=0.,3.(,多选题,),下列等式中，是恒等式的是,(,),A.(x-2)(x+2)=x,2,-4,B.(a-b),2,=a,2,-2ab+b,2,C.(-3+m)(3+m)=m,2,-9,D.16x,2,-9=24x,【,解析,】,选,A,、,B,、,C.A,中，,(x-2),(x+2)=x,2,-4,，,使用平方差公式化简，是恒等式；,B,中，,(a-b),2,=a,2,-2ab+b,2,，使用完全平方公式化简，是恒等式；C,中，,(-3+m)(3+m)=(m-3)(m+3)=m,2,-9,，,平方差公式化简，是恒等式；,D,中，,16x,2,-9=24x,是方程，不是恒等式,.,类型一常用乘法公式的应用,【,典例,】,1.,化简,(m,2,+1)(m+1)(m-1)-(m,4,+1),的值,是,(,),A.-2m,2,B.0C.-2D.-1,2.,计算,(x+3y),2,-(3x+y),2,的结果是,(,),A.8x,2,-8y,2,B.8y,2,-8x,2,C.8(x+y),2,D.8(x-y),2,【,思维,引,】,1.,先把第一项中的,(m+1)(m-1),用平方差公式化简，再和,m,2,+1,利用平方差公式化简，最后去括号，合并同类项，化简,.,2.,方法一：先用完全平方公式化简，然后去括号，合并同类项即可；方法二：把,x+3y,和,3x+y,分别看作一个整体，利用平方差公式化简,.,【,解析,】,选,C.1.(m,2,+1)(m+1)(m-1)-(m,4,+1),=(m,2,+1)(m,2,-1)-(m,4,+1),=(m,4,-1)-(m,4,+1)=m,4,-1-m,4,-1=-2.,2.,选,B.,方法一：,(x+3y),2,-(3x+y),2,=x,2,+6xy+9y,2,-(9x,2,+6xy+y,2,),=x,2,+6xy+9y,2,-9x,2,-6xy-y,2,=8y,28x,2,.,方法二,：,(x+3y),2,-(3x+y),2,=(x+3y)+(3x+y)(x+3y)-(3x+y),=(x+3y+3x+y)(x+3y-3x-y),=(4x+4y)(-2x+2y)=4(x+y),2(-x+y),=8y,2,-8x,2,.,【,内化,悟,】,1.,利用数学公式化简，公式中的,a,，,b,是一个代数式时，怎么处理？,提示：,当公式中的,a,，,b,是一个代数式时，利用整体代入思想，把代数式看作一个整体代入即可,.,2.,一个题目中要应用多个公式时，怎样选择公式使用顺序？,提示：,当一个题目中要使用多个数学公式时，我们要根据题目特点适当选择公式，尽可能将运算简化,.,【,类题,通,】,(1),使用公式化简时，一定要分清公式中的,a,，,b,分别对应题目中的哪个数或哪个整式,.,(2),利用公式化简时，要注意选择公式，公式选择恰当，可以有效地简化运算,.,【,习练,破,】,1.,如果,(a-b-3)(a-b+3)=40,，那么,a-b,的值为,(,),A.49B.7C.-7D.7,或,-7,【,解析,】,选,D.(a-b-3)(a-b+3)=(a-b),2,-9=40,，,即,(a-b),2,=49,，则,a-b=7.,2.,已知,a,2,+b,2,+2a-4b+5=0,，则,2a,2,+4b-3,的值为,_.,【,解析,】,a,2,+b,2,+2a-4b+5=(a,2,+2a+1)+(b,2,-4b+4),=(a+1),2,+(b-2),2,=0,，所以,a=-1,，,b=2,，,所以,2a,2,+4b-3=2,(-1),2,+4,2-3=7.,答案：,7,类型二十字相乘法分解因式,【,典例,】,把下列各式因式分解,.,(1)x,2,+3x+2,(2)6x,2,-7x-5,(3)5x,2,+6xy-8y,2,【,思维,引,】,(1)x,2,+3x+2,的二次项的系数是,1