椭圆简单的几何性质.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,8.2,椭圆的简单几何性质,1.,椭圆的定义,:,到两定点,F,1,、,F,2,的距离之和为常数（大于,|,F,1,F,2,|,）,的动点的轨迹叫做椭圆。,2.,椭圆的标准方程是：,3.,椭圆中,a,b,c,的关系是,:,b,2,=a,2,-c,2,当焦点在,X,轴上时,当焦点在,Y,轴上时,二、,椭圆 简单的几何性质,由 ,1,1,得,o,y,B,2,B,1,A,1,A,2,F,1,F,2,c,a,b,1,、,范围,-,axa,-,byb,知,椭圆落在,x=,a,y,=b,围成的矩形中,Y,X,O,P（x，y）,P,2,（,-x,，,y,）,P,3,（,-x,，,-y,）,P,1,（,x,，,-y,）,2,、对称性,：,关于,x,轴对称,关于,y,轴对称,关于原点对称,3,、椭圆的顶点,令,x=0,，,得,y=,？说明椭圆与,y,轴的交点？,令,y=0,，,得,x=,？,说明椭圆与,x,轴的交点？,*,顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。,*长轴、短轴：线段,A,1,A,2,、,B,1,B,2,分别叫做椭圆的长轴和短轴。,a,、,b,分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。,o,y,B,2,B,1,A,1,A,2,F,1,F,2,c,a,b,(0,b),(a，0),(0,-b),(-a，0),4,、,椭圆的离心率,离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：,叫做椭圆的离心率。,2,离心率的取值范围：,3,离心率对椭圆形状的影响：,1,）,e,越接近,1,，,c,就越接近,a,，,从而,b,就越小，椭圆就越扁,2,）,e,越接近,0,，,c,就越接近,0,，从而,b,就越大，椭圆就越圆,1e,与,a,b,的关系,:,0eb,标准方程,图像,范围,|x|,a,|y,|b,对称性,关于,x,轴、,y,轴成轴对称；关于原点成中心对称,顶点坐标,(a,0),、,(-a,0),、,(0,b),、,(0,-b),焦点坐标,(c,0),、,(-c,0),半轴长,长半轴长为,a,短半轴长为,b.,ab,离心率,abc,的关系,b,2,=a,2,-c,2,|x|b,|y|a,同前,(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a),(0,c)、(0,-c),同前,同前,同前,例,3,、椭圆的中心在原点，一个顶点是（,0,，,2,），离心率 ，求椭圆的标准方程,解：（,1,）当（,0,，,2,）点是短轴端点时,所以,a=2,（,2,）当（,0,，,2,）点是长轴端点时,所以,b=2,练习,1,、求下列椭圆的长轴和短轴长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标,答案：（,1,）长轴长为,10,，短轴长为,4,，焦距为,离心率为 顶点为（,2,，,0,）（,-2,，,0,）,（,0,，,5,）（,0,5,）焦点坐标为（,0,，）（,0,，,）,(2),长轴长为,2,，短轴长为,1,，焦距为,离心率为 顶点为（,2,，,0,）（,-1,，,0,）,（,0,，,0.5,）（,0,，,-0.5,）,焦点坐标为（,0,，）（,0,，,）,2,、椭圆以两坐标轴为对称轴，一个顶点是（,0,，,3,），另一个顶点是（,-12,，,0,）则焦点坐标为（）,椭圆,的几何性质（,2,）,y,x,o,F,1,F,2,M,A,1,B,1,复习：椭圆的几何性质,b,-b,a,-a,1,、,范围,：,x,，,y .,A,2,B,2,2,、,顶点,:,3,、对称性：椭圆既是 对称图形，也是 对称图形,.,轴,中心4,、离心率,:,e=,(,eb0),(ab0),问题,1,问题,2,求曲线的方程的步骤有哪些？,建系设点 列方程化简 最后别忘了检验,点,M(x,y,),与定点,F(c,0),的距离和它到定直线,l,：,x,a,2,/c,的距离的比是常数,e=,c/a(a,c,0),，求,点,M,的轨迹,。