高三数学一轮复习 2.3 函数的单调性课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,1.,理解函数的单调性,2,会用函数图象理解和研究函数的性质,.,【,考纲下载,】,第,3,讲 函数的单调性,1,增函数与减函数,一般地，对于,的函数,f,(,x,),，如果对于属于这个区间的,两个自变量,的值,x,1,、,x,2,，当,时，都有,（或都有,),，那么就说,f,(,x,),在,这个区间上是增函数,(,或减函数,),f,(,x,1,),f,(,x,2,),任意,x,1,x,2,2,单调性与单调区间,如果函数,y,f,(,x,),在某个区间上是增函数,(,或减函数,),，就说,f,(,x),在这一区间上具有,(,严格的,),单调性，这一区间叫做,f,(,x,),的,若,函数是增函数则称区间为,，若函数为减函数则称区间,为,单调区间,单调增区间,单调减区间,【,思考,】,单调区间与函数定义域有何关系？,答案：,单调区间是定义域的子区间,对于函数,y,f,(,u,),和,u,g,(,x,),，如果当,x,(,a,，,b,),时，,u,(,m,，,n,),，且,u,g,(,x,),在区间,(,a,，,b,),上和,y,f,(,u,),在区间,(,m,，,n,),上同时具有单调性，那么复合函数,y,f,(,g,(,x,),在区间,(,a,，,b,),上具有,，并且具有这样的规律：,见下表,【,思考,】,若一个函数出现两个或两个以上单调区间时，能否用,“,”,来联结？,y,f(u,),增,减,u,g,(,x,),增,减,增,减,y,f,(,g,(,x,),单调性,同增异减,减,增,增,减,3,复合函数的单调性,答案：,不能如函数,y,在,(,，,0),和,(0,，,),上单调递减，但不能说函数在,(,，,0),(0,，,),上递减，因为若可以这么说,，,由于,1,f,(1),，,但,f,(,1),1,，,f,(1),1,，,f,(,1),f,(1),矛盾，故不能将两个单调减区间并起来,1,(2010,安徽合肥模拟,),若函数,y,ax,与,y,在,(0,，,),上都是减函数，,则,y,ax,2,bx,在,(0,，,),上是,(,),A,增函数,B,减函数,C,先增后减,D,先减后增,解析：,y,ax,与,y,在,(0,，,),上都是减函数，,a,0,，,b,0.,y,ax,2,bx,的对称轴方程,x,1,，,函数,f,(,x,),log,2,(2,x,),的单调递减区间与,y,2,x,(,x,2),的单,调递减区间一致,答案：,(,，,2),3,函数,f,(,x,),4,x,2,mx,5,在区间,2,，,),上是增函数，在区间,(,，,2,上是减函数，则,f,(1),(,),A,7 B,1 C,17 D,25,解析：,依题意知：,x,2,，,m,16,f,(1),4,1,2,16,1,5,25.,答案：,D,对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义,(,基本步骤为取点、作差或作商、变形、判断,),求解可导函数则可以利用导数解之,【,例,1,】,试判断函数,f,(,x,),x,2,在,(0,，,),上的单调性，并加以证明,思维点拨：,(1),定义法；,(2),导数法,解：解法一：,函数,f,(,x,),x,2,在,(0,，,),上是单调增函数，设,0,x,1,x,1,0,，,x,1,x,2,0,，,f,(,x,1,),f,(,x,2,)0,，,即,f,(,x,1,)0,时,，,f,(,x,)0,，,故,fx,),在,(0,，,),上为增函数,.,在求函数的单调区间,(,即判断函数的单调性,),时，一般可以应用以下方法：,定义法；,图象法；,借助其他函数的单调性判断法；,利用导数法等利用定义法求解时，区间边界值的求解可以近似取,x,1,x,2,时，使,f,(,x,1,),f,(,x,2,),0,的根为单调区间的分界点,(,在该点附近处可以判断其因式的正负,),如果函数解析式中含有参数,(,字母,),往往需要考虑分类讨论的思想方法,【,例,2】,求函数,y,x,的单调区间,思维点拨：,定义法,(,或导数法,),解：令,f,(,x,),y,x,.,首先确定定义域,：,x,|,x,0,，,在,(0),和,(0,，,),两个区间上分别讨论任取,x,1,、,x,2,(0,，,),且,x,1,x,2,，,则,f,(,x,2,),f,(,x,1,),x,2,x,1,(,x,2,x,1,),(,x,2,x,1,),，,要确定此式的正负只要确定,1,的正负即可这样，又需要判断,大于,1,，,还是小于,1.,由于,x,1,、,x,2,的任意性，考虑到要将,(0,，,),分为,(0,1),与,1,，,),当,x,1,、,x,2,(0,1),时,，,1,0,，,f,(,x,2,),f,(,x,1,)0,，,f,(,x,2,),f,(,x,1,)0,，,函数,f,(,x,),为增函数,同理可求当,x,1,、,x,2,(,1,0),时,，,函数,f,(,x,),为减函数,；,当,x,1,、,x,2,(,，,1,时，函数,f,(,x,),为增函数,综上所述，函数,y,x,的单调递增区间为,(,，,1,和,1,，,),，,单调递减区间为,(,1,0),和,(0,1),拓展,2,：,若将本例函