1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二面角,l,A,B,P,Q,O,B,A,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做,二面角。,这条直线叫做,二面角的棱。,这两个半平面叫做,二面角的面,。,平面角由,射线,-,点,-,射线构成。,二面角由,半平面,-,线,-,半平面构成。,定义,P,Q,l,A,B,二面角的表示,l,二面角,l,二面角,C,AB,D,A,B,C,D,二面角的画法,C,E,F,D,A,B,一个平面垂直于二面角的棱,且与两个半平面的交线分别为,OA,OB,O,为垂足,则,AOB,叫做,二面角的平面角。,平面角是直角的二面角叫做直
2、二面角,.,二面角的度量,二面角的平面角的三个特征,:,1.,点在棱上,2.,线在面内,3.,与棱垂直,二面角的大小的范围,:,l,P,A,B,二面角的平面角的作法：,、点,P,在棱上,定义法,、点,P,在一个半平面上,三垂线定理法,、点,P,在二面角内,垂面法,A,B,P,P,A,B,O,公式法,例,1,如图，已知,P,是,二面角,-AB-,棱上一点，过,P,分别在,、,内引,射线,PM,、,PN,，且,MPN=60,BPM=BPN=45,，,求此二面角的度数。,A,B,P,M,N,C,D,O,解,：,在,PB,上取不同于,P,的一点,O,，,在,内过,O,作,OCAB,交,PM,于,C,，
3、在,内作,ODAB,交,PN,于,D,，,连,CD,，,可得,COD,是二面角,-,AB,-,的平面角,设,PO=a,，,BPM=BPN=45,CO=a,，,DO=a,PC=a,PD=a,又,MPN=60,CD=PC=a,COD=90,因此，二面角的度数为,90,a,O,P,C,过,A,作,AO,于,O,，,过,O,作,OD,l,于,D,，连,AD,A,O,l,D,例,2,、,已知锐二面角,l,，,A,为面,内一点,，,A,到,的距离为,2,，,到,l,的距离为,4,，,求,二面角,l,的大小。,解,：,则由三垂线定理得,AD,l,ADO,就是二面角,l,的平面角,二面角,l,的大小为,60
4、作,证,计算,17,结论,在,Rt,ADO,中,AO,=2,AD,=4,ADO,=60,二面角的计算步骤,1,、,找到或作出二面角的平面角,2,、,证明所作的角就是所求,二面角的平面角,3,、,计算出此角的大小,一,“,作,”,二,“,证,”,三,“,计算,”,1.,如图,ABCD,是,正方形,，,PD,平面,ABCD,则,(1),面,PAB,与面,ABCD,所成二面角的平面角是,_,(2),面,PBC,与面,ABCD,所成二面角的平面角是,_,(3),面,PAD,与面,PCD,所成的二面角的平面角是,_,(4),面,PAC,与面,ACD,所成的二面角的平面角是,_.,A,B,C,D,P,O
5、练 习,2,、如图，,AB,是圆的直径，,PA,垂直圆所在的平面，,C,是圆上任一点，则二面角,P-BC-A,的平面角为,:,A.,ABP,B.,ACP,C.,都不是,3,、已知,P,为二面角 内一点，且,P,到两个半平面的距离都等于,P,到棱的距离的一半，则这个二面角的度数是多少？,p,A,B,O,60,O,A,B,P,C,取,AB,的中点为,E,，,连,PE,，,OE,O,为,AC,中点,，,ABC=90,OEBC,且,OE BC,在,Rt,POE,中，,OE,，,PO,所求的二面角,P-AB-C,的正切值为,4,如图，三棱锥,P-ABC,的顶点,P,在底面,ABC,上的射影是底面,Rt
6、ABC,斜边,AC,的中点,O,，若,PB=AB=1,，,BC=,，,求二面角,P-AB-C,的正切值,。,PEO,为二面角,P-AB-C,的平面角,在,Rt,PBE,中,，,BE,，,PB=,1,，,PE,OEAB,，,因此,PEAB,E,解：,E,O,P,M,O,2,1,A,B,6,如图，已知,A,、,B,是,120,的二面角,l,棱,l,上的两点，线段,AC,，,BD,分别在面,，,内，且,AC,l,，,BD,l,，,AC,=2,，,BD,=1,，,AB,=3,，,求线段,CD,的长。,A,D,B,C,l,OAC,120,AO=,BD,=1,AC,=,2,四边形,ABDO,为矩形,DO=A,B,=3,解,A,D,B,C,l,O,（方法一）,6,如图，已知,A,、,B,是,120,的二面角,l,棱,l,上的两点，线段,AC,，,BD,分别在面,，,内，且,AC,l,，,BD,l,，,AC,=2,，,BD,=1,，,AB,=3,，,求线段,CD,的长。,二,、,二面角的平面角,一,、,二面角的定义,从空间一直线出发的两个半,平面所组成的图形叫做二面角,1,、定义,2,、求二面角的平面角方法,点,P,在棱上,点,P,在一个半平面上,点,P,在二面角内,A,B,P,A,B,p,p,A,B,p,A,B,O,定义法,三垂线定理法,垂面法,小结,公式法,
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