,探究：,解：设,d,是点,M,到直线,L,的距离，由题意知所求轨迹就是集合：,由此得,将上式两边平方，并化简，得,设,就可化成,这就是椭圆的标准方程，所以点,M,的轨迹是焦点在,x,轴，长轴、短轴长分别,2a,2b,的椭圆,当点,M,与定点,F,的距离和它到定直线,l,的距离的比是常数,e=c/a(0e,1),时，这个点的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数,e,是椭圆的离心率。,（一）椭圆的第二定义,对于椭圆,x,2,/a,2,y,2,/b,2,1,，相应于焦点,F,2,(c,0),的准线方程是,l,：,x,a,2,/c,，根据椭圆对称性，相应于焦点,F,1,(,c,0),的准线方程是,l,：,x,a,2,/c,；,注 意：,（,1,）焦点和准线是对应的。,对于椭圆,x,2,/b,2,y,2,/a,2,1,：,相应于焦点,F,2,(0,c),的准线方程是,l,：,y,a,2,/c,相应于焦点,F,1,(0,c),的准线方程是,l,：,y,a,2,/c,。,椭圆上的点M,与焦点,F,和它到准线,l(,与焦点,F,相对应的准线,),的距离的比。,（,2,）离心率的几何意义：,（,3,）解题常用到的相关量：,除了,a,、,b,、,c,、,e,外,两准线间的距离：,2a,2,/c,焦点到相应准线的距离,-,焦准距,p:p=a,2,/c-c=b,2,/c,例题分析,例,1,求椭圆,4x,2,y,2,1,的,x,、,y,的范围，长轴长，短轴长，离心率，焦点与顶点坐标，准线方程。,解：范围：,1/2x1/2,1y1,长轴长,2a,2,，短轴长,2b,1,顶点,(0,1),(1/2,0),焦点,离心率,准线方程,),2,3,0,(,F,解法,1,：,解法,2,：,课堂练习：,1,、椭圆的,x,2,/9+y,2,/25=1,准线方程是,（）,A,、,x=+25/4 B,、,y=+16/5,C,、,x=+16/5 D,、,y=+25/4,2,、椭圆,x,2,/25+y,2,/16=1,上一点,P,到一个焦点的距离等于,3,，则它到相应的准线的距离是,5,D,3,、椭圆,x,2,/4+y,2,=1,上一点到右焦点的距离是,3/2,，则到左准线的距离是,4,、设,P,是椭圆,x,2,/100+y,2,/36=1,上一点，,P,到左准线的距离是,10,，则,P,到右准线的距离是（）,A,、,6 B,、,8 C,、,10 D,、,15,D,53/3.,5,、已知椭圆,x,2,/25+y,2,=1,，点,M(4,y,0,),在椭圆上，求点,M,到两个焦点的距离。,6,、求中心在原点，离心率为,6/3,，且一条准线方程是,y=3,的椭圆方程。,到左焦点距离是,37/5,，到右焦点距离是,13/5,y,2,/6+x,2,/2=1,课后反思,椭圆的离心率是焦距与长轴的比，椭圆上任意一点到焦点的距离与这点到相应准线的距离的比也是离心率，它反映了椭圆的扁圆程度，也沟通了椭圆上的点的焦半径与到相应准线距离之间的关系，同时要注意椭圆的准线方程与焦点所在的位置的关系。,思考上面探究问题，并回答下列问题：,探究：,（,1,）用坐标法如何求出其,轨迹方程,，并说出轨迹,（,2,给椭圆下一个新的定义,已知椭圆 上的一点,P,的横坐标是,x,0,，,F,1,、,F,2,分别是椭圆的左、右焦点，求,PF,2,=?,(ab0),|PF,1,|,a+ex,0,，,|PF,2,|,a,ex,0,焦半径公式,归纳:,椭圆的第一定义与第二定义是相呼应的。,定义,1,图 形,定义,2,平面内与,基础练习,:,D,A,定义：,注：我们一般把这个定义称为椭圆的第二定义，,而相应的把另一个定义称为椭圆的第一定义。,定点,是椭圆的焦点，,定直线,叫做椭圆的准线。,H,d,敬请指导,椭圆的简单的几何性质,第四课时,椭圆的参数方程,目 标,1,、了解椭圆的参数方程,理解参数方程中系数,a,、,b,和参数,的几何意义,;,2,、会用椭圆参数方程解决有关问题,.,椭圆的准线与离心率,离心率,：,椭圆的准线 方程,：,o,x,y,M,L,L,F,F,离心率的范围,：,相对应焦点,F,（,c,0,），,准线方程是：,相对应焦点,F,（,-c,0,），,准线方程是：,复习,椭圆的有关几何量,1.,两准线间距离,2.,焦半径,:,M F,1,=a+ex,MF,2,=a-ex.,1.,圆,x,2,+y,2,=r,2,(r0),的参数方程,:,2.,圆,(x-a),2,+(y-b),2,=r,2,的参数方程,:,其中参数的几何意义为,:,猜想,椭圆 的参数方程为？