,，常数项,2=1,2,，一次项系数,3=1+2,，这是一个,x,2,+(p+q)x+pq,型式子,.,(2)6x,2,-7x-5,的二次项系数是,6=2,3,，常数项,-5,=1,(-5),，一次项系数,-7=2,(-5)+3,1,，这是一个,acx,2,+(ad+bc)x+bd,型式子，因此可用公式,acx,2,+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d),分解因式,.,(3)5x,2,+6xy-8y,2,的二次项系数是,5=1,5,，常数项,-8y,2,=2y,(-4y),，一次项系数,6y=1,(-4y)+5,(2y),，这也是一个,acx,2,+(ad+bc)x+bd,型式子，因此可用公式,acx,2,+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d),分解因式,.,【,解析,】,(1)x,2,+3x+2=(x+1)(x+2),1,2+1,1=3,(2)6x,2,-7x-5=(2x+1)(3x-5),2,(-5)+3,1=-7,(3)5x,2,+6xy-8y,2,=(x+2y)(5x-4y),1,(-4y)+5,(2y)=6y,【,内化,悟,】,利用十字相乘法分解因式时，怎样把二次项和常数项分解？,提示：,当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同,.,【,类题,通,】,十字相乘法因式分解的形式,尝试把某些二次三项式如,ax,2,+bxc,分解因式，先把,a,分解成,a=a,1,a,2,，把,c,分解成,c=c,1,c,2,，并且排列如下：,这里按斜线交叉相乘的积的和就是,a,1,c,2,+a,2,c,1,，如果它正好等于二次三项式,ax,2,+bx+c,中一次项的系数,b,，那么,ax,2,+bx+c,就可以分解成,(a,1,x+c,1,)(a,2,x+c,2,),，其中,a,1,，,c,1,是上图中上面一行的两个数，,a,2,，,c,2,是下面一行的两个数,.,【,习练,破,】,1.x,2,+10 x+16,分解因式为,(,),A.(x+2)(x+8)B.(x-2)(x+8),C.(x+2)(x-8)D.(x-2)(x8),【,解析,】,选,A.x,2,+10 x+16=(x+2)(x+8).,1,8+1,2=10,2.x,2,-13xy-30y,2,分解因式为,(,),A.(x-3y)(x-10y)B.(x+15y)(x-2y),C.(x+10y)(x+3y)D.(x-15y)(x+2y),【,解析,】,选,D.x,2,-13xy-30y,2,=(x-15y)(x+2y),1,2y+1,(-15y)=-13y,3.6x,2,-29x+35,分解因式为,(,),A.(2x-7)(3x-5)B.(3x-7)(2x-5),C.(3x-7)(2x+5)D.(2x-7)(3x+5),【,解析,】,选,B.6x,229x+35=(3x-7)(2x-5),3,(-5)+2,(-7)=-29,【,加练,固,】,1.,因式分解,(x,2,-7x),2,+10(x,2,-7x)-24.,【,解析,】,(x,2,-7x),2,+10(x,2,-7x)-24=(x,2,-7x+12)(x,2,-7x-2),=(x-3)(x-4)(x,2,-7x-2).,2.,已知,a,2,-ab-6b,2,=0(a0,，,b0),，求 的值,.,【,解析,】,因为,a,2,-ab-6b,2,=0,，所以,(a-3b)(a+2b)=0,，,所以,a=3b,或,a=-2b,，,当,a=3b,时，,当,a=-2b,时，,=-2 .,类型三方程的解集,角度,1,一元一次方程的解集,【,典例,】,(,多选题,),下列方程中，解集为,-3,的方程,是,(,),A.x+1=0B.2x+1=-8-x,C.3-3x=1D.2x+6=0,【,思维,引,】,解一元一次方程时，通过移项、合并同类项、系数化为,1,等过程，解方程,.,【,解析,】,选,ABD.,把,x=-3,分别代入各选项，只有,C,选项左右两边的值不相等,.,角度,2,一元二次方程的解集,【,典例,】,求下列方程的解集：,(1)x(x-2)+x-2=0.,(2)x,2,+5x-6=0.,【,思维,引,】,(1),提取公因式,x-2,把原方程化为两个因式的积的形式，解方程,2),对于二次三项式，一般先采用十字相乘法分解因式，分解因式后再解方程即可,.,【,解析,】,(1),因式分解，得：,(x-2)(x+1)=0.,于是得,x-2=0,或,x+1=0,，即,x=2,或,x=-1,，因此方程的解集为,-1,，,2.,(2),分解因式得：,x,2,+5x-6=(x-1)(x+6),，,1,(-1)+1,6=5,因为,x,2,+5x-6=0,，,所以,(x-1)(x+6)=0,，,所以,x-1=0,或,x+6=0,，,即,x=1,或,x=-6.,因此方程的解集为,-6,，,1.,【,类题,通,】,利用因式分解法解一元二次方程的步骤：,将方程的右边化为,0,；,将方程的左边进行因式分解；,令每个因式为,0,，得到两个一元一次方程；,解一元一次方程，得到方程的解,.,【,发散,拓,】,对于二次三项式，采用十字相乘法分解因式时，要注意把二次项系数和常数项分解，交叉相乘，两个因式的和正好等于一次项系数,.,注意，交叉相乘横着写,.,【,习练,破,】,求下列方程的解集：,(1)5x,2,-2x-=x,2,-2x+.,(2)12x,2,+5x-2=0.,【,解析,】,(1),移项、合并同类项，得,4x,2,-1=0.,因式分解，得,(2x+1)(2x-1)=0.,于是得,2x+1=0,或,2x-1=0,，即,x=-,或,x=,，,因此方程的解集为,(2),分解因式得：,12x,2,+5x-2=(3x+2)(4x-1),3,(-1)+4,2=5,因为,12x,2,+5x-2=0,，,所以,(3x+2)(4x-1)=0,，,所以,3x+2=0,或,4x-1=0,，,即,x=-,或,x=,，因此方程的解集为,角度,3,分类讨论思想的应用,【,典例,】,解方程,ax,2,-(a+1)x+1=0.,【,思维,引,】,把二次项系数分为,a=0,和,a0,两种情况讨论，第一种情况是解一元一次方程，第二种情况是解一元二次方程,.,【,解析,】,当,a=0,时，原方程可化为,-x+1=0,，,所以,x=1,，,当,a0,时，对于,ax,2,-(a+1)x+1,来说，因为,a,1=a,，,(-1),(-1)=1,，,a,(-1)+1,(-1)=-(a+1).,如图所示,ax,2,-(a+1)x+1=(ax-1)(x-1),，所以原方程可化为,(ax-1)(x-1)=0,，,所以,ax-1=0,或,x-1=0,，,所以,x=,或,x=1.,【,类题,通,】,形如,ax,2,+bx+c=0(,含参,),的方程的解法,方程的二次项系数中含有参数时，要讨论二次项系数是否可以等于零，当二次项系数等于零时，讨论方程变为一元一次方程或其他情况，当二次项系数不为,0,时，解一元二次方程,.,【,习练,破,】,解方程,12x,2,-ax-a,2,=0.,【,解析,】,当,a=0,时，原方程可化为：,12x,2,=0,，所以,x=0,，当,a0,时，因为,3,4=12,，,-a,a,=-a,2,，,3,a+4,(-a)=3a-4a=-a,，如图所示,所以,12x,2,-ax-a,2,=(3x-a)(4x+a),，,所以原方程可化为,(3x-a)(4x+a)=0.,所以,3x-a=0,或,4x+a=0,，,所以,x,1,=,，,x,2,=-.,