概率论与数理统计课件(复旦).pdf

概率论与数理统计概率论-事件发生的可能性数理统计-用数据来分析对象满足 的概率规律第一章随机事件与概率 1随机事件、必然现象与随机现象1、必然现象在一定条件下肯定会发生的现象如水100。C沸腾，苹果从树上掉落2、偶然现象或随机现象即使条件一定，结果也不可预测如掷一枚硬币，出现正面或反面?买一张彩票，是否中奖？是否会发生水灾？要面对随机现象进行研究，还有一些要求。、随机试验与随机事件随机试验是对随机现象进行试验或观察1、相同的条件下可以重复进行2、每次试验有多种可能的结果，而且在试验 之前即可明确有几种可能。3、每次试验不能预知哪一结果会发生。当目的不同时，结果也会有不同。如天气：下雨或不下雨。晴、多云、阴、小雨、大雨等。随机试验的每个结果称为随机事件，简称事件。一般用大写英文字母A、B、。等表示。例如在0、1、2、9中任取一数。A表示取到0,B表示取到5,。表示取到奇数，。表示取到3的倍数。它们都是随机事件。不能分解为其它事件的事件称为基本事件。如能分解为其它事件的事件称为复合事件。如每次试验一定发生的事件称为必然事件。如点数大于0一般用Q表示必然事件。每次试验一定不发生的事件称为不可能事件。如点数大于9一般用6表示不可能事件它们是随机事件的特例。为了研究的方便，可以用点集来表示事件，也可以用文氏图表示。基本事件用只包含一个元素3的单点集 口 表示。复合事件用包含若干个元素的集合表示。例如掷一颗骰子，A表示点数为4,即为单点集4B表示点数为偶数，即为点集2,4,6点数为正数，是必然事件，即为全集1,2,3,4,5,6点数为负数，是不可能事件，即为空集“所有基本事件对应的元素组成的集合称为样本空间。每个基本事件对应的元素称为一个样本点。三、事件间的关系及运算1、事件的包含若事件A发生必然导致事件B发生，即属于A的 每个样本点也属于B,则称事件B包含事件A。记作B=)A或Au B等价的说法是：B不发生，则A也不发生。用图形表示，即例如A二4,B=2,4,6,则Au B对任何事件A,有6 U A U Q2、事件的相等若A=B且比A,称事件A与B相等。即A与B中的样本点完全相同记作A=B掷一颗骰子A表示点数小于3,B表示点数为1或2贝 UA=B3、事件的并（和）两个事件A,B中至少有一个发生，即“A或B”,是一个事件，称为A与B的并（和）。它是由A与B的所有样本点构成的集合。记作A+B或A U B掷骰子之例中，若A=1,2,3,B=1,3,5)则AUB=1,2,3,5集合的运算规律对事件也成立，如AUB=BUA5(AUB)UC=AU(BUC)A U B=A,A U B=BAU 6=A,AU Q=Q用图形表示，即ABn个事件A1,A。中至少有一个发生，是一个事件。称为事件,An的和。记作Ai+An或Ai U.UAn可列个事件A1A2,Am中至少有一个发生称为事件A1A2,An，的和00 00记作或Uai=1 i=1A=1,2,3,B=1,3,5,C=1,3,4)贝UA+B+C=1,2,3,4,54、事件的交（积）两个事件A与B同时发生，即“A且B”,是一个事件。称为事件A与B的交（积）。它是由A与B的公共样本点构成的集合。记作AB或A n Bm=l,2,3,B=l,3,5）则 AB=1,3 它也有运算律：AnB=BnA（AnB）nc=An（Bnc）AnB=A AnBu B AG6=6 AD Q=A用图形表示，即A昌B也可定义多个事件的交。交与并运算还满足分配律：(AuB)nc=(Anc)u(Bnc)(AnB)uc=(Auc)n(Buc)用不同的记号，可写为(A+B)C=AC+BC(AB)+C=(A+C)(B+C)5、事件的差事件A发生而事件B不发生，是一个事件,称为事件A与B的差。它由属于A但不属于B的所有样本点组成。记作AB如：A=1,2,3,B=1,3,5)则A-B=2,B-A二用图形表示即 公A6、互不相容事件若A与B不能同时发生，即AB=6 称事件A与B互不相容或互斥。互斥事件没有公共的样本点。基本事件间是互不相容的。m=l,2,3,B=l,3,5,C=4,5 A与C是互不相容的。A与B是相容的。用图形表示即CA7、对立事件事件“非A”,即A不发生，称为A的对立事件。也称为A的逆事件。它是由样本空间中所有不属于A的样本点组成。记作AA1,2,3,A=4,5,6用图形表示易见 A A=6,A+A=QA=Q-A A=A8、完备事件组若事件A1,An两两互不相容,并且A1+An=Q称A1,An构成一个完备事件组oA与A构成一个完备事件组。若。=1,2,3,4,5,6则A产1,2,3,A?