高三数学一轮复习专辑：§2.3函数的奇偶性课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,要点梳理,1.,奇函数、偶函数的概念,一般地,如果对于函数,f,(,x,),的定义域内任意一个,x,，都,有,_,，那么函数,f,（,x,）就叫做偶函数,.,一般地,如果对于函数,f,(,x,),的定义域内任意一个,x,，都,有,_,，那么函数,f,（,x,）就叫做奇函数,.,奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于,y,轴,对称,.,2.3,函数的奇偶性,f,（,-,x,）,=,f,（,x,）,f,（,-,x,）,=-,f,（,x,）,基础知识 自主学习,2.,判断函数的奇偶性,判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般,步骤是,:,（,1,）考查定义域是否关于,_,对称；,（,2,）考查表达式,f,（,-,x,）是否等于,f,（,x,）或,-,f,（,x,）：,若,f,（,-,x,）,=_,，则,f,（,x,）为奇函数；,若,f,（,-,x,）,=_,，则,f,（,x,）为偶函数；,若,f,（,-,x,）,=_,且,f,（,-,x,）,=_,则,f,(,x,),既是,奇函数又是偶函数；,若,f,（,-,x,）,-,f,（,x,）且,f,（,-,x,）,f,（,x,），则,f,（,x,）既,不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数,.,原点,-,f,（,x,）,f,（,x,）,-,f,（,x,）,f,（,x,）,3.,奇、偶函数的性质,(1),奇函数在关于原点对称的区间上的单调性,_,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性,_(,填,“,相同,”,、,“,相反,”,）,.,(2),在公共定义域内,两个奇函数的和是,_,两个奇函数的积是偶,函数；,两个偶函数的和、积是,_,；,一个奇函数，一个偶函数的积是,_.,奇函数,偶函数,奇函数,相同,相反,基础自测,1.,对任意实数,x,下列函数为奇函数的是 （）,A.,y,=2,x,-3,B.,y,=-3,x,2,C.,y,=,ln,5,x,D.,y,=-|,x,|cos,x,解析,A,为非奇非偶函数,B,、,D,为偶函数,C,为奇函数,设,y,=,f,(,x,)=,ln,5,x,=,x,ln,5,f,（,-,x,）,=-,x,ln,5=-,f,（,x,）,.,C,2.,（,2008,全国,理）,函数 的图象关于,（）,A.,y,轴对称,B.,直线,y,=-,x,对称,C.,坐标原点对称,D.,直线,y,=,x,对称,解析,f,（,x,）是奇函数,.,f,（,x,）的图象关于原点对称,.,C,3.,下列函数中既是奇函数,又在区间,-1,1,上单调递,减的函数是,(),A.,f,(,x,)=sin,x,B.,f,(,x,)=-|,x,-1|,C.,D.,解析,函数是奇函数,排除,B,、,C,（,B,中函数是非奇,非偶函数，,C,中是偶函数），,-1,，,1,f,（,x,）,=sin,x,在,-1,1,上是增函数,排除,A,故选,D.,D,4.,已知,f,(,x,）,=,ax,2,+,bx,是定义在,a,-1,，,2,a,上的偶函数,那么,a,+,b,的值是 （）,A.B.C.D.,解析,依题意得,B,5.,（,2008,福建理）,函数,f,（,x,）,=,x,3,+sin,x,+1(,x,R,),若,f,（,a,）,=2,，则,f,（,-,a,）的值为 （）,A.3 B.0 C.-1 D.