高中数学A版选修3-4对称与群 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,对 称 与 群,（一）从我们的身边而来,1.,人们身边充满了对称,:,比如,:,雪花图 鼠标 窗框,一、从哪里来,（二）在我们的认知里,1,几何对称,（,1,）平面上的对称,（,2,）空间中的对称,四面体,十二面体,2,代数对称,一元,n,次方程的根的对称多项式：,根与系数的关系：,3,相邻学科的启示,物理：光的传播，物体的运动，,化学：晶体结构，,生物遗传,等等。,二、是什么,F,克莱因于,1872,年提出（,爱尔朗根纲领,）：,一种几何学都和一种群相对应。,所谓几何学，就是探究在群进行变换时不变的,图形性质，即变成了研究群的不变性的学科。,克莱因把变换的理论同方程论以及几何学联结,在一起。,如何把各种各样的“对称”当中共同的本质抽象出来，用数学语言理性地描述对称。,什么是对称的共性？什么是对称的本质？,下面通过对“平面图形的对称”及“,n,元多项式的对称”进行分析，继而探索关于“对称”的统一的本质。,（一）,在运动中看“对称”,一般地，圆比正方形更对称些，正六边形比正三角形更对称些，正三角形比等腰三角形更对称些，等腰三角形比一般三角形更对称些。,正三角形与正方形谁“更”对称一些？,让静的平面图形动起来，在运动中看对称。用运动的观点去考察事物，研究事物，是常用的方法。,可以把平面图形的对称中用到的运动分为三类：,反射；旋转；平移。,（二）从不变性看“对称”,共同的特点是，都保持平面上任意两点间的距离不变。,所以，把反射、旋转、平移，或者它们的相继实施，统称为“保距变换”,刚体运动。,变中有不变,在,“,刚体运动,”,下,“,不动,”,也是一种,“,运动,”,它可以看成旋转,0,o,的,“,运动,”,也可以看成平移,a=0,的“运动”,.,这样，任何平面图形都会在某种“运动”下不变,因为它至少在“不动”下不变,.,如果一种平面图形（例如一般三角形）只在“不动”这种“运动”下才不变,那么我们就认为该平面图形的对称性最差,或者干脆说它“不对称”,.,由这一观点自然的延伸,就可以想到描述平面图形对称性强弱的一种量化的方法,.,这就是把所有,使某平面图形,K,不变的“运动”放在一起,构成一个集合,记为,S(K),并称其为,K,的对称集,.,把,S(K),中元素多少作为,K,的对称性的量化的描述。,逆时针旋转,120,度,如果看颜色 它当然变了 如果只看形状呢,?,例：,|S(K)|=,|S(K)|=8,|S(K)|=12,|S(K)|=6,|S(K)|=1,|S(K)|=0,抽象观点与具体例子的对照,定性的描述上升为定量的描述,正三角形与正方形谁更对称一些？,|S(K)|=6,|S(K)|=8,正方形比正三角形更对称一些,通过观察几何中的“对称”现象，发现 其中的“变中有不变”规律，提出将“运动”作为研究对象的设想；把保持不变的运动放到一起，构成一个集合，称之为“对称集”，用它来描述的对称性；最后，我们把集合中元素的个数，作为衡量平面图形的对称性强弱的一个量化指标。,（三）,n,元多项式的对称,仿照研究“平面图形的对称”时的方式，把“,n,元多项式的对称”，也从直观的感觉，抽象为数学的叙述。,n,元多项式：,考虑,n,3,构成,三,元多项式。有两方面要素：,一方面是,“,构成元素,”,及系数,；,另一方面是他们间的,“,运算,”,加法和乘法。,三元,多项式,谁比谁更对称一些,?,“,n,元置换,”,或简称,“,置换,”,n,3,的时候,共有,6,个“,3,元置换”,描述,三,元多项式对称性强弱的一种量化的方法,.,这就是把所有使,三,元多项式不变的,“,3,元置换”放在一起,构成一个集合，记为,S(,f,),称为,f,的“对称集”,.,S(,f,),中元素个数,|S(,f,)|,是对,f,的对称性的量化描述,.,“,n,元置换”一共有,n,!,个。如果,f,是,n,元多项式，则,S(,f,),是全体,n,!,个,n,元置换所构成集合的子集合，所以,|S(,f,)|,n,！,.,当,|S(,f,)|,=,n,！时，任一,n,元,置,换都将保持,f,不变，这时,f,称为,n,元对称多项式。,（四）集合上的可逆变换，子集的对称变换,1,集合上的可逆变换,把讨论“平面图形的对称”及“,n,元多项式的对称,”,中形成的数学思想综合起来，用,“,子集的对称,”,的语言来统一地描述任一客观事物的,“,对称,”,。,设,M,是一个集合，则,M,到自身的一个映射称为“,M,上的一个变换”；,M,到自身的一个可逆映射称为“,M,上的一个可逆变换”。,2,子集的对称变换,“变”是指集合,M,上有特点的一些可逆变换,每个可逆变换 都“改变”了集合,M,中的元素和子集,.,这里的“不变”,是指对于,M,的一个具体的子集,N,有些 在整体上保持,N,不变,即 称这样的 为“,N,的对称变换”,.,把所有这样的“对称变换”放到一起,构成一个集合,记为,称为“,N,的对称集”3.,对称变换群,任一客观事物都可以看作某一个集合,M,的子集,M,N,“子集,N,的对称变换”,“子集,N,的对称集,S(N)”,子集,N,的对称集,S(N),，是一个具有代数结构的集合。,S(N),中有运算，且有规律。,S(N),中任意两个元素,相继作用的结果仍保持,N,整体不变，故 仍在,S(N),中,称之为,S(N),中的运算满足封闭律,(,一般说“运算”,就隐含封闭,为强调,单列一条,),；,S(N),中任意三个元素,，,的运算，是先做 的运算还是先做 的运算，效果是一样的，称之为,S(N),中的运算满足结合律；,S(N),中总有一个特殊的元素即恒等变换，它如同数的乘法中的,1,与任何元素作运算都保持该元素不变，称之为,S(N),中的运算满足幺元（单位元）律,;,对,S(N),中任一元素,，,S(N),中一定有一个元素 使与 相继作用的效果，恰相当于,中的恒等变换，即不动，称 为 的逆元，这称为,S(N),中的运算满足逆元律,;,此时，,N,的对称集,S(N),叫作“,N,的对称变换群”,.,（五）群的定义,设,G,是一个带有运算,“,”的非空集合，且其中的运算满足以下四个条件，则称,G,；,是一个群,结合律,：有,封闭律,：有,幺元律,：存在 ，使 ，有,，称,为幺元；,逆元律,：,，存在 ，使,称,b,为,a,的逆元。,群,G,；,也简记为,G,三、到哪里去,