=4,6,A?二 是一个完备事件组。1例1从一批产品中每次取出一个产品进行检验，事件Aj表示第i次取到合格品(i=1,2,3)用事件的运 算表示下列事件：三次都取到合格品，三次中至 少有一次取到合格品，三次中恰有两次取到合格 品，三次中最多有一次取到合格品。解：三次全部取到合格品：A1A2A3三次中至少有一次取到合格品A1+A2+A3三次中恰有两次取到合格品A1A2A3+A】A2A3+A1A2A3三次中至多有一次取得合格品大瓦+大瓦+瓦工或 A1A2 A3+A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3日例2设x表示一个沿数轴做随机运动的质点 的位置，试说明下列各事件的关系：A=x|x3 C=x|x9D=x|x9解：Az)C z)D3BoED与B,D与E互不相容C与E为对应事件。B与C,B与A,E与A相容A与GA与D,C与D,B与E也是相容的。符号 集合含义Q 全集 空集3 Q 集合的元素3 单点集A UQ 一个集合AuB A的元素在B中A=B 集合A与B相等AU B A与B的所有元素AABAA-BA A B=6A与B的共同元素A的补集在A中而不在B中的元素A与B无公共元素事件含义样本空间，必然事件 不可能事件样本点基本事件一个事件A发生导致B发生 事件A与B相等A与B至少有一个发生A与B同时发生A的对立事件A发生而B不发生A与B互斥2概率概率是事件发生可能性的数量指标。即在多次重复后，某结果出现的比率。概率应有如下特征：(1)是事件本身固有的，可通过大量试验来检验。符合一般常情，可能性大时，概率也大。一般叙述可能性时用百分比。以后为方便更多地用。到1之间的小数。BP0P(A)1且 P(Q)=1 P(4)=01、典型概率要计算事件发生的可能性，对随机试验有一定要求。(1)每次试验只有有限个可能的试验结果。(2)每次试验中，各基本事件发生的可能性相同。这种试验称为古典概型试验。费定义1若试验结果一共有n个基本事件组成，且这些事 件的出现具有相同的可能性，且事件A由其中某m个基 本事件组成，则事件A的概率为月始二有利于A的基本事件数m()一试验的基本事件总数一八例1掷一枚硬币，出现正面的概率解：设硬币是均匀的只有正、反面两个基本事件。若A表示出现正面。则 R A)=11例2随意拨一个六位电话号码，正好找到朋友 张某的概率。解：为简便，每位数字有10种选择。基本事件总数是106。事件A表示找到张某，则A只有一个基本事件。故咽哧=0.000001j例3袋中装有5个白球，3个黑球。从中任取两个球，计算取出的两个球都是白球的概率。解：组成试验的基本事件总数n=C上事件A表示取到两个白球，基本事件数E=C；故 RA)=3=磊。0.357另解：若认为取出的两个球有先后次序，则基本事件总数为R=8x 7,A的事件数为P；=5x4故 p(A)=吆=0.3578x7 14注意，若认为是取出一个，放回去后再取一个。则基本事件总数是8X8,A的事件数为6X6故 ra)=2=8x8 643例4福利彩票35选7中特等奖的概率。解：不论是号码是自选还是机选，基本事件总数为CLA表示中特等奖，则A只含一个基本事件,故 RA）=-0.000000148 CZ 6724520若B表示中一等奖（对6个号码）B的基本事件数为C；C；8C1C1故 P(B)=0.0000292VZ352、统计概率古典概率要求很严格，特别是基本事件等可能，这一点很难做到。如硬币真的是均匀的吗？随机事件在一次试验中是否发生不确定，但在大量重复试验中，它的发生却具有统计规律性。在n次重复试验中，若事件A发生了m次，则rrV丽为事件A发生的频率。不可能事件的频率一定为0。必然事件的频率一定为1。关于掷硬币，前人做过试验。试验者掷的次数正面次数BuffonPearson404024000204812012Kerrich 10000 5067正面频率0.50690.50050.5067可见，掷的次数越多,频率越接近0.5*定义2在不变的条件下，重复进行n次试验，事件A发生 的频率稳定地在某一常数P附近摆动。且n越大，摆动幅 度越小。则称这常数P为事件A的概率，记为P(A)。如上表说明硬币出现正面的概率为05。概率是事件本身固有的，试验只是帮助我们了解它。又如某妇产医院几年间出生婴儿的性别记录为：年份新生儿总数男婴儿数女婴儿数 男婴频率女婴儿概率197736701883178751.3148.69197842502177207351.224878197940552138191752.7347.27198058442955288950.5649.44198163443271307351.5648.44198272313722350951.4748.536年总计31394161461524851.4848.52可以认为生男孩的概率近似值为0.515 这种概率只能通过统计得出。