弹性力学平面应力问题和平面应变问题.pdf

u-平面问题的基本理诒第一节 问题和平面应变问题第二节平衡微分万基平亩指中二庚卧虎获W第四节7 元荷方程荡我箱?第六节边界条件9掌平面问题的基本理诒第毛节 圣淮南原理及其能用第八节按位移求解平面询题第九节 按应力求解平武而题 相容方程wj_4w PB=dy平面应力问题和平面应变问题假定应用基本假定：连续性；小变形。当戊很小时,.oc3sm oc=oc-1-七3!COS 6Z=1-1-152!tan oc cc.46几何方程刚体位移yPA=dx9 PB=dydvdu(2-8)二瓦，”方dv du7xy 瓦十瓦对两种平面问题都适用。由位移求形变:PA线应变PA转角平面应力问题和平面应变问题同理，PB线应变du 7、(u+7*-_ zVy 1 _ 7/dx_ dux-dxdxdv 7dxBya=tan a=dx8v-J SyPB转角 8du Sy 4“R第二章 平面应力I可题和平面应变问题说明所以平面问题的几何方程为：du dv dv duJ=a，J=a，八产 a+a.ex cy ex cy对几何方程的说明：(1)适用于区域内任何点，因为(x,y)gA;(2)应用小变形假定，略去了高阶小量一线性的几何方程；适用条件：a.连续性；b.小变形。平面应力问题和平面应变问题 4n7说明(4)几何方程是变形后物体连续性条件 的反映和必然结果。形变和位移之间的关系：位移确定一 形变完全确定：从物理概念看，各点的位置确定，则 微分线段上的形变确定。从数学推导看，位移函数确定，则其导数(形变)确定。第二章平面应力问题和平面应变问题形变与位移的关系形变确定，位移不完全确定：从物理概念看7确定,物体还 可作刚体位移。从数学推导看，,y确定，求位移 是积分运算，出现待定函数。第二章 平面应力I可题和平面应变问题形变与位移的关系例：若久=4=，求位移:由*=q=0,两边对X积分，(几歹)=0+/00.OX由京=J 二 0 Sy代入第三式两边对y积分，v(x5j)=0+/；(x).Sv Su 八，、薮+承，=0平面应力问题和平面应变问题平面应变问题的物理方程代入 sz=yzx=yzy=0,I-/2 E 1 42 E(/1 一 n1-n，），(b)平面应变在Z方向,2(1+)E 个&z=0二(。第二草 平面应力问题和平面应变问题变换关系：平面应力物理方程一平面应变物理方程:平面应变物理方程T平面应力物理方程:E(1+2/7)(1+尸 产 1+考1.试证：由主应力可以求出主应变，且两者方向一致。2.试证：3个主应力均为压应力，有 时可以产生拉裂现象。3.试证：在自重作用下，圆环（平面 应力问题）比圆筒（平面应变问题）的 变形大。4“R第二章 平面应力问题和平面应变问题 定义 位移边界条件2-6 边界条件边界条件-表示在边界上位移与约 束，或应力与面力之间的关系。位移边界条件-设在s“部分边界 上给定位移分量和B（s），则有（初二（S）,（V）=V（S）,（在 上）。（a）平面应力问题和平面应变问题位移边界条件的说明：它是函数方程，要求在S上每一点S，位移与对应的约束位移相等。若为简单的固定边，“=v=0,则有Q)s=O,(v)s=O,(在与 上)。(b)它是在边界上物体保持连续性的条 件，或位移保持连续性的条件。t.*平面应力问题和平面应变问题 应力边界条件应力边界条件-设在S上给定了面力分(7量($)，fy(s).在2-3中，通过三角形微分体的平衡条件，导 出坐标面应力与斜面应力的关系式，px=l(jx+mTyx.Py=m%+1Txy,(在 A中)。(C)平面应力问题和平面应变问题将此三角形移到边界上，并使斜面与边界面 重合，则得应力边界条件：(/%+加和Ds=(在与上).(d)第二章平面应力问题和平面应变问题说明应力边界条件的说明:它是边界上微分体的静力平衡条件;它是函数方程，要求在边界上每一点s 上均满足，这是精确的条件；式（c）在A中每一点均成立，而 式（d）只能在边界s上成立；第二章 平面应力问题和平面应变问题(4)式(d)中,x,y5 xy-按应力符号规定，-按面力符号规定;说明位移，应力边界条件均为每个边界两个，分别表示向的条件；(6)所有边界均应满足，无面力的边界自由边)斤=7=0,也必须满足。