高考数学 2.7函数与方程总复习课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,要点梳理,1.,函数的零点,（,1,）函数零点的定义,对于函数,y,=,f,(,x,)(,x,D,),把使,_,成立的实数,x,叫,做函数,y,=,f,(,x,)(,x,D,),的零点,.,2.7,函数与方程,f,(,x,)=0,基础知识 自主学习,（,2,）几个等价关系,方程,f,(,x,)=0,有实数根 函数,y,=,f,(,x,),的图象与,_,有,交点 函数,y,=,f,(,x,),有,_.,(3),函数零点的判定（零点存在性定理）,如果函数,y,=,f,(,x,),在区间,a,，,b,上的图象是连续不,断的一条曲线，并且有,_,那么函,数,y,=,f,(,x,),在区间,_,内有零点,即存在,c,(,a,b,),使得,_,，这个,_,也就是,f,(,x,)=0,的根,.,f,（,a,）,f,（,b,）,0),的图象与零点的关系,0,=0,0),的图象,与,x,轴的交点,_,_,无交点,零点个数,_,_,_,(,x,1,0),(,x,2,0),(,x,1,0),无,一个,两个,3.,二分法,（,1,）二分法的定义,对于在区间,a,，,b,上连续不断且,_,的,函数,y,=,f,(,x,),，通过不断地把函数,f,(,x,),的零点所在的区,间,_,使区间的两个端点逐步逼近,_,进而得到零点近似值的方法叫做二分法,.,（,2,）用二分法求函数,f,(,x,),零点近似值的步骤,第一步，确定区间,a,，,b,，验证,_,给定精确度 ；,第二步，求区间（,a,，,b,）的中点,x,1,；,f,(,a,),f,(,b,)0,一分为二,零点,f,(,a,),f,(,b,)0,第三步，计算,_,：,若,_,，则,x,1,就是函数的零点；,若,_,，则令,b,=,x,1,(,此时零点,x,0,(,a,x,1,);,若,_,，则令,a,=,x,1,(,此时零点,x,0,(,x,1,b,);,第四步，判断是否达到精确度 ：即若,|,a,-,b,|,则,得到零点近似值,a,（或,b,）否则重复第二、三、四步,.,f,(,x,1,),f,(,a,),f,(,x,1,)0,f,(,x,1,),f,(,b,)0,f,(,x,1,)=0,基础自测,1.,若函数,f,(,x,)=,ax,+,b,有一个零点为,2,则,g,(,x,)=,bx,2,-,ax,的,零点是 （）,A.0,，,2 B.0,，,C.0,，,D.2,解析,由,f,(2)=2,a,+,b,=0,得,b,=-2,a,g,(,x,)=-2,ax,2,-,ax,=-,ax,(2,x,+1).,令,g,(,x,)=0,，得,x,=0,x,=,g,（,x,）的零点为,0,，,C,2.,函数,f,(,x,)=3,ax,-2a,+1,在,-1,，,1,上存在一个零点，,则,a,的取值范围是 （）,A.B.,a,1,C.D.,解析,f,(,x,)=3,ax,-2,a,+1,在,-1,，,1,上存在一个零点，,则,f,(-1),f,(1)0,即,D,3.,函数图象与,x,轴均有公共点，但不能用二分法求公,共点横坐标的是 （）,解析,图,B,不存在包含公共点的闭区间,a,，,b,使函,数,f,（,a,）,f,（,b,）,0.,B,4.,下列函数中在区间,1,2,上一定有零点的是（）,A.,f,(,x,)=3,x,2,-4,x,+5,B.,f,(,x,)=,x,3,-5,x,-5,C.,f,(,x,)=,mx,2,-3x,+6,D.,f,(,x,)=e,x,+3,x,-6,解析,对选项,D,，,f,（,1,）,=e-30,，,f,（,1,）,f,（,2,）,0.,D,5.,设函数,则函数,f,(,x,)-,的零点是,_.,解析,当,x,1,时，,当,x,1,时，,(,舍去大于,1,的根,).,的零点为,题型一 零点的判断,【,例,1,】,判断下列函数在给定区间上是否存在零点,.,(1),f,（,x,）,=,x,2,-3,x,-18,，,x,1,，,8,；,(2),f,（,x,）,=log,2,(,x,+2)-,x,，,x,1,，,3,.,第（,1,）问利用零点的存在性定理或,直接求出零点，第（,2,）问利用零点的存在性定理,或利用两图象的交点来求解,.,思维启迪,题型分类 深度剖析,解,（,1,）,方法一,f,（,1,）,=1,2,-3,1-18=-200,，,f,(1),f,(8)log,2,2-1=0,f,(3)=log,2,5-3log,2,8-3=0,f,（,1,）,f,（,3,）,0,，,故,f,(,x,)=log,2,(,x,+2)-,x,x,1,，,3,存在零点,.,方法二,设,y,=log,2,(,x,+2),y,=,x,在同一直角坐标系,中画出它们的图象，,从图象中可以看出当,1,x,3,时，,两图象有一个交点，,因此,f,(,x,)=log,2,(,x,+2)-,x,x,13,存在零点,.,函数的零点存在性问题常用的办法,有三种,:,一是用定理，二是解方程,三是用图象,.,值得,说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是,必要条件,.,探究提高,知能迁移,1,判断下列函数在给定区间上是否存,在零点,.,（,1,）,f,(,x,)=,x,3,+1;,（,2,）,x,（,0,，,1,）,.,解,（,1,）,f,(,x,)=,x,3,+1=(,x,+1)(,x,2,-,x,+1),令,f,(,x,)=0,，即,(,x,+1)(,x,2,-,x,+1)=0,x,=-1,f,(,x,)=,x,3,+1,有零点,-1.,（,2,）,方法一,令,f,(,x,)=0,，x,=,1,而,1(0,1),x,(0,1),不存在零点,.,方法二,令,y,=,x,在同一平面直角坐标系中，,作出它们的图象,从图中可以看出当,0,x,1),判断,f,(,x,)=0,的根的个数,.,解,设,f,1,(,x,)=,a,x,(,a,1),f,2,(,x,)=,则,f,(,x,)=0,的解即为,f,1,(,x,)=,f,2,(,x,),的解,即为函数,f,1,(,x,),与,f,2,(,x,),图象交点的横坐标,.,在同一坐标系中，作出函数,f,1,(,x,)=,a,x,(,a,1),与,f,2,(,x,)=,的图象,(,如,图所示）,.,两函数图象有且只有一个交点，即方程,fx,)=0,有且,只有一个根,.,题型三 