3、几何概率考虑一个点随机落在0,1区间。i_i_i0 03 1若问事件A:点落在0.5处的概率。显然P(A)=0但A不是不可能事件。而问事件B：点落在。与03之间的概率。则 P(B)=0.3这种与几何形状有关的概率称为几何概率。4、关于概率的一些解释。(1)硬币出现正面的概率为g2 1是指多次试验中正面出现的频率接近2而不是多次试验中正面出现的次数接近一半。如 总次数100 正面55总次数10000 正面5050概率不会自动“平衡”硬币连在10个正面，下一次是什么？打牌手风很顺，该继续还是停止？连生几个女孩，想生男孩，该继续生吗？(3)对概率的错误估计a、你认为自己买彩票会中奖吗？b、你害怕SARS吗？对可怕后果的担忧使人过高估计概率。c、一对夫妇要去买点东西，该把婴儿单独留在家中?还是带在汽车上和自己一起去？因为不可控制而错估概率。&你认为自己买彩票会赚钱吗？过度自信使人低估了风险。3概率的计算七例1从。到9这十个数字中任取三个，问大小在 中间的号码恰为5的概率是多少？解：设所求事件为A.基本事件总数为C；。A所含基本事件数为c：C；C；故型）=。珍二Cio 6已例2 9个人排成一排，求指定的3人排在一起的概率。解：设A表示指定的3人排在一起。bp 3四 1贝U*=单口=二=9!121例3一批产品共有10个，其中有4个废品，求:(1)这批产品的废品率(2)任取3个恰有1个是废品的概率(3)任取3个全非废品的概率解：分别用A、Av A。表示上述三个事件 RA)=0.4P(A)=J=0.5 Cm 2(3)叫)偿q注：若是有放回7抽取，答案会不同，如(3)RA0)$=0,216J例4两封信随机地投向标号为I、II、III、IV的四个 邮筒。求第二个邮筒恰好被投入1封信的概率以及前 两个邮筒中各有一封信的概率。解：设A表示第二个邮筒中投入一封信。B表示前两个邮筒各有一封信。两封信共有42种可能的投法。A的不同投法有C；C；种B的不同投法有C；种故 ra)=C 1RB)*获38例5(抽签的公正性)设有3个难签，5个易签。甲、乙、丙依次抽取，分别在有放回与不放 回的情况下计算各人抽到难签的概率。解：分别用A、B、C表示甲、乙、丙抽到难签。有放回时，每人面对的签数是相同的3P(A)=P(B)=P(C)=：3不放回时 RA)=RB)=叱8x7 8乙抽取时，可能与甲的抽取情况有关，但可将 甲与乙的抽取同时考虑，只要乙抽到难签即可类似地已0=普1=18x7x6 o1例6设有5个人，每个人以同等机会被分配在7个房 间中，求恰好有5个房间中各有一个人的概率。解：设A表示恰有5个房间中各有一个人。每人进入各房间等可能 基本事件总数为75个。5人进入的5个房间有C种选择，选定房间 后5个人还有5!种排列生C！360 故RA)=-2401*0.15例7从。到9十个数字种任取一个，取后放回，再取。先后共取七个数字。求下述事件的概率。(1)七个数字全不同的事件不含1与0的事件A2(3)两个偶数五个奇数的事件A3 解：基本事件总数为KF RA)=10 9 8 7 6 5 4107=0.0604887旭2)=五=0.20972(3)吗=107=0.1641例8两人约定于早上8点至9点在校门口见面。要求 先到者等20分钟后离去。假定两人到校门的时间相 互独立，而且在8至9点间是等可能的。问两人能见 面的概率是多少？解：以x与y分别表示两人在8点之后到达校门口的分 钟数。则0WxW60,0y0。而P(A)称为无条件概率。9例2市场上供应的电风扇中，甲厂产品占70%,乙厂占 30%。甲厂产品的合格率是95%,乙厂的合格率是80%。若川事件A,A分别表示甲、乙两厂的产品，B表示产品为 合格品，试写出有关事件的概率。解：由题设P(A)=0.7P(A)=0.3P(B|A)=0.95P(B|A)=0.8且有 R-A)=0.05P(B|A)=0.20例3全年级100名学生中，有男生(事件A)80人，女生20人;来自北京的(事件B)有20人，其中男生12人，女生8人；免 修英语(事件C)有40人，其中男生32人，女生8人。