第二章 平面应力问题和平面应变问题坐标面当边界面为坐标面时若x=q为正x面）/=1,m=0,则式（d）成为第二章 平面应力I可题和平面应变问题两种表达式应力边界条件的两种表达式：（1）在边界点取出微分体，考虑其平衡条 件，得式（d）或（e）,（f）;在同一边界面上，应力分量应等于对 应的面力分量（数值相等，方向一 致）。即在同一边界面上，应力数值应 等于面力数值（给定），应力方向应同面 力方向（给定）。平面应力问题和平面应变问题两种表达式，列如:在斜面上,(夕)=，(Py)s=fy在土坐标面上，由于应力与面力的 符号规定不同，故式(e),(f)有区 别。平面应力问题和平面应变问题y=Z?边界：尸土b=0,（金x）X-。边界:(%)工=4 显然，边界条件要求在 成抛物线分布。T=0W二0X=。上，*也平面应力问题和平面应变问题 混合边界条件混合边界条件：(1)部分边界上为位移边界条件，另一 部分边界上为应力边界条件；同一边界上，一个为位移边界条件,第二章 平面应力I可题和平面应变问题例3列出x=a的边界条件:x=a.()=0,X-q=0.平面应力问题和平面应变问题2-7 圣维南原理及其应用弹性力学问题是微分方程的边值问题。应力，形变，位移等未知函数必须满足A内 的方程和S上的边界条件。主要的困难在于 难以满足边界条件。圣维南原理可用于简化小边界上的应 力边界条件。平面应力问题和平面应变问题王母用原理圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量 相同，对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分量将有显著的改变，但 远处所受的影响可以不计。第二章 平面应力I可题和平面应变问题车班用原理圣维南原理的说明：1.圣维南原理只能应用于一小部分边界（小边界，次要边界或局部边界）；2.静力等效一指两者主矢量相同，对 同一点主矩也相同；3.近处一指面力变换范围的一，二倍的局部区域；4.远处一指“近处”之外。平面应力问题和平面应变问题圣维南原理圣维南原理表明，在小边界上进行面 力的静力等效变换后，只影响近处（局部 区域）的应力，对绝大部分弹性体区域的 应力没有明显影响。圣维南原理推广：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及 主矩都等于零），那么，这个面力就只会 使近处产生显著的应力，而远处的应力可 以不计。畤第二章平面应力问题和平面应变问题应用圣维南原理的应用:1.推广解答的应用;2.简化小边界上的边界条件。平面应力问题和平面应变问题圣维南原理在小边界上的应用:如图，考虑x=/小边界，(1)精确的应力边界条件平面应力问题和平面应变问题占,八、）在边界X=/上,%（%，）=/=人（丫）,%（工）1=小/。上式是函数方程，要求在边界上任一 应力与面力数值相等，方向一致，往往难以满足。第二章 平面应力问题和平面应变问题圣维南原理的应用一积分的应力边界条件在小边界工=/上，用下列条件代替式a）的条件：在同一边界x=l上,1辕ls-1.应力的主矢量）面力的主矢量”（春定）；应力的主矩（M=面力的主矩（给定）.数值相寺,（b）方向一致.4“R平面应力问题和平面应变问题右端面力的主矢量，主矩的数值及方 向，均已给定；左端应力的主矢量，主矩的数值及方 向，应与面力相同，并按应力的方向规定 确定正负号。第二章 平面应力I可题和平面应变问题具体列出3个积分的条件：（%）办工加1（=入）C（%L办 1 歹=土 O（y）数 1 J（=M）E（弓 L/办 1=E 4 U）办.1（=Fs）平面应力问题和平面应变问题：）应力的主矢量，主矩的数值=面力的主 矢量，主矩的数值；应力的主矢量，主矩的方向面力的主 矢量，主矩的方向。式中应力主矢量，主矩的正方向，正负号的确定:应力的主矢量的正方向，即应力的正方向,应力的主矩的正方向，即（正应力）x（的矩臂）的方向。