,为旋转角,参数方程的实质,:,三角换元,新课探究,问题,1:,与圆类似,把方程,(1),叫做椭圆的参数方程,.,问题,2:,椭圆的参数方程中 ，,a,b,的含义是什么,?,探求新知,例,1,如图,以原点为圆心,分别以,a,、,b(a,b0),为半径作两个圆，点,B,是大圆半径,OA,与小圆的交点，,过点,A,作,ANOx,，垂足为,N,，过点,B,作,BMAN,，垂足,为,M,，求当半径,OA,绕点,O,旋转时，点,M,的轨迹的参数方程。,分析：本题是给定条件求轨迹问题，请同学们观察并,思考下列各问题：,（,1,）动点,A,、,B,、,N,、,M,分别是如何运动的？相互关系如何？其中最主要的动点是哪个点？,（,2,）动点,M是如何产生的？,M,的坐标与点,A,、,B,的坐标的关系如何？,（,3,）什么是参数方程？如何设出恰当的参数？,例,1,：,如图，以原点为圆心，分别以,a,、,b,（,ab0),为半径作两圆,.,点,B,是大圆半径,OA,与小圆的交点，过点,A,作,ANO,x,，,垂足为,N,，,过点,B,作,BMAN,，,垂足为,M,，,求当半径,OA,绕点,O,旋转时点,M,的轨迹的参数方程。,解：,x,O,y,A,M,N,B,x,O,y,A,M,N,B,说 明,由图形可知,:,椭圆上到中心距离最远的点为两长轴端点,最长距离为,a;,最近的点为短轴两端点,最短距离为,b.,圆和椭圆的参数方程的比较,名称方程,参数的意义,圆,椭圆,(,a,b,),为圆心,r,为半径,a,为长半轴长,b,为短半轴长,;,为离心角,练习,1,把下列参数方程化为普通方程,普通方程化为参数方程,.,例,2.P(x,y),为椭圆 上任意一点,(1),求,3x+4y,的取值范围,;,(2),求,x,2,+y,2,的最值,.,解：由已知可设,知识应用,例,3:,如图在椭圆,x,2,+8y,2,=8,上求一点,P,使,P,到直线,l:x-y+4=0,的距离最小,.,解,1:,把直线,l,平移至首次与椭圆相切,切点就是所求的,点,P,即,:,设,l,1,的方程为,x-y+m,=0,整理得,9y,2,-2my+m,2,-8=04m,2,-49(m,2,-8)=0,解得,m=3.,由图形可知,m=3,l,1,首先与,椭圆相切,此时,即,9y,2,-6y+1=0.,X,Y,l,O,x-y+m,=0,X,2,+8y,2,=8,x-y+3=0,X,2,+8y,2,=8,例,3:,如图在椭圆,x,2,+8y,2,=8,上求一点,P,使,P,到直线,l:x-y+4=0,的距离最小,.,X,Y,l,O,P,例,4,课堂小结,本节课学习了椭圆的参数方程及 的几何意义。,通过学习我们对椭圆有了更深入的了解，椭圆的两种定义，两种方程都是等价的，可以互相转化。,椭圆的参数方程应用广泛，特别是求有关最值问题，常比普通方程更简洁。,解：A,B,C,D,O,x,y,.,),0,(,1,2,2,2,2,值,的内接矩形面积的最大,求椭圆,练习,2,：,=,+,b,a,b,y,a,x,解：,y,o,F,1,F,2,x,.,1,25,144,),(,3,2,2,的取值范围,求,上的点，,是椭圆,，,：已知,练习,y,x,u,y,x,y,x,P,+,=,=,+,的范围,求,的范围；,求,的范围；,求,满足,设实数,对比：,2,2,2,2,),3,(,1,2,),2,(,4,3,),1,(,1,),1,(,y,x,x,y,y,x,y,x,y,x,+,+,+,+,=,-,+,y,x,O,从图形位置关系角度出发考虑,的范围,求,的范围；,求,的范围；,求,满足,设实数,2,2,2,2,),3,(,1,2,),2,(,4,3,),1,(,1,),1,(,y,x,x,y,y,x,y,x,y,x,+,+,+,+,=,-,+,由,得,C,(1),椭圆的参数方程及,a,b,的几何意义,.,(2),椭圆的参数方程的应用,.,小结,