-2,解析,设,g,(,x,)=,x,3,+sin,x,很明显,g,(,x,),是一个奇函数,.,f,（,x,）,=,g,（,x,）,+1.,f,（,a,）,=,g,（,a,）,+1=2,，,g,（,a,）,=1,，,g,（,-,a,）,=-1,，,f,（,-,a,）,=,g,（,-,a,）,+1=-1+1=0.,B,题型一 函数奇偶性的判断,【,例,1,】,判断下列函数的奇偶性：,(1),(2),判断函数的奇偶性,应先检查定义域是否,关于原点对称,然后再比较,f,(,x,),与,f,(-,x,),之间是否相等,或相反,.,思维启迪,题型分类 深度剖析,解,(1),定义域关于原点对称,.,故原函数是奇函数,.,(2)0,且,1-,x,0-1,x,1,定义域关于原点不对称,故原函数是非奇非偶函数,.,判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条,件,:,一是定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的,必要不充分条件,所以首先考虑定义域对解决问题是,有利的,;,二是判断,f,(,x,),与,f,(-,x,),是否具有等量关系,.,在判断奇,偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关,系式,(,f,(,x,)+,f,(-,x,)=0(,奇函数,),或,f,(,x,)-,f,(-,x,)=0(,偶函,数,),是否成立,.,探究提高,知能迁移,1,判断函数,f,(,x,)=,的奇偶性,.,解,-2,x,2,且,x,0,函数,f,(,x,),的定义域关于原点对称,.,f,(-,x,)=-,f,(,x,),即函数,f,(,x),是奇函数,.,4-,x,2,0,|,x,+3|3,题型二 函数奇偶性的应用,【,例,2,】,判断下面函数的奇偶性,并求函数的单调区间,.,求定义域判断奇偶性研究在,(0,1),上的单调性,.,解,所以函数,f,(,x,),的定义域为,(-1,0)(0,1).,f,(,x,),的定义域关于原点对称,且对定义域内的任,意,x,所以,f,(,x,),是奇函数,.,思维启迪,任取,x,1,x,2,(0,1),且设,x,1,0,，即,f,(,x,),在,(0,1),内单调递减,.,由于,f,(,x,),是奇函数,所以,f,(,x,),在,(-1,0),内单调递减,.,f,(,x,),的单调递减区间为,(-1,0),和,(0,1).,探究提高,根据函数的奇偶性,讨论函数的单调区间,是常用的方法,.,奇函数在对称区间上的单调性相同；,偶函数在对称区间上的单调性相反,.,所以对具有奇偶,性的函数的单调性的研究,只需研究对称区间上的单,调性即可,.,知能迁移,2,已知定义域为,R,的函数,f,(,x,)=,是奇函数,.,(1),求,a,，,b,的值；,(2),若对任意的,t,R,，不等式,f,(,t,2,-2,t,)+,f,(2,t,2,-,k,)0,恒,成立,求,k,的取值范围,.,解,(1),因为,f,(,x,),是奇函数，所以,f,(0)=0,，,(2),由,(1),知,由上式易知,f,x,),在,(-,+),上为减函数,.,又因,f,(,x,),是奇函数，从而不等式,f,(,t,2,-2,t,)+,f,(2,t,2,-,k,)0,等价于,f,(,t,2,-2,t,)-2,t,2,+,k,.,即对一切,t,R,有,3,t,2,-2,t,-,k,0.,从而判别式,=4+12,k,0,解得,k,题型三 抽象函数的奇偶性与单调性,【,例,3,】,(12,分,),已知函数,f,(,x,),当,x,y,R,时,恒有,f,(,x,+,y,),=,f,(,x,)+,f,(,y,).,(1),求证：,f,(,x,),是奇函数；,(2),如果,x,为正实数，,f,（,x,）,0,并且,f,1)=,试,求,f,(,x,),在区间,-2,，,6,上的最值,.,(1),根据函数的奇偶性的定义进行证明,只需证,f,(,x,)+,f,(-,x,)=0;,(2),根据函数的单调性定义进行证明,并注意函数奇,偶性的应用,.,思维启迪,(1),证明,函数定义域为,R,其定义域关于原点对称,.,f,（,x,+,y,）,=,