高二数学研究性课题 欧拉公式课件 人教版 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,研究性课题：,欧拉公式,了解欧拉定理的证明。,会简单应用欧拉定理。,培养学生发现问题、提出问题、解决问题、获取知识、运用知识的能力。,学习目标:,复习,:,1.,多面体的定义,若干个平面多边形围成的几何体,(1),（,2,）,（,3,）,(4),2.,多面体的有关概念,多面体的面,棱,顶点,4.,凸多面体,把多面体的任何一个面延伸为平面,如果所有其他各面都在这个平面的同侧,这样的多面体叫做,凸多面体,3.,多面体的分类,四面体,五面体,六面体等,5.(1),什么叫正多面体（两个特征）？,(2),正多面体有哪几种？为什么？,每个面都是有相同边数的正多边形,且以每个顶,点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体,叫做正多,面体,.,正多面体只有五种,:,正四面体,正六面体,正八面体,正十二面体和正二十面体,1.,分析正多面体顶点数,V,、面数,F,、棱数,E,的关系,一、发现欧拉公式,:,正多面体,顶点数,（,V,）,面数（,F,）,棱数（,E,）,V,、,E,、,F,的关系,正四面体,正六面体,正八面体,正十二面体,正二十面体,观察,5,个正多面体的顶点数、面数以及棱数，分别填在下面表内：,4 6,V+F-E=2,V+F-E=2,V+F-E=2,V+F-E=2,V+F-E=2,8 6 12,6 8,1220 12 30,12 20,30,猜想：,多面体的顶点数,V,、面数,F,和棱数,E,之间的关系,V,+,F,-,E,=2,简单几何体,顶点数（,V,）,面数（,F,）,棱数（,E,）,V+F-E,2.,验证一般简单多面体,V,、,E,、,F,的关系,5 8 2,6 6 10 2,6 5 9 2,10 7 15 2,8 6 12 2,6 5 9 2,3.,数出下列四个多面体的顶点数,V,、,面数,F,、,棱数,E,并填表,（,1),（,2,）,（,3,）,（,4,）,图形编号,顶点数,V,面数,F,棱数,E,(,1),（,2,）,（,3,）,（,4,）,规律,：,4,6,4,8,6,12,6,8,12,9,8,15,V,+,F,-,E,=2,结论：,关系,V+F-E=2,不仅对正多面体、棱柱、,棱锥成立，而且对更多的多面体也都成立。,(6),(7),(5),5,8,5,12,12,24,7,8,12,4.,数出下列四个多面体的顶点数,V,、,面数,F,、,棱数,E,并填表,图形编号,顶点数,V,面数,F,棱数,E,(5),（,6,）,（,7,）,满足,不满足,不满足,结论：,关系,V+F-E=2,不是对所有多面体都成立,多面体,（,2,）,(,3),(4,),简单多面体,表面经过连续变形,能变成一个球面的多面体,(,1),像以上那样的连续变形中，表面能变为一个球面的多面体,叫,简单多面体,.,想一想,前面的多面体中，是简单多面体的有哪些？,棱柱、棱锥、正多面体、凸多面体是简单多面体吗？,猜想,简单多面体的顶点数,V,，面数,F,的和与棱数,E,之间存在的规律？,V+F-E=2,欧拉公式,数学英雄,欧拉，瑞士数学家。,13,岁就成为巴塞尔大学的学生，,17,岁成为巴塞尔有史以来的第一个年轻的硕士。欧拉从一开始就选择通过解决实际问题进行数学研究的道路。,1726,年，,19,岁的欧拉由于撰写了,论桅杆配置的船舶问题,而荣获巴黎科学院的资金。,欧拉的成才还有另一个重要的因素，就是他那惊人的记忆力！他能背诵前一百个质数的前十次幂，能背诵罗马诗人维吉尔（,Virgil,）的史诗,Aeneil,，能背诵全部的数学公式。直至晚年，他还能复述年轻时的笔记的全部内容。高等数学的计算他可以用心算来完成。,欧拉最先把对数定义为乘方的逆运算，并且最先发现了对数是无穷多值的。他证明了任一非零实数有无穷多个对数。,欧拉使三角学成为一门系统的科学，他首先用比值来给出三角函数的定义，使三角学跳出只研究三角表这个圈子。欧拉对整个三角学作了分析性的研究，从最初几个公式解析地推导出了全部三角公式，还获得了许多新的公式。,欧拉用,a,、,b,、,c,表示三角形的三条边，用、表示第个边所对的角，从而使叙述大大地简化。欧拉得到的著名的公式又把三角函数与指数函联结起来。,在普及教育和科研中，欧拉意识到符号的简化和规则化既有有助于学生的学习，又有助于数学的发展，所以欧拉创立了许多新的符号。如用,sin,、,cos,等表示三角函数，用,e,表示自然对数的底，用,f(x,),表示函数，用,表示求和，用,i,表示虚数等。圆周率,虽然不是欧拉首创，但却是经过欧拉的倡导才得以广泛流行。而且，欧拉还把,e,、,、,i,统一在一个令人叫绝的关系式中。欧拉在研究级数时引入欧拉常数，这是继,、,e,之后的又一个重要的数。,欧拉不但重视教育，而且重视人才。当时法国的拉格朗日只有,19,岁，而欧拉已,48,岁。拉格朗日与欧拉通信讨论,等周问题,，欧拉也在研究这个问题。后来拉格朗日获得成果，欧拉就压下自己的论文，让拉格朗日首先发表，使他一举成名。,1735,年，欧拉着手解决一个天文学难题,计算慧星的轨迹（这个问题需经几个著名的数学家几个月的努力才能完成）。