试写出 RA),RB),P(C),P(B|A),P(A|B),P(AB),P(C|A),P(A|B),P(AC)解：由题设、80D A=0.83 A RR00而22Q)7)7 B A=04P(B)=0 2)10012P(B|A)=0.15OUP(AB)=-=0.12 100_12RA|B)=V=O.15oU2100=0.32在例3中可以观察到A、RAB)0A g、P(AB)它是条件概率的计算公式。要求 P(A)0,P(B)0囊定理1(乘法规则)若 P(A)0,则 P(AB)=P(A)P(B|A)若 P(B)0,则 P(AB)=P(B)P(A|B)关于政事件A1A2,A的乘法规则是RA02 AJ=哂)叫向阳A3IA1AJP(AJA也An例4在例1中求从市场上买一台电风扇是甲厂生产 的合格品的概率以及是乙厂生产的合格品的概率。解：甲厂生产的合格品，即P(AB)=P(A)P(B|A)=0.7X0.9%0665乙厂生产的合格品，即P(AB)=P(A)P(B|A)=0.3X0.8=0.24为什么后者不是1P(AB)?因为AB与AB不是对立事件。白例510个考签中有4个难签，3人参加抽签（不放回）,甲先，乙次，丙最后。求甲抽到难签，甲、乙都抽 到难签，甲没抽到难签而乙抽到难签以及甲乙丙都 抽到难签的概率。解：设A、B、C分别表示甲、乙、内抽到难签。4 3 2P(AB)=P(A)P(B|A)=-x-IU 丫 IO-_ _644P(AB)=P(A)P(B|A)=-x-IU 13RABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)4 3 2 1一_ _ Z _-.-10 9 8 309例6设100件产品中有5件不合格，任取两件，求 两件均合格的概率，要求分为不放回与放回两种 情况计算。解：设A表示第一件合格，B表示第二件合格。在不放回时基本事件总数为C；，ab的基本事件数为C2I故 RAB)=浮氏 0.902VZ100另一方法95 94 P(AB)=P(A)P(B|A)=添器-0.902952放回时 RAB)=砺=0.9025或 盖=0.90259例710件产品中有4件废品，任取两件。若已知有一个是废品，求另一个也是废品。3 1错解：在另9个产品中(含3个废品)取到废品的概率P=：=正解：川A表示第一件是废品，B表示第二件是废品已知有一个是废品，即表示至少有一个废品，就是A+B若另一个也是废品，则两个都是废品即AB因(A+B)AB=AB 2且 P(A+B)=1 P(ATB)=1裳=14 3 2P(AB)=P(A)P(B|A)瑞 x 萨房弘0AOI/A 6、P(A+B)AB)2/2 1故RAB1(A+B)=+L)=15/3飞例8设A，B为两个事件，且P(A)=a0，P(B)=b0求证：P(A|B)2竺史b、T rv A P(AB)证：P(A B)=-RB)由于 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)故 R AB)=P(A)+P(B)RA+B)又因 P(A+B)W1P(A|B)=P(AB)P(A)+P(B)-P(A+B)RB)P(B)、P(A)+P(B)-1 a+b-1-=-RB)6.全概率公式与贝叶斯公式2例1市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%,乙厂占 30%,甲厂产品的合格率是95%,乙厂的合格率是80%若用事件A,A分别表示甲、乙两厂的产品，B表示产品 为合格品。求市场上买一个灯泡的合格率，及买到合格 灯泡是甲厂生产的概率。解：B=AB+AB且AB与AB互不相容。P(B)=P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=0.7X0.95+0.3X0.8=0.905RA|b)=P(AB)P(A)P(B|A)P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)0.7x0.950.7x0.95+0.3x0.8 0.735单定理1(全概率公式)若事件A1A2,构成一个完备事件组 并且都具有正概率，则对任何一个事件B,有RBXZRAJRBIA)证：A1A2两两互斥，故A1BA2B，两两互斥且8=81=8(三外)=工外8由加法法则 i iRBQZRAjB)i再由乘法法则RAB)=P(Ai)P(B|Ai)故 RB)=ZRAi)P(B|Ai)定理2(贝叶斯公式)若事件A1A2,构成一个完备事件组,且都具有正概率，则对任何一个概率不为零的事件B,有RA P(Am)P(B|Am)RAMrrajrba)证：P(Am|B)=RAmB)P(B)RAm)RB|Am)XRAJRBA)各原因下条件概率已知全概泰事件发生概率求是某种原因造成得概率 件已发生贝叶斯3例2设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正。