正平面应力问题和平面应变问题1.如果只给出面力的主矢量，主矩如图，则式右边直接代入面力的主矢量，主矩；2.在负x面，1=_/,由于应力，面力的 符号规定不同，应在式中右端取负号；3.积分的应力边界条件(b)或虽是近似的,但只用于小边界，不影响整体解答的精度。平面应力问题和平面应变问题比较：精确的应力边界条件积分的应力边界条件方程个数23方程性质函数方程（难满足）代数方程（易满足）精确性精确近似适用边界大，小边界小边界平面应力问题和平面应变问题/,-.:产,思考一:：,一/r，1、”为什么在大边界（主要边界）上，不白匕 目匕应用圣维南原理？2、试列出负x面上积分的应力边界条件,设有各种面力作用，或面力的主矢量和 主矩作用。平面应力问题和平面应变问题平面问题2-8 按位移求解平面问题1.平面问题的基本方程及边界条件(1)平面应力问题与平面应变问题，除 物理方程的弹性系数须变换外，其余完全相 同。因此，两者的解答相似，只须将瓦进 行变换。以下讨论平面应力问题。第二章平面应力问题和平面应变问题平面应力问题、平面域/内的基本方程:平衡微分方程抗I dx dyd(j dr y _dy dx+，（在力内）平面应力问题和平面应变问题S上边界条件：应力边界条件（以+以和）=a（m（yy+lTxy）s=于旷位移边界条件（）s=_ Os=了（在%上）（在与上）8个未知函数（%,肛,孙,#）必须满足上述方程和边界条件。平面应力问题和平面应变问题2.解法一消元法按位移求解（位移法）一取，y为基 本未知函数，从方程和边界条件中消去形变 和应力，导出只含，y的方程和边界条件,从而求出，U再求形变和应力。平面应力问题和平面应变问题按应力求解（应力法）取*e/V y y为基本未知函数，从方程和边界条件中消去 位移和形变，导出只含应力的方程和边界条 件，从而求出应力；再求形变和位移。这是弹力问题的两种基本解法。A丘第二章平面应力问题和平面应变问题按位移求解3.按位移求解(1)取)v为基本未知函数;将其他未知函数用U 2表示：形变用，v表示一几何方程；应力先用形变来表示(物理方程)，再代入几何方程，用中表示：第二章平面应力问题和平面应变问题在A中导出求，V的基本方程一将式(a)代人平衡微分方程，E d2u 1-/d2u 1+d2v 密+守+c-22 dxdy)+人=0,E d2V 2V 1+2_/?(凝+版+C-2 dxdy)+i上式是用1表示的平衡微分方程。平面应力问题和平面应变问题（4）在肚的边界条件位移边界条件C)s=y（在 S上）（C）应力边界条件一将式代人应力边界条件,（在外上）（d）第二章 平面应力问题和平面应变问题归纳:一二十抬，:按位移求解时，必须满足A内的方程和边界条件(c),(d)o式，(c),(d)-是求解 的条件;也是校核,V是否正确的全部条件。平面应力问题和平面应变问题按位移求解（位移法）的优缺点：适用性广一可适用于任何边界条件。求函数式解答困难，但在近似解法（变分法，差分法，有限单元法）中有着 广泛的应用。第二章 平面应力问题和平面应变问题例1考虑两端固定的一维杆件。图3),只受重力作用fx=Qfy=Pgo试用位移法求解。(a)(b)平面应力问题和平面应变问题解：为了简化，设=0,位移 u=0,v=v(y).按位移求解，位移应 满足式(b),(c),(d)o 代入式(b),第一式自 然满足，第二式成为3 2 V _ d 2 V _ pg守一后一一平面应力问题和平面应变问题解出 v=-y2+Ay+B._2E_y=0,/均属于位移边界条件，代入V，）尸o=0,得 5 二 0;平面应力问题和平面应变问题代入V，并求出形变和应力,平面应力问题和平面应变问题思考照试用位移法求解图（b）的位移和应力。平面应力问题和平面应变问题基本方程2-9 按应力求解平面问题相容方程1.按应力求解平面应力问题(1)取%,%,%为基本未知函数;九 y xy(2)其他未知函数用应力来表示：第二章平面应力问题和平面应变问题按应力求解形变用应力表示（物理方程）。