f,（,x,）,+,f,（,y,），令,y,=-,x,f,(0)=,f,(,x,)+,f,(-,x,).,令,x,=,y,=0,f,(0)=,f,(0)+,f,(0),得,f,(0)=0.,f,（,x,）,+,f,（,-,x,）,=0,，得,f,(-,x,)=-,f,(,x,),f,(,x,),为奇函数,.4,分,（,2,）,解,方法一,设,x,y,R,+,，,f,（,x,+,y,）,=,f,（,x,）,+,f,（,y,），,f,（,x,+,y,）,-,f,（,x,）,=,f,（,y,）,.,x,R,+,，,f,（,x,）,0,f,(,x,+,y,)-,f,(,x,)0,f,(,x,+,y,),x,f,(,x,),在（,0,，,+,）上是减函数,.8,分,又,f,（,x,）为奇函数，,f,（,0,）,=0,，,f,（,x,）在（,-,+,）上是减函数,.,f,（,-2,）为最大值，,f,(6),为最小值,.10,分,f,(1)=,f,(-2)=-,f,(2)=-2f,(1)=1,f,(6)=2,f,(3)=2,f,（,1,）,+,f,（,2,）,=-3.,所求,f,(,x,),在区间,-2,，,6,上的最大值为,1,，最小值,为,-3.12,分,方法二,设,x,1,0,f,(,x,2,-,x,1,)0.,f,(,x,2,)-,f,(,x,1,)0.,即,f,(,x,),在,R,上单调递减,.,f,（,-2,）为最大值，,f,（,6,）为最小值,.10,分,f,（,1,）,=,f,（,-2,）,=-,f,（,2,）,=-2,f,（,1,）,=1,f,（,6,）,=2,f,（,3,）,=2,f,（,1,）,+,f,（,2,）,=-3.,所求,f,(,x,),在区间,-2,，,6,上的最大值为,1,，最小值,为,-3.12,分,探究提高,（,1,）满足,f,(,a,+,b,)=,f,(,a,)+,f,(,b,),的函数，只,要定义域是关于原点对称的，它就是奇函数,.,（,2,）运用函数的单调性是求最值（或值域）的常用,方法之一，特别对于抽象函数，更值得关注,.,知能迁移,3,函数,f,(,x,),的定义域为,D,=,x,|,x,0,且满足,对于任意,x,1,x,2,D,有,f,(,x,1,x,2,)=,f,(,x,1,)+,f,(,x,2,).,（,1,）求,f,(1),的值；,（,2,）判断,f,(,x,),的奇偶性并证明你的结论；,（,3,如果,f,(4)=1,f,(3,x,+1)+,f,(2,x,-6)3,且,f,(,x,),在,(0,，,+),上是增函数，求,x,的取值范围,.,解,（,1,）对于任意,x,1,x,2,D,有,f,(,x,1,x,2,)=,f,(,x,1,)+,f,(,x,2,),，,令,x,1,=,x,2,=1,得,f,(1)=2,f,(1),f,(1)=0.,(2),令,x,1,=,x,2,=-1,有,f,(1)=,f,(-1)+,f,(-1).,f,(-1)=,f,(1)=0.,令,x,1,=-1,x,2,=,x,有,f,(-,x,)=,f,(-1)+,f,(,x,),f,(-,x,)=,f,(,x,),f,(,x,),为偶函数,.,（,3,）依题设有,f,(4,4)=,f,(4)+,f,(4)=2,f,（,16,4,）,=,f,（,16,）,+,f,（,4,）,=3,，,f,(3,x,+1)+,f,(2,x,-6)3,f,(3,x,+1)(2,x,-6),f,(64)(*),f,(,x,),在（,0,，,+,）上是增函数，,(*),等价于不等式组,x,的取值范围为,1.,正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个,问题,:,(1),定义域在数轴上关于原点对称是函数,f,(,x,),为奇函,数或偶函数的必要非充分条件,;,(2),f,(-,x,)=-,f,(,x,),或,f,(-,x,)f,(,x,),是定义域上的恒等式,.,2.,奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据,.,为,了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行化,简,或应用定义的等价形式,:,f,(-,x,)=,f,(,x,),f,(-,x,),f,(,x,)=0 =,1(,f,(,x,)0).,方法与技巧,思想方法 感悟提高,3.,奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于,y,轴,对称,反之也真,.,利用这一性质可简化一些函数图象,的画法,也可以利用它去判断函数的奇偶性,.,1.,判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定义域是否,关于原点对称,.,定义域关于原点对称是函数具有奇偶,性的一个必要条件,.,失误与防范,2.,判断函数,f,(,x,),是奇函数,必须对定义域内的每一个,x,均有,f,(-,x,)=-,f,(,x,).,而不能说存在,x,0,使,f,(-,x,0,)=-,f,(,x,0,).,对,于偶函数的判断以此类推,.,一、选择题,1.,已知,f,(,x,)=,ax,2,+,bx,是定义在,a,-1,，,2,a,上的偶函数，,那么,a,+,b,的值是,(),A.B.C.D.,解析,依题意得,B,定时检测,2.,若函数,f,（,x,）是定义在,R,上的偶函数，在（,-,0,上是减函数，且,f,(2)=0,，则使得,f,(,x,)0,的取值范围,是,(),A.(-,2),B.(2,+),C.(-,-2)(2,+),D.(-2,2),解析,f,（,x,）是偶函数且在,(-,0,上是减函数，且,f,（,2,）,=,f,（,-2,）,=0,，可画示意图如图所,示，由图知,f,(,x,)0,的解集为（,-2,，,2,）,.,D,3.,（,2009,辽宁理，,9,）,已知偶函数,f,(,x,),在区间,0,+,）上单调递增，则满足 的,x,的取,值范围是 （）,A.B.,C.D.,解析,方法一,当,2,x,-10,即,x,时，因为,f,(,x,),在,0,，,+,）上单调递增，故需满足,当,2,x,-10,即,x,时，由于,f,(,x,),是偶函数，故,f,(,x,),在,（,-,0,上单调递减，此时需满足,方法二,f,(,x,),为偶函数,f,(2,x,-1)=,f,(|2,x,-1|),又,f,(,x,),在区间（,0,，,+,）上为增函数,不等式,等价于,4.,(2009,陕西文，,10),定义在,R,上的偶函数,f,(,x,),，对,任意,x,1,x,2,0,+)(,x,1,x,2,),有,则 （）,A.,f,(3),f,(-2),f,(1),B.,f,(1),f,(-2),f,(3),C.,f,(-2),f,(1),f,(3),D.,f,(3),f,(1)21,故有,f,(3),f,(-2)0,时，,f,(,x,)=1-2,-,x,则不等式,f,(,x,)0,时，1-2,-,x,=0,与题意不符，,当,x,0,，,f,（,-,x,）,=1-2,x,，,又,f,（,x,）为,R,上的奇函数，,f,（,-,x,）,=-,f,（,x,），,-,f,（,x,）,=1-2,x,，,f,（,x,）,=2,x,-1,，,f,（,x,）,=2,x,-1 2,x,x,-1,不等式,f,(,x,),的解集是（,-,，,-1,）,.,答案,A,二、填空题,7.,已知函数,y,=,f,(,x,),为奇函数,若,f,(3)-,f,(2)=1,则,f,(-2)-,f,(-3)=_.,解析,f,(,x,),为奇函数且,f,(3)-,f,(2)=1,，,f,(-2)-,f,(-3)f,(3)-,f,(2)=1.,1,8.,设奇函数,f,(,x,),的定义域为,-5,5,当,x,0,，,5,时,函数,y,=,f,(,x,),的图象如图所示，则使函数值,y,0,的,x,的,取值集合为,_.,解析,由原函数是奇函数,所以,y,=,f,