一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9,用未校 正过的枪射击，中靶率为0.4。(1)该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？(2)若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率。解：设A表示炒已校正,B表示射击中靶则RA)=P(A)M RB|A)=0.9 5 5P(B|A)=0.1 P(B|A)=0.P(B|A)=0.6 P(B)=P(A)P(BIA)+P(A)P(B|A)=-x0.9+-x0.4=0.75 P(A|B=5 _ _ _P(A)P(B|A)r06P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)-2x06+-x0.15 5=0.8例3有三个同样的箱子，A箱中有4个黑球1个白球，B箱中有3个黑球3个白球，C箱中有3个黑球5个白球。现任取一箱，再从中任取一球，求(1)此球是白球的概率(2)若取出的是白球，求它取自B箱的概率。解：用A、B、C表示A、B、C三个箱子取球用D表示取出的是白球。则A、B、C是完备事件组。且 P(A)=P(B)=P(C)=；115P(D|A)=：RD|B)=；RD|C)=：O o RD)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)111115X 1 X 1 X 3 5 3 2 3 853120 0.442 P(B|D)=P(B)P(D|B)P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)1 1X 3 2 111115-X-1-X-1-X 3 5 3 2 3 82053 0.3781例4(抽签的公正性)设10支签中有4支难签。甲、乙、丙 依次不放回的抽取。求各人抽到难签的概率。解：分别用A、B、C表示甲、乙、丙抽到难签。R A),=0.410 _P(B)=P(A)P(B I A)+P(A)P(B I A)4 34 36=X 1 X=10 9 10 9 90=0.4RC)=P(AB)P(C|AB)+P(AB)P(C|AB)+P(AB)P(C|AB)+P(AB)P(C|AB)=P(A)P(B|A)P(C|AB)+P(A)P(B|A)P(C|AB)+P(A)P(B|A)P(C|AB)+P(A)P(B|A)P(C|AB)432463643643654=X XI-x x H-X X H-x x H-x x 10 9 8 10 9 8 10 9 8 10 9 8 10 9 8i=0.4720J例5设验血诊断某种疾病的误诊率仅为5%,即若川A表 示验血阳性，B表示受验者患病，则P(A|B)=P(A|B)=5%O若受检人群中仅有0.5%患此病，BPP(B)=0.005o求一个验血阳性的人确患此病的概率。解：RB|A)二RB)RAIB)1)P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)0.005x0.95=0.005x 0.95+0.995x 0.05氏 0.087若有10000人受检，患病者仅50人，其中验血阳性约475人而9950健康人中，验血阳性者为9950X0Q5=497.5人 7独立试验概型(一)事件的独立性H定义1若事件发生的可能性不受事件B发生与否的影响,即P(A|B)=P(A),则称事件A独立于事件B。若 P(A)=P(A|B)=RAB)则如鹄=RB|A)故若A独立于B,贝UB也独立于A,称事件A与事件B相互 独立。费定义2若n(n2)个事件,A。中任何一个事件发生的 可能性都不受其它一个或几个事件发生与否的影响，称A1A2,A。相互独立。关于独立性有如下性质:事件A与B独立的充分必要条件是P(AB)=P(A)P(B)证：必要性若A与B中有一个事件概率为零，结论成立。设A与B的概率都不为零，由独立性P(B|A)=P(B)而由乘法法则可得P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)充分性设 P(B)0,则型所需二5出A)即A与B独立。若事件A与B独立，则A与前与B工与排的 每一对事件都相互独立。