1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,向量的数乘运算,1.,向量加法的,三角形法则,作法,:,在平面中任取一点,O,o,回顾旧知,:,过,O,作,OA=,a,过,A,作,AB=,b,则,OB=,a,+,b,.,a+b,b,a,A,如图,已知向量,a,和向量,b,作向量,a,+,b,.,b,B,a,首尾相接首尾连,2.,向量加法的平行四边形法则,作法,:,在平面中任取一点,O,o,以,OA,OB,为边作,平行四边形,C,如图,已知向量,a,和向量,
2、b,作向量,a+b,.,b,a,a,A,b,B,过,O,作,OA=,a,过,O,作,OB=,b,a+b,则对角线,OC=,a+b,共起点,3.,向量的减法,(,三角形法则）,如图,已知向量,a,和向量,b,作向量,a-b,.,a,b,作法,:,在平面中任取一点,O,o,a,A,a-b,b,B,共起点,过,O,作,OA=,a,过,O,作,OB=,b,则,BA=,a-b,实际背景,探索,1:,a,C,a,A,B,a,O,-a,Q,-a,M,N,-a,P,已知非零向量,a,（如图）,a,试作出：,a,+,a,+,a,和,(-,a,)+(-,a,)+(-,a,),根据向量加法的法则可得,思考,:,相同
3、向量相加以后，,和的长度与方向有什么变化？,O,A,B,C,由图可知，向量,OC=OA+AB+BC=a+a+a,我们把,a+a+a,记作,3 a,，即,OC=3a.,显然，,3a,的方向与,a,的方向相同，,3a,的长度是,a,的长度的,3,倍，即,|3a|=3|a|.,P,Q,M,N,由图可知，,PN=PQ+QM+MN,=(-a)+(-a)+(-a),，把,(-a)+(-a)+(-a),记作,-3 a,，即,PN=-3a,显然，,-3a,的方向与,a,的方向相反，,-3a,的长度是,a,的长度的,3,倍，即,|-3a|=3|a|,。,（,1,）,一般地，我们规定实数,与向量 的积是一个向量，
4、这种运算叫做,向量的数乘,，记作 ，它的长度和方向规定如下,：,（,2,）当 时，的方向与 的方向相同；,当 时，的方向与 的方向相反。,特别的，当 时，,思考,:,向量数乘和实数乘法有那些相同点,?,那些不同点,?,a,是一个向量；,a,的长度等于的绝对值与向量,a,的长度的乘积。,=,探索,2:,(1),根据定义，求作向量,3(2,a,),和,(6,a,),(,a,为非零向量,),，并进行比较。,(2),已知向量,a,b,，求作向量,2(,a+b,),和,2,a+,2,b,，并进行比较。,设 为实数，那么,特别的，我们有,向量的加、减、数乘运算统称为,向量的线形运算,.,对于任意向量 ，以
5、及任意实数 ，,恒有,第一分配律,第二分配律,例,1.,计算：,例,2,练习,3,：在,ABCD,中，设对角线,试用,表示,练习,4,：凸四边形,ABCD,的边,AD,、,BC,的中点分别为,E,、,F,，,求证,:,探索,.,如图：已知 ，试判断 与 是否共线,A,B,D,E,C,与 共线,解：,思考,:,问题,2,：如果,向量,a,与,b,共线,那么，,b=,a,？,问题,1,：如果,b=,a,那么，向量,a,与,b,是否共线？,对于向量,a(a0),b,，以及实数,向量共线定理,对于向量,a,（,a 0,）、,b,，如果有一个实数，使,b=a,，那么由实数与向量的积的定义知，,a,与,b
6、共线,.,反过来，已知向量,a,与,b,共线，,a 0,，且向量,b,的长度是向量,a,的,倍，即,|b|a|=,，那么当向量,a,与,b,同方向时，有,b=a,，当向量,a,与,b,反方向时，有,b=-a.,也就是说：如果,a,与,b,共线，那么有且只有一个实数，使,b=a.,例,2:,如图，在平行四边形,ABCD,中，,M,是,AB,的,中点，点,N,是,BD,上的一点，,求证,M,、,N,、,C,三点共线,.,A,M,B,C,D,N,提示：设,AB =,a,BC =,b,则,MN=,a+,b,MC=,a+,b,所以,M.N.C,三点共线,一、,a,的定义及运算律,向量共线定理,(a0),b=,a,向量,a,与,b,共线,二、定理的应用：,1.,证明 向量共线,2.,证明 三点共线,:AB=,BC,A,B,C,三点共线,3.,证明 两直线平行,:,AB=,CD,ABCD,AB,与,CD,不在同一直线上,直线,AB,直线,CD,
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