由于欧拉使用了自己发明的新方法，只用了三天的时间。但三天持续不断的劳累也使欧拉积劳成疾，疾病使年仅,28,岁的欧拉右眼失明。但他仍然醉心于科学事业，忘我地工作。,晚年欧拉的左眼又失明了，但他用口授、别人记录的方法坚持写作。他撰写了,微积分原理,，,1768,年，,积分学原理,第一卷在圣彼得堡出版。,1770,年第三卷出版。同年，他又口述写成,代数学完整引论,，有俄文、德文、法文版，成为欧洲几代人的教科书。,1771,年，圣彼得堡一场大火，秧及欧拉的住宅，一位仆人冒着生命危险把欧拉从大火中背出来。可他的藏书及大量的研究成果都化为灰烬。大火以后他立即投入到新的创作之中。他完全凭着坚强的意志和惊人的毅力，回忆所作过的研究。欧拉的记忆力也确实罕见，他能够完整地背诵出几十年前的笔记内容，然后口授，由他的长子记录。他用这种方法又发表了论文多篇以及多部专著，这几乎占他全部著作的半数以上。,欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从,19,岁开始发表论文，直到,76,岁，他那不倦的一生，共写下了,886,本书籍和论文，其中在世时发表了,700,多篇论文。,甚至在他死后，,彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了,47,年。,就科研成果方面来说，欧拉是数学史上或者说是自然科学史上首屈一指的。,欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究！欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。,有的历史学家把欧拉和阿基米德、牛顿、高斯列为有史以来贡献最大的四位数学家，依据是他们都在创建纯粹理论的同时，还应用这些数学工具去解决大量天文、物理和力学等方面的实际问题，他们的工作是跨学科的，他们不断地从实践中吸取丰富的营养，但又不满足于具体问题的解决，而是把宇宙看作是一个有机的整体，力图揭示它的奥秘和内在规律。,由于欧拉出色的工作，后世的著名数学家都极度推崇欧拉。大数学家拉普拉斯说过：,“,读读欧拉，这是我们一切人的老师。,”,被誉为数学王子的高斯也说过：,对于欧拉工作的研究，将仍旧是对于数学的不同范围的最好的学校，并且没有别的可以替代它,。,两个结论,简单多面体的棱数,E,等于表面多边形的边数之和除以,2.,若以简单多面体的一个顶点为其一端有,n,条棱,(,也有,n,个面,),则所有表面多边形的顶点数之和除以,n,即多面体的顶点数,V.,思考,1,：多面体的面数是,F,，,顶点数是,V,，,棱数是,E,，,则平面图形中的多边形个数、顶点数、边数分别为,思考,2,：设多面体的,F,个面分别是,n,1,n,2,n,F,边形，各个面的内角总和是多少？,(,n,1,-2)180,0,+(,n,2,-2)180,0n,F,-2)180,0,=(,n,1,+,n,2,+,n,F,-2,F,）180,0,思考,3,：,n,1,+,n,2,+,n,F,和多面体的棱数,E,有什么关系？,n,1,+,n,2,+,n,F,=2,E,F,、,V,、,E,问题：,如何证明欧拉公式,讨论,A,B,C,D,E,A,1,B,1,C,1,D,1,E,1,A,B,C,D,E,A,1,B,1,C,1,D,1,E,1,多边形内角和,=,（,E,F,）,360,0,思考,4,：设平面图形中最大多边形（即多边形,ABCDE,）是,m,边形，则它和它内部的全体多边形的内角总和是多少？,2,（,m,-2)180,0,+(,V,-,m)360,0,=(,V,-2)360,0,（,E,-,F,）,360,0,=(,V,-2)360,0,讨论,A,B,C,D,E,A,1,B,1,C,1,D,1,E,1,A,B,C,D,E,A,1,B,1,C,1,D,1,E,1,V,+,F,-,E,=2,欧拉公式,问题：,如何证明欧拉公式,例,1,：,1996,年的诺贝尔化学奖授予对发现,C,60,有重大贡献的三位科学家,C,60,是有,60,个,C,原子组成的分子，它结构为简单多面体形状这个多面体有,60,个顶点，从每个顶点都引出,3,条棱，各面的形状分别为五边星或六边形两种计算,C,60,分子中形状为五边形和六边形的面各有多少？,解：设,C,60,分子中形状为五边形和六边形的面各有,x,个和,y,个,由题,意有顶点数,V=60,，,面数,=x+y,，棱数,E=,（,3,60,）,根据欧拉公式，可得,60+,（,x+y),（,360,）,=2,另一方面，棱数也可由多边形的边数来表示，即,（,5x+6y)=,（,360,）,由,以上两个方程可解出,x=12,y=20,答：,C,60,分子中形状为五边形和六边形的面各有,12,个和,20,个,例,2,：有没有棱数是,7,的简单多面体？,解：假设有一个简单多面体的棱数,E=7,根据欧拉公式得,V,+,F,=,E,+2=9,因为多面体的顶点数,V4,，,面数,F4,，,所以只有两种情形：,V,=4,，,F,=5,或,V,=5,，,F,=4,但是，有,4,个顶点的多面体只有,4,个面，而四面体也只有四个顶点所以假设不成立，没有棱数是,7,的简单多面体,小结,猜想,证明,应用,空间问题平面化,V,+,F,-,E,=2,欧拉公式,