证：P(AB)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)(1-P(B)=P(A)P(B)由(1)可知，A与刖立。类似可证其它两对事件独立。若事件A1A2,A”相互独立，则有叫八户叫)RAJ证：P(A1.An)=RA0P(A2|Ai)P(An|A.A.)而 P(A21A1)=P(A2),P(Aj A1A1v)=P(Aj 故明.AJ=叫)叫).RAJ(4)若事件AA2,人口相互独立，则有RA+4)=1哂)眄)_证：由于A,人口对立,外,.,瓦也对立P(A1+.+An)=1 P(A/.+An)=1-RA.)=1-P(A；).P(A；)匚例1设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中 目标的概率分别为09和08。求一次射击中，目标被 击中的概率。解：分别用A，B表示甲、乙击中目标。目标被击中，即至少有一人击中，即A+BA与B独立。故P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.9+0,8-0.9 X 0.8=0.98 或由性质(4)P(A+B)=1-P(A)P(B)=1-0J X 0,2=0.98小例2一名士兵用步枪射击飞机，命中率为0.004。求：(1)若250名士兵同时射击，飞机被击中的概率。(2)多少名士兵同时射击，才能使飞机被击中的概率达 到99%?解：用Aj表示第i名士兵击中飞机，P(Aj)=0.004+.+A250)=1-P(Ai).P(A25o)=1-0.9962500.63(2)设要的士兵同时射击RA1+.+An)=1-P(Ai).P(An)=1-0.996n=0.99即0.9960.01故门=lg0.011g 0.996力150例3甲、乙、丙3部机床独立工作，由一个工人照管，某段时间内它们不需要工人照管的概率分别为09,08及085。求在这段时间内有机床需要工人照管的概 率以及机床因无人照管而停工的概率。解：用A、B、C分别表示在这段时间内机床甲、乙、内不需要照管。则A、B、C相互独立，且P(A)=0.9 P(B)=0.8 P(C)=0.85P(A+B+C)=P(ABC)=1-P(ABC)=1-P(A)P(B)P(C)=1-0.9x0.8x0.85=0.388P(AB+BC+AC)二 P(AB)+P(BC)+P(AC)-2P(ABC)=0.1x0.2+0.2x0.15+0.1x0.15-2x0.1x0.2x0.15=0.059日例4图中开关a、b、c开或关 A _b、的概率都是05,且各开关是 否关闭相互独立。求灯亮的 o 概率以及若已见灯亮，开关a c与b同时关闭的概率。解：令A、B、C分别表示开关a、b、c关闭，D表示灯亮P(D)=P(AB+C)=P(AB)+P(C)-P(ABC)=P(A)P(B)+P(C)-P(A)P(B)P(C)=0.5 X 0.5+0.5-0.5 X 0.5 X 0.5=0.625由于ABuD,ABD=ABP(AB|D)=P(ABD)P(AB)05x0.5 RD)=P(D)=0.625=04七例5甲、乙丙三人独立射击一个目标，命中率分别为0.4,0.5,0-7,若只有一人击中，目标被摧毁的概率是0.2,若二人击中，则目标被摧毁的概率是0.6,若三人 都击中，目标一定被摧毁。若目标被摧毁，求它是一人 摧毁的概率。解：用Aj表示有i个人击中目标，i=0,123用B表示目标被摧毁。P(B|Ao)=O 叩向)=0.2 P(B|A2)=0.6 P(B|A3)=1P(Ao)=O,6 X 0.5 X 0.3=0.09P(A，=0.4 X 0.5 X 0.3+0.6 X 0.5 X 0.3+0.6 X 0.5 X 0.7=0.36P(A2)=0.4 X 0,5 X 03+0.4 X 0.5 X 0.7+06 X 0,5 X 0.7=0.41P(A3)=0.4X0,5X0,7=0.14RB)=tP(Aj)P(B|A)=0.458i=0(二)独立试验序列概型进行n次试验，若任何一次试验中各结果发生的可能性 都不受其它各次试验结果发生情况的影响，则称这n次 试验是相互独立的。在同样条件下重复进行试验的数学模型称为独立试验序 列概型。若在每次试验中只关心某事件A发生或不发生，且每次 试验结果与其它各次试验结果无关，即在每次试验中事 件A发生的概率都是p(0vp1)。这样的n次重复试验称为n重贝努里试验。-3例6一批产品的废品率为R(0vp1)重复抽取n次，求有k次取到废品的概率。解：设所求事件的概率为RB),事件B由下列m个互 不相容的事件组成：B=(废，.