位移用形变一应力表示，须通过积分，不仅表达式较复杂，而且包含积分带来的未 知项，因此位移边界条件用应力分量来表示 时既复杂又难以求解。故在按应力求解时，只考虑全部为应力边界条件的问题，即（$二%，%=0）。第二章 平面应力I可题和平面应变问题在A内求解应力的方程平衡微分方程（2个）。(a)补充方程一从几何方程，物理方程中 消去位移和形变得出：从几何方程中消去位移，y,得相容方 程（形变协调条件）：第二章 平面应力问题和平面应变问题代入物理方程，消去形变，并应用平衡 微分方程进行简化，使得用应力表示的相容 方程：/（%+%）=-a+）（T+/ex cy（c）其中5=a2322*(4)应力边界条件-假定全部边界上均 为应力边界条件(s=s。凡=0)。第二章 平面应力问题和平面应变问题按应力求解平面应力问题，应力 Ji，y，jy必须满足下列条件：(1)A内的平衡微分方程；(2)A内的相容方程；(3)边界s=s。上的应力边界条件；(4)对于多连底，还须满足位移的单值条件(见第四章)。(1)-(4)也是校核应力分量是否 的全部条件。.W第二章2.形变协调条件(相容方程)的物理意义(1)形变协调条件是位移连续性的必然结果。连续体一位移连续一几何方程一形变协调条件。形变协调条件是与形变对应的位移存在 且连续的必要条件。形变协调一对应的位移存在一位移必然连续；形变不协调一对应的位移不存在一不是物体实际存在的形变一微分体变形后不保持连续o第二章 平面应力问题和平面应变问题例1三连杆系统）由于物体是连续的）变形前三连杆在D 点共点（连续），变形后三连杆在。点共点，则三连杆 的应变必须满足一 定的协调条件。平面应力问题和平面应变问题思考您*1.试比较按位移求解的方法和按应力求解的 方法，并与结构力学中的位移法和力法作 比较。2.若 sx=ay2,sy=bx2=(a+b)%y,是否可能 成为弹性体中的形变？3.若/=。，%=办2,j=，%=0,是否可能为弹性体中的应力？第二章 平面应力问题和平面应变问题按应力函数求解2-10 常体力情况下的简化 应力函数1.常体力情况下按应力求解的条件(1)相容方程|v2(%+%)=o|(A)(a),九 y7平衡微分方程平面应力问题和平面应变问题s=Sb应力边界条件(s=Sb,S=0)(/%+冽工+1%)s=fy-(4)多连体中的位移单值条件。(s)(c)(d)第二章 平面应力I可题和平面应变问题2.在常体力，单连体，全部为应力边界条件(5=%)下的应力*/孙特征:在-条件下求解0 7的全部 条件(a),(b),(c)中均不包含弹性常数，故%。与弹性常数无关。平面应力问题和平面应变问题（一葩二）不同材料的应力（%,%,7盯）的理论解相 同，用试验方法求应力时，也可以用不 同的材料来代替。两类平面问题的应力解%,%/孙相同,试 验时可用平面应力的模型代替平面应变的 模型。第二章3.常体力下按应力求解的简化(1)常体力下平衡微分方程的通解是：非齐次特解+齐次通解。非齐次微分方程 的任一特解，如取I-1巴=一/=(e)!出为对应的齐次微分方程的通解，艾里已求平面应力问题和平面应变问题所以满足平衡微分方程的通解为:(g)为艾里应力函数。平面应力问题和平面应变问题-.-X说明a.导出艾里（Airy）应力函数,导数的相容性,即如果,枭=枭取ex cy则4 3均可用一个函数表示，即是应用偏第二章 平面应力问题和平面应变问题b.导出应力函数的过程，也就证明了的 存在性，故可以用各种方法去求解。c.=（%）仍然是未知的。但已将按应力（%,Oy，%）求解转变为按应力函数求解,从3个未知函数减少至1个未知函数。d.由再去求应力（式（g），必然满足平 衡微分方程，故不必再进行校核。第二章平面应力问题和平面应变问题(2)应力应满足相容方程(a)，将式(g)代入(a),得V2v2=V4=0.(h)(3)若全部为应力边界条件(s=S(T)则应力边界条件也可用表示。平面应力问题和平面应变问题I归期:|在常体力下求解平面问题，可转变为按应力函数求解，应满足：(1)A内相容方程(h);(2)S=Sa上的应力边界条件；(3)多连体中的位移单值条件连体。