数改为,“,f,(,x,),x,(,a,0),，,再求其单调区间,”,解：,设,x,1,x,2,(0,，,),则,f,(,x,1,),f,(,x,2,),x,1,(,x,1,x,2,),(,x,1,x,2,)(1,),(,x,1,x,2,),x,1,x,2,0,，,当,x,1,x,2,(0,，,),时,，x,1,x,2,a,0,，,f,(,x,1,),f,(,x,2,),f,(,x,),在,(0,，,),是减函数,同理，当,x,1,x,2,(,，,),时,，,f,(,x,1,)0,，,得函数的定义域是,(,，,1),(2,，,),，,令,t,x,2,3,x,2,，,则,y,log,0.7,t,.,t,x,2,3,x,2,，,t,x,2,3,x,2,的单调减区间是,(,，,1),增区间是,(2,，,),，,又,y,log,0.7,t,在,(0,，,),上是减函数,，,函数,y,log,0.7,(,x,2,3,x,2),的单调减区间是,(2,，,),，,单调增区间是,(,，,1).,已知函数的解析式，能够判断函数的单调性，确定函数的单调区间，反之已知函数的单调区间可确定函数解析式中参数的值和范围，可通过列不等式或解决不等式恒成立问题进行求解,【,例,4】,已知函数,f,(,x,),(,a,0),在,(2,，,),上递增，求实数,a,的,取值范围,解：解法一：,设,2,x,1,x,2,，,由已知条件,f,(,x,1,),f,(,x,2,),(,x,1,x,2,),a,(,x,1,x,2,).,0,恒成立,即当,2,x,1,a,恒成立,又,x,1,x,2,4,，,则,00),的递增区间是,(,，,),，,(,，,),，,根据已知条件,2,，,解得,0,a,4.,变式,4,：,函数,y,在1,，,),上单调递增,，,则,a,的取值范围是,(,),A,a,3 B,a,3 C,a,3 D,a,3,解析：,y,需,a,3.,答案：,C,【,方法规律,】,1,本讲的重点是函数单调性的有关概念，难点是利用定义证明或判断函数的单调性复习时，注意证明函数单调性的一般步骤：,设值；,作差；,变形；,定号；,结论,2,在理解函数单调性的定义时，下列三点值得注意：,(1),单调性是与,“,区间,”,紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性；,(2),单调性是函数在某一区间上的,“,整体,”,性质，因此定义中的,x,1,，,x,2,具有任意性，不能用特殊值替代；,(3),由于定义都是充要性命题，因此由,f,(,x,),是增,(,减,),函数可知,f,(,x,1,),f,(,x,2,),x,1,x,2,(,x,1,0,时，,0,f,(,x,)0,；,(3),求证：,f,(,x,),在,R,上是减函数,证明：,(1),取,m,0,，,n,，,则,f,f,f,(0),，,f,0,，,f,(0),1 4,分,(2),设,x,0,，,由条件可知,f,(,x,)0,5,分,又因为,1,f,(0),f,(,x,x,),f,(,x,),f,(,x,)0,，,所以,f,(,x,)0,，,即当,x,R,时，恒有,f,(,x,)0.8,分,【,规范解答,】,(3),设,x,1,x,2,，则,f,(,x,1,),f,(,x,2,),f,(,x,1,),f,(,x,2,x,1,),x,1,f,(,x,1,),f,(,x,2,x,1,),f,(,x,1,),f,(,x,1,)1,f,(,x,2,x,1,)10,分,x,1,0,，,0,f,(,x,2,x,1,)0,，,又,f,(,x,1,)0,，,f,(,x,1,)1,f,(,x,2,x,1,)0,，,f,(,x,1,),f,(,x,2,)0,，,即,f,(,x,1,),f,(,x,2,),故函数,f,(,x,),在,R,上是减函数,.14,分,本题第一小问一般不会出错，但第二、三问则就缺少推理论证的依据，导致不严谨和错误,(1)不会利用,“,1,f,(0),f,(,x,x,),f,(,x,),f,(,x,)0,”,这一变形，导致思维滞顿,(2),利用函数定义证明时，不能将,f,(,x,1,),f,(,x,2,),变形为,f,(,x,1,),f,(,x,2,x,1,),x,1,f,(,x,1,),1,f,(,x,2,x,1,),，而陷入困境,【,易入误区,】,很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同,“,特征,”,而设计出来的，在解决问题时，可以通过类比这类函数中的一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质如本题就是基于指数函数,f,(,x,),a,x,(0,a,1),而设计出来的题目，解答时可以类比这个指数函数的性质，寻找解题思路、进行推理论证解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用，通过特殊赋值可以找到函数的不变性质,(,如本题中,f,(0),1,就是这个函数的一个不变性质,),，这个不变性质往往是进一步解决问题的突破口,抽象函数性质的证明是一种代数推理，和几何推理证明一样，要注意推理的严谨性，每一步推理都要有充分的条件，不可漏掉条件，更不要臆造条件，推理过程要层次分明，书写规范,.,【,状元笔记,】,