，废，正，.，正)B2=(废，.，废，正，废,正.，正)Bm=(正，.，正，废，废)P(B1)=P(B2)=.=P(Bm)=PK(1-p)-k而m=C：，故mP(B)=ZRBJ=mRBJ=CF(1-P)i一般地，有如下的定理：定理1(贝努里定理)设一次试验中事件A发生的概率 为p,(Opl),则n重贝努里试验中，事件A恰好发生 k次的概率R(k)为R(k)=Cpkqn k(k=oj.,n)其中q=1-p、例7 一条自动生产线上产品的一级品率为06,现 在检查了 10件，求至少有两件一级品的概率。解：设B表示至少有两件一级品 10k=21-O.410-C：o x 0.6x 0.49x 0.998、例8某药物对某病的治愈率为0.8,求10位服药的 病人中至少有6人治愈的概率。解：设A表示至少有6人治愈。10RA)=%(k)k=6=Pio(6)+Pio(7)+Pio(8)+P1o(9)+Pio(1O)=CfoO.86O.24+CoO.87O.23+%O.SOZ?+C?oO.89O.2+O.810p0.97而正好有8人治愈的概率为/(8)二%O.SON=0.3021例9在四次独立试验中，A至少出现一次的概率 为059,求A至多出现一次的概率。解：设在一次试验中A出现的概率为p则A至少出现一次的概率为士巳的甘-巳(0)=1-(1-p)4=0.59 k=1故(1-p)4=0.411-p=0.8 p=0.2A至多出现一次的概率为：P4(0)+P4(1)=(1-p)4+C；p(1-p)3=Q.+C4xQ2xQ=0.82例10(分赌注问题)甲、乙各下注a元，以猜硬币方式 赌博，五局三胜，胜者获得全部赌注。若甲赢得第 一局后，赌博被迫中止，赌注该如何分？解法一：每局双方获胜的可能性均为工2应按照比赛双方最终获胜的可能性分赌注。即在余下的四局中甲赢得2局以上即可。甲最终获胜的概率为P4(2)+P4(3)+P4(4)Cl-1 2)l2j1116乙胜的概率为余赌注应按11：5的比例分配。解法二：一般情况下不必比到第五局，有一方赢得三局即中止。甲方在第三局结束赌博获得胜利的概率为、2 1哂)七=彳甲方在第四局结束赌博获胜的概率为P(B4)=fcxlxlLl=-4 I 2 2 2j 2 4甲方在第五局结束赌博获胜的概率为2316故甲方最终获胜的概率为P(B3+B4+B5)=P(B3)+P(B4)+P(B5)=赌注应按11：5的比例分配。1116已例11(赛制的选择)在体育比赛中，若甲选手对乙选 手的胜率是06,那么甲在五局三胜与三局两胜这两 种赛制中，选择哪个对自己更有利。解：在五局三胜赛制中，甲获胜的概率为P5(3)+P5(4)+P5(5)二C10.630.42+C0.640.4+0.65=0.6826在三局两胜赛制中，甲获胜的概率为P3卬3(3)=0.620.4+0.63=0.648甲应选择五局三胜制。第二章随机变量及其分布 1随机变量的概念随机事件可以采取数量的标识。如：抽样检查产品时废品的个数。掷骰子出现的点数。对没有数量标识的事件，可以人为加上数量标志。如产品为优质品记为次品记为2,废品记为3。天气下雨记为不下雨记为0。定义1对于随机试验，每个样本W都对应着一个实数己(,而匕(w)是随试验结果变化的一个变量，称之为随机变量。一般用希腊字母己，中C或大写英文字母X、Y、Z表示。例如:60射击击中目标记为1分，未中目标记0分。用己表示 射击的得分，它是随机变量，可取o和1两个值。抛一枚硬币，己表示正面出现的次数，它是随机变量，可取o和1两个值。（3）某段时间内候车室旅客数目记为g,它可取0及一切 不大于最大容量M的自然数。（句一块土地上农作物的产量&是随机变量，它可以取区 间0,T的一切值。Q）沿数轴运动的质点，它的位置&是随机变量，可以取 任何实数，即卜（8,+8）随机变量按取值情况分为两类：离散型随机变量只可能取有限个或无限可列个值。(2)非离散型随机变量可以在整个数轴上取值，或至少有一部分值取某实 数区间的全部值。非离散型随机变量中最常用的是连续型随机变量。即取值于一个连续区间全部数值的随机变量。以后，只研究离散型与连续型随机变量。定义2若;是一个随机变量，对任何实数X,令F(x)=Px)称为F(x)是随机变量&的分布函数。对任意实数ah有P(a&Wb)=P(&Wb)-P(&a)=F(b)-F(a)分布函数完整地描述了随机变量的变化情况。