1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,函数的单调性,习题课,复习准备,对于给定区间,D,上的函数,f(x)，,若对于,D,上的任意两个值,x,1,x,2,，,当,x,1,x,2,时，都有,f(x,1,)f(x,2,),则称,f(x),是,D,上的,增（减）函数，区间,D,称为,f(x),的增（减）区间。,1、函数单调性的定义是什么？,复习准备,1、函数单调性的定义是什么？,2、证明函数单调性的步骤是什么？,证明函数单调性应该按下列步骤进行：,第一步：取值,第二步：作差变形,第三步：定号,第四步：判断下结论,复习准备,1、函数单调性的定义是什么？
2、2、证明函数单调性的步骤是什么？,3、现在已经学过的判断函数单调性有些什么方法？,数值列表法（不常用）、,图象法、,定义法,题型一：用定义证明函数的单调性,例,1、判断函数,f(x)=x,3,+1,在(,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果,x（0，），,函数,f(x),是增函数还是减函数？,所以,f(x),在(,0)上是减函数,证明函数单调性的问题，只需严格按照定义的步骤就可以了。,题型二：图象法对单调性的判断,例,2：指出下列函数的单调区间：,例,2：指出下列函数的单调区间：,如果函数的图象比较好画，我们就画图象观察图象法,利用图象法求单调区间的时候，应特别注意某些特殊点，尤其
3、是图象发生急转弯的地方。用它们将定义域进行划分，再分别考察。,题型二：图象法对单调性的判断,结论1：,yf(x)(f(x),恒不为0），与 的单调性相反。,题型三：利用已知函数单调性判断,例,3：判断函数,在(1,+)上的单调性。,题型三：利用已知函数单调性进行判断,例,4：设,f(x),在定义域,A,上是减函数，试判断,y32f(x),在,A,上的单调性，并说明理由。,解：,y=32f(x),在,A,上是增函数，因为：,任取,x,1,，x,2,A，,且,x,1,f(x,2,),故2,f(x,1,)2f(x,2,),所以32,f(x,1,)32f(x,2,),即,有,y,1,0,时，单调性相同
4、当,k0),在某个区间上为增函数，则,也是增函数,结论6：,复合函数,fg(x),由,f(x),和,g(x),的单调性共同决定。它们之间有如下关系：,f(x),g(x),fg(x),题型三：利用已知函数单调性进行判断,练习：求函数,的,单调区间。,答案：,(,3单减区间,2,+),单增区间,注意：,求单调区间时，一定要先看定义域。,题型四：函数单调性解题应用,例,1：已知函数,y=x,2,2axa,2,1,在(,1)上是减函数，求,a,的取值范围。,解此类,由二次函数单调性求参数范围,的题，最好将二次函数的图象画出来，通过图象进行分析，可以将抽象的问题形象化。,练习：如果,f(x)=x,2
5、a1)x+5,在区间（0.5，1）上是增函数，那么,f(2),的取值范围是什么？,答案：7,）,题型四：利用函数单调性解题,例,2：已知,x0,1,则函数,的最大值为_,最小值为_,利用函数的单调性求函数的值域,，这是求函数值域和最值的又一种方法。,题型四：利用函数单调性解题,例,3：已知：,f(x),是,定义在1,1上的增函数，且,f(x1)f(x,2,1),求,x,的取值范围。,注：,在,利用函数的单调性解不等式,的时候，一定要注意定义域的限制。,保证实施的是等价转化,题型四：利用函数单调性解题,例,4：已知,f(x),在其定义域,R,上为,增函数，,f(2)=1,f(,xy,)=f(
6、x)+f(y).,解不等式,f(x)+f(x2)3,解此类题型关键在于,充分利用题目所给的条件,，本题就抓住这点想办法构造出,f(8)=3,这样就能用单调性解不等式了。,题型五：复合函数单调区间的求法,例,1：设,y=f(x),的单增区间是(2,6)，求函数,y=f(2x),的单调区间。,小结,1、怎样用定义证明函数的单调性？,2、判断函数的单调性有哪些方法？,3、与单调性有关的题型大致有哪些？,取值,作差,变形,定号,下结论,小结,1、怎样用定义证明函数的单调性？,2、判断函数的单调性有哪些方法？,3、与单调性有关的题型大致有哪些？,1、定义法,2、图象法,3、利用已知函数的单调性，通过一些简单结论、性质作出判断。,4、利用复合函数单调性的规则进行判断。,小结,1、怎样用定义证明函数的单调性？,2、判断函数的单调性有哪些方法？,3、与单调性有关的题型大致有哪些？,1、已知单调性，求参数范围。（有时候需要讨论）,3、利用单调性求解不等式。（重在转化问题）,2、利用函数单调性求函数的值域或最值。,4、求函数单调区间的题型（包括求复合函数单调区间）,
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