1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章推理与证明复习小结,推理与证明,推理,证明,合情推理,演绎推理,直接证明,数学归纳法,间接证明,比较法,类比推理,归纳推理,分析法,综合法,反证法,知识结构,证,为,数,为,数,证,一,.,综合法,证,为,数,为,数,证,证,证明,:,要证,只需证,只需证,只需证,只需证,因为 成立,.,所以 成立,.,二,.,分析法,三,:,反证法,问题一,:,求证,:,两条相交直线有且只有一个交点,.,注,:,1.,结论中的有且只有,(,有且仅有,),形式出现,是唯一性问题,常用反证法,2.,有且只有的反面包含,
2、1),不存在,;2),至少两个,.,问题二,:,求证一元二次方程至多,-,有两个不相等的实根,.,注,:,所谓至多有两个,就是不可能有三个,要证,“,至多有两个不相等的实根,”,只要证明它的反面,“,有三个不相等的实根,”,不成立即可,.,问题,:,如图,;,已知,L,1,、,L,2,是异面直线且,A,、,B,L,1,C,、,D,L,2,求证,;AC,SD,也是异面直线,.,a,C,D,A,B,L,1,L,2,五,.,归纳、类比、猜想、证明,例,:,平面内有,n,条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数,f(n,),等于,n(n-1)/2.,证,:(1),当,n=2,时,
3、两条直线,的交点只有,1,个,又,f(2)=2,(2-1)/2=1,因此,当,n=2,时命题成立,.,(2),假设当,n=k(k,2),时命题成立,就是说,平面内满足 题设的任何,k,条直线,的交点个数,f(k,),等于,k(k-1)/2.,以下来考虑平面内有,k+1,条直线的情况,.,任取其中,的,1,条直线,记作,l.,由归纳假设,除,l,以外的其他,k,条直线的,交点个数,f(k,),等于,k(k-1)/2.,另外,因为已知任何两条直线不平行,所以直线,l,必与平面内其他,k,条直线都相交,有,k,个交点,.,又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的,k,个交点两两不相同,且与平面内
4、其他的,k(k-1)/2,个,交点也两两不相同,.,从而平面内交点的个数是,k(k-1)/2+k=k(k-1)+2/2=(k+1)(k+1)-1/2.,这就是说,当,n=k+1,时,k+1,条直线的,交点个数为,:,f(k+1)=(k+1)(k+1)-1/2.,根据,(1),、,(2),可知,命题对一切大于,1,的正整数都成立,.,说明,:,用数学归纳法证明几何问题,重难点是处理好当,n=k+1,时利用假设结合几何知识证明命题成立,.,注,:,在上例的题设条件下还可以有如下二个结论,:,(1),设这,n,条直线互相分割成,f(n),条线段或射线,-,则,:,f(n,)=n,2,.,(2),这,n,条直线把平面分成,(n,2,+n+2)/2,个区域,.,练习,1:,凸,n,边形有,f(n),条对角线,则凸,n+1,边形的对角线,-,的条数,f(n+1)=f(n)+_.,n-1,练习,2:,设有通过一点的,k,个平面,其中任何三个平面或,三个以上的平面不共有一条直线,这,k,个平面将,空间分成,f(k,),个区域,则,k+1,个平面将空间分成,f(k+1)=,f(k,)+_,个区域,.,2k,:,平面内有,n,条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明,这,n,条直线把平面分成,f(n,),(n,2,+n+2)/2,个区域,.,作业：,再见,
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