注意 P(aW&Wb)=P(&=a)+P(a&Cb)=P(g=a)+F(b)-F(a)P(a&b)=P(a&Wb)-P=b)=F(b)-F(a)-P(1=b)分布函数具有如下的性质：对一切X G(00,+8)成立0 F(x)0,k=12 R=1例1 一批产品的废品率为5%,从中任意抽取一个进行 检验，用随机变量描述废品出现的情况。解：用;表示废品的个数。&=1表小产品的废品，g=0表示产品的合格品。0 1P 0.95 0.05或P(&=k)=(005)k(0.95)1k5(k=051)0 x0其分布函数为F(x)=0.95 0 x1分布函数的图形:1，0.95-e 0一般地：。x x2P Pi P2&0 1P 1-P P称为两点分布称为01分布例2产品有一、二、三等品及废品4种，其一、二、三 等品率和废品率分别为60%,10%,20%,10%,任 取一个产品检验其质量，用随机变量&描述检验结果。解：用&=k表示产品为k等品，k=1,2,3g=4表不产品为废品概率分布表为 1 2 3 4P 0.6 p 0.1 0.2 0.11 LQA 01234分布函数为0 0.6 F(x)=10.7 0.91X1 1x2 2 x3 3 x410.6 oo123例3用随机变量描述掷骰子的试验情况。解：令巳表示掷一颗骰子出现的点数。1 1 2 3 4 5 6o 1 1 1 1 1 16 6 6 6 6 6或写为Pd=k)=1,k=1,2,66其分布函数为0 x1F(x)=J-kx6其图形为10 1 2 3 4 5 6若概率函数为 P（q=Xk）=：,k=1,.,n且i w j时为=内,称匕服从离散型均匀分布。离散型随机变量的分布函数图形是阶梯曲线。在&的取正概率的点Xk处有跳跃，跃度为概率深 在任一连续点x上，&取值x的概率都是零。例4已知离散型随机变量匕的分布函数为0 0.09 F(x)=0.45 0.861x00 x1 1x2 2x5求己的概率分布。解：在跳跃点的跃度就是概率。故概率分布表为自 0 1 2 5P 0.09 0.36 0.41 0.14例5已知离散型随机变量己的分布为-2-10123P 2a 3a a 2a a a求a的值，并求出P/l）及P（闫vl）解：概率之和应为11=2斜3斜曲2亚曲2=10a故妹0.1概率表应为-2-10123 P 0.2 0.3 0.1 0.2 0.1 0.1P（1）=02+0.3+0.1+0.2=0.8P（闫4 1）=03+0.1+0.2=0.6例6某射手射击某一目标，直到射中为止。某每次射击命中率为P，求射击次数&的分布解：1=1表示第一次射击命中，P=1)=p.2表示第二次命中，第一次未中，%=2)=(1-p)p甘表示第i次命中，前i1次未中，p&=i)=(i p)Mp自的概率函数为R1=i)=p(1 p)i1 i=1,2,00易见Zp(-pY 1-1i=1这种随机变量称为几何分布。例7盒内装有外形与功率均相同的15个灯泡，其中 10个螺口，5个卡口，灯口向下放着。现在需要1个 螺口灯泡，从盒中任取一个，如果取到卡口灯泡就 不再放回去。求在取到螺口灯泡之前已取出的卡口 灯泡数的g分布。解：1=。表示第一个就取到了螺口灯泡。&=1表示第一个取到卡口，第二个才取到螺口灯泡。02)3 土”,15 14 1352120273%二3)&邛 15 14 13 125 273%=4工土平 15 14 13 12 111030035 4%=5）=?x 二5 15 143 2X一X一13 121x一1113003故&的分布为自 0 1 2p 2 5 203 21 23 45 10273 3003513003若本题改为取到卡口再放回去。则每次取灯泡时 的情况完全相同。Z=k表示前k次取到卡口灯泡,第k+1次取到螺口灯泡。m=5r 5?1015J 15rnk 2（3）3k=0,1,2,.例8一袋中装有编号为1,2,3,4,5的五个小球，任取 3个，用&表示球上的最大号码，求&的分布。解：&至少为3a o O-一一故g的概率分布为1 3 4 5P 0.1 0.3 0.6(二)连续型随机变量的分布例9在区间4,10上任意抛掷一个质点，用g表示这个 质点与原点的距离，则&是一个随机变量。若这个质点 落在4,10上任一子区内的概率与这个区间长度成正比,求&的分布函数。解：若adu4,10则 P(cd)=k(d-c)其中九是比例常数。若取c=4,d=10,则已4代410)二 6九而 P(410)=1故 人=6;取任何一个具体值的概率都是零。比例系数九=?反映了概率分布在任一子区间6c,d上的密集程度，记作(p(x).-4x10(p(x)=0,则称匕为连续型随机变量。称(p(x)为己的概率密度，常写为。(p(x)概率密度的基本性质：(l)(p(x)0(p(x)dx=1J co