求出后，可由式(g)求得应力。第二章 平面应力I可题和平面应变问题思考氮一 一 J、1,在南底力，单连体和全部为应力边界 条件条件下，对于不同材料和两类平面问 题的行，5和小均相同。试问其余的应力 分量，应变和位移是否相同？平面应力问题和平面应变问题2,对于按位移（弘M求解，接应力（5，5,之）求解和按应力函数求解的 方法，试比较其未知函数，应满足的方程 和条件，求解的难易程度及局限性。平面应力问题和平面应变问题例1试列出图中的边界条件。第二章 平面应力I可题和平面应变问题y=+/2,ay=0,r盯=0解：(a)在主要边界夕=力/2应精确满足下列边界条件：y=-h/2,ay=-(y)25=0;平面应力问题和平面应变问题在小边界=0应用圣维南原理,列出三个积分的近似边界条件，当板厚5=1时，illhlli/2h/2i/2hI20=0 dy,O=o皿亿J=ody=一”1平面应力问题和平面应变问题在小边界式=人当平衡微分方程和其它各边 界条件都已满足的条件下，3个积分的边界 条件必然满足，可以不必校核。平面应力问题和平面应变问题(b)在主要边界x=0,b,应精确 满足下列边界条件：%=0%=-所%=0；x=l%=，=-9。第二章 平面应力问题和平面应变问题在小边界y=0,列出3个积分的边界条件,当板厚5=1时，f(G=odx-浮f(by)L0Xdx=一|6,f 0好=_平面应力问题和平面应变问题注意在列力矩的条件时两边均是对原点。的力矩来计算的。对于y=h的小边界可以不必校核o第二章 平面应力I可题和平面应变问题例2厚度5=1悬臂梁，受一端的集中力户 的作用。已求得其位移的解答是Fx2y juFy3 Fy3 Fl2 Fh2.-1-n(-)y.2EI 6EI 6IG 2EI SIGuFxy1 Fx3 Fxl1 Fl3v=-I-1-2EI 6EI 2EI 3EIO试检查此组位移是否是图示问题的解答。平面应力问题和平面应变问题（解；,.此组位移解答若为图示问题的解答,则应满足下列条件：（1）区域内用位移表示的平衡微分方程（书中式2-18）;平面应力问题和平面应变问题(2)应力边界条件(书中式2-19),在 所有受面力的边界上。其中在小边 界上可以应用圣维苫原理，用3个积 分的边界条件来代替。(3)位移边界条件(书中式2-14)。本 题在=/的小边界上，已考虑利用圣 维南原理，使3个积分的应力边界条 件已经满足。平面应力问题和平面应变问题7因此，只需校核下列三个刚体的约束条件：八点（工=/及尸0）,（4%孕）=0.ex读者可校核这组位移是否满足上述条 件，如满足，则是该问题之解。第二章平面应力问题和平面应变问题例3试考虑下列平面问题的应变分量是 否可能存在一上#支宗,门:以；，/；：y=By3,rC-Dy;2.S)j=4/,(c)J=J=。，2y=Bx y,rxy=Cxy/町=盯。第二章 平面应力问题和平面应变问题解：应变分量存在的必要条件是满足形变 相容条件，即渗2出户2yxydy2 dx2 dxdy,(a)相容;(b)须满足3=0,2A=C;(c)不相容。只有C=0,则平面应力问题和平面应变问题例4在无体力情况下，试考虑下列应力分 量是否可能在弹性体中存在：(jx=Ax+By,(b)ax=A(x2+y2),(jy=Cx+Dy,rxy=Ex+Fy;%=8，+，)，=Cxy;草 平面应力I可题和平面应变问题解：弹性体中的应力，在单连体中必须 满足：(1)平衡微分方程；(2)相容方程；(3)应力边界条件(当s=s)o0第二草 平面应力I可题和平面应变问题(a)此组应力满足相容方程。为了满足平 衡微分方程，必须行心一月.此外，还应满足应力边界条件。(b)为了满足相容方程，其系数必须满足 A+B=0o为了满足平衡微分方程，其系数必须 满足 A=B=-C/2o上两式是矛盾的，因此此组应力分量 不可能存在。第二章 平面应力问题和平面应变问题例5若一(月月是平面调和函数，即满足 拉普拉斯方程v2/=o.试证明函数九对,W,(1+/)/都满足重调和方程，V4=0,因而都可以作为应力函数使用。