(,x,),在,-5,5,上的图象关于坐,标原点对称,由,y,=,f,(,x,),在,0,5,上,的图象，得它在,-5,，,0,上的图,象,如图所示,.,由图象知，使函数值,y,0),，在区间,-8,8,上有四个不同,的根,x,1,x,2,x,3,x,4,则,x,1,+,x,2,+,x,3,+,x,4,=_.,解析,因为定义在,R,上的奇函数满足,f,(,x,-4)=-,f,(,x,),所以,f,(4-,x,)=,f,(,x,).,因此，函数图象关于直线,x,=2,对称,且,f,(0)=0,由,f,(,x,-4)=-,f,(,x,),知,f,(,x,-8)=,f,(,x,).,又因为,f,(,x,),在区间,0,2,上是增函数，所以,f,(,x,),在区间,-2,0,上也是增函数,如图所示，那么方程,f,(,x,)=,m,(,m,0),在区间,-8,，,8,上,有四个不同的根,x,1,x,2,x,3,x,4,不妨设,x,1,x,2,x,3,x,4,.,由对称,性知,x,1,+,x,2,=-12,x,3,+,x,4,=4,所以,x1,+,x,2,+,x,3,+,x,4,=-12+4=-8.,答案,-8,三、解答题,10.,设函数,f,(,x,)=,x,2,-2|,x,|-1(-3,x,3),(1),证明,f,(,x,),是偶函数；,(2),画出这个函数的图象；,(3),指出函数,f,(,x,),的单调区间,并说明在各个单调区,间上,f,(,x,),是增函数还是减函数；,(4),求函数的值域,.,(1),证明,x,-3,3,f,(,x,),的定义域关于原点对称。,f,(-,x,)=(-,x,),2,-2|-,x,|-1,=,x,2,-2|,x,|-1=,f,(,x,),即,f,(-,x,)=,f,(,x,),f,(,x),是偶函数,.,(2),解,当,x,0,时，,f,(,x,)=,x,2,-2,x,-1=(,x,-1),2,-2,，,当,x,0,时，,f,(,x,)=,x,2,+2,x,-1,=(,x,+1),2,-2,即,f,(,x,)=,(,x,-1),2,-2 (0,x,3),(,x,+1),2,-2 (-3,x,0).,根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图,.,(3),解,函数,f,(,x,),的单调区间为,-3,-1),-1,0),0,1),1,3.,f,(,x,),在区间,-3,-1),和,0,1),上为减函数,在,-1,0),1,3,上为增函数,.,(4),解,当,x,0,时,函数,fx,)=(,x,-1),2,-2,的最小值为,-2,最大值为,f,(3)=2,；,当,x,0,时，,-,x,0,）,.,f,(,x,)=,即,f,(,x,)=-,x,lg(2+|,x,|)(,x,R,).,12.,已知函数,(,x,0,常数,a,R,).,(1),讨论函数,f,(,x,),的奇偶性，并说明理由；,（,2,）若函数,f,(,x,),在,2,，,+,）上为增函数，求实数,a,的取值范围,.,解,（,1,）当,a,=0,时，,f,（,x,）,=,x,2,对任意,x,(-,0)(0,+),，,有,f,(-,x,)=(-,x,),2,=,x,2,=,f,(,x,),f,(,x,),为偶函数,.,当,a,0,时，,(,x,0,常数,a,R,),，,若,x,=,1,，则,f,(-1)+,f,(1)=20,；,f,(-1)-,f,(1),f,(-1),f,(1).,函数,f,(,x,),既不是奇函数也不是偶函数,.,综上所述，当,a,=0,时，,f,(,x,),为偶函数；,当,a,0,时，,f,（,x,),为非奇非偶函数,.,（,2,）设,2,x,1,x,2,要使函数,f,(,x,),在,x,2,+,）上为增函数，,必须,f,(,x,1,)-,f,(,x,2,)0,恒成立,.,x,1,-,x,2,4,即,a,4,x,1,x,2,(,x,1,+,x,2,)16,a,的取值范围是（,-,，,16,.,返回,