第二章 平面应力问题和平面应变问题解：上述函数作为应力函数，均能满足相 容方程（重调和方程），第二章 平面应力问题和平面应变问题伊 16图中的梁，受到如图所示的荷载的 作用，试用下列应力表达式求解其应力，q=十(62 一4y3),hby=-Gy+。2，(a)h6qxy2 T-F CxXo)刈 h3第二章 平面应力问题和平面应变问题解：本题是按应力求解的，在应力法中，应力分量在单连体中必须满足（1）平衡微分方程；（2）相容方程 v2（%+%）=o；（3）应力边界条件（在 S=S 上）。0将应力分量（a）代入平衡微分方程 和相容方程，两者都能满足。A第二章 平面应力问题和平面应变问题再校核边界条件，在主要边界上，y=4，=。，即武黑,t+Ci）=o,得 2 h 42/zh 门口 2q/后/z,=_于 0y=_q，即 _（一）+。1+02=_9，有h y=r%=0，将Cp C2代入后满足。第二章 平面应力I可题和平面应变问题将q,G代入S),得到应力公式,%=一等(3%2_3y2h3+2)3(b)寺咔-1)。面应力问题再将式（b）表达式代入次要边界条件，X=,Txy=05j-巴=包：！;h J 仲/2、其主矢量为。2（%工。=。2而主矩为（cP 0池=也.J-A/2 x%0 90平面应力问题和平面应变问题!7 3ql Z/l y2 1、匚 I其主矢量为e/2L”幻二-M2 71%=_券（6_4y3）彳其主矢量为3而主矩为严(、只 刈之qh(%)“=-(-)J-h/2 x xl 2 20第二章平面应力问题和平面应变问题由此可见，在次要边界上的积分边界 条件均能满足。因此，式（b）是图示问 题之解。，平面应力问题和平面应变问题例7在材料力学中，当矩形截面梁（度5=1）第二章 平面应力I可题和平面应变问题(a)试由平衡微分方程(不计体力)导出 切应力了和挤压应力o的公式。xy y(提示：注意关系式 幽=(二.qd x s d x积分后得出的任意函数，可由梁的上下边界条件来确定c)第二章 平面应力I可题和平面应变问题(b)当q为常数时，试检验应力分量是否 满足相容方程，试在o中加上一项对平衡X没有影响的函知(y),再由相容方程确定/&),并校核梁的左右边界条件。第二章一解：本题引用材料力学的弯应力)的解，X作为初步的应力的假设，再按应力法求 解。应力分量必须满足(1)平衡微分方程；(2)相容方程;(3)应力边界条件(在S=*上)。代入平衡微第二草 平面应力问题和平面应变问题再由上下的边界条件(金)=相=0,得R(x)=嗡-，代入iyx,得工冲=,其中(C)y/8 2将工代入平衡微分方程的第二式，第二草 平面应力问题和平面应变问题得阳 1(.?2dy dxr 2 尸7、8对y积分，得瓢=3(和+3)+%).7 0 O必2八由上下的边界条件,亿)片/2=，得力(%)=一/聂=1；(%)y=-h/2=-q，同样得 fl(X)=T。第二章 平面应力问题和平面应变问题由此得上述解答及式(c),(d)已经满足平衡 微分方程及歹=的边界条件；但一般不2满足相容方程，且尚未校核左右端的小边界平面应力问题和平面应变问题(b)若q为常数，贝ijw二式(土 2/()，得广为:工%h32 3XX、”不“I 3y r”产-q弓f+z瓦）代入相容方程,V2（尸 220.为了满足相容方程，令。=JCV2 一丁）V+平面应力问题和平面应变问题此式和式(c),(d)的一组应力分 量仍然满足平衡微分方程；再代入相容方 程,得6/、2旬 d2/(j)八V(%+%)=-尸产下k=0，积分得 h dy/(歹)=：3+出+8h AA平面应力问题和平面应变问题由次要边界条件血=0,得 B=0;满足。(h/2切2。)=0,dy=0,得/=3q 5h由此得6ql2,x x1 x 4(7 3 3q z xax=-r)y+T-J,(e)x h3 I I2 h3 5h第二章 平面应力I可题和平面应变问题读者可检测，式（c）,(d),(e)的一组应力已满足无体力，且q为常数情 况下的平衡微分方程，相容方程，和应力 边界条件（在x=0,/小边界上的剪力即为 的主矢量），因而是该问题之解。