零点性质的应用,【,例,3,】,(12,分,),已知函数,f,(,x,)=-,x,2,+2e,x,+,m,-1,g,(,x,)=,x,+,(,x,0).,(1),若,g,(,x,)=,m,有零点，求,m,的取值范围；,(2),确定,m,的取值范围，使得,g,(,x,)-,f,(,x,)=0,有两个,相异实根,.,（,1,）可结合图象也可解方程求之,.,（,2,）利用图象求解,.,思维启迪,解,（,1,）,方法一,等号成立的条件是,x,=e.,故,g,(,x,),的值域是,2e,，,+),，,4,分,因而只需,m,2e,，则,g,(,x,)=,m,就,有零点,.6,分,方法二,作出 的图象如图：,4,分,可知若使,g,(,x,)=,m,有零点，则只需,m,2e.6,分,方法三,解方程由,g,（,x,）,=,m,，得,x,2,-,mx,+e,2,=0.,此方程有大于零的根，,4,分,等价于 故,m,2e.6,分,(2),若,g,(,x,)-,f,(,x,)=0,有两个相异的实根，,即,g,（,x,）,=,f,（,x,）中函数,g,（,x,）与,f,（,x,）的图象有两个,不同的交点，,作出 （,x,0,）的图象,.,f,（,x,）,=-,x,2,+2e,x,+,m,-1,=-(,x,-e),2,+,m,-1+e,2,.,其对称轴为,x,=e,，开口向下，,最大值为,m,-1+e,2,.10,分,故当,m,-1+e,2,2e,即,m,-e,2,+2e+1,时，,g,(,x,),与,f,(,x,),有两个交点，,即,g,(,x,)-,f,(,x,)=0,有两个相异实根,.,m,的取值范围是（,-e,2,+2e+1,+).12,分,此类利用零点求参数的范围的问题，可,利用方程，但有时不易甚至不可能解出，而转化为构,造两函数图象求解,使得问题简单明了,.,这也体现了,当不是求零点，而是利用零点的个数，或有零点时求,参数的范围，一般采用数形结合法求解,.,探究提高,知能迁移,3,是否存在这样的实数,a,使函数,f,(,x,)=,x,2,3,a,-2),x,+,a,-1,在区间,-1,3,上与,x,轴恒有一个零点,且只有一个零点,.,若存在,求出范围,若不存在,说,明理由,.,解,=(3,a,-2),2,-4(,a,-1)0,若实数,a,满足条件,则只需,f,(-1),f,(3)0,即可,.,f,(-1),f,(3)=(1-3,a,+2+,a,-1),(9+9,a,-6+,a,-1),=4(1-,a,)(5,a,+1)0.,所以,a,或,a,1.,检验,:(1),当,f,(-1)=0,时，,a,=1.,所以,f,(,x,)=,x,2,+,x,.,令,f,(,x,)=0,，即,x,2,+,x,=0,，得,x,=0,或,x,1.,方程在,-1,3,上有两根，不合题意，故,a,1.,(2),当,f,(3)=0,时，,a,=,解之得,x,=,或,x,=3.,方程在,-1,3,上有两根,不合题意,故,a,综上所述,a,1.,1.,函数零点的判定常用的方法有：零点存在性定,理；数形结合；解方程,f,（,x,）,=0.,2.,研究方程,f,(,x,)=,g,(,x,),的解，实质就是研究,G,(,x,)=,f,（,x,）,-,g,（,x,）的零点,.,3.,二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法,.,其,实质是通过不断地,“,取中点,”,来逐步缩小零点所在,的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的,任一点就是这个函数零点的近似值,.,方法与技巧,思想方法 感悟提高,1.,对于函数,y,=,f,(,x,)(,x,D,),我们把使,f,(,x,)=0,的实数,x,叫,做函数的零点,注意以下几点,:,(1),函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个,实数时,其函数值等于零,.,(2),函数的零点也就是函数,y,=,f,(,x,),的图象与,x,轴的交点,的横坐标,.,(3),一般我们只讨论函数的实数零点,.,(4),函数的零点不是点,是方程,f,(,x,)=0,的根,.,失误与防范,2.,对函数零点存在的判断中,必须强调,:,(1),f,(,x,),在,a,b,上连续,;,(2),f,(,a,),f,(,b,)0,，,f,（,-1,）,f,（,0,）,0),则,y,=,f,(,x,),（）,A.,在区间,(1,e),内均有零点,B.,在区间,(1,e),内均无零点,C.,在区间 内有零点，在区间,(1,e),内无零点,D.,在区间 内无零点,在区间,(1,e),内有零点,解析,因为,因此,f,(,x,),在 内无零点,.,因此,f,(,x,),在,(1,，,e),内有零点,.,答案,D,3.,（,2009,福建文，,11,）,若函数,f,（,x,）的零点与,g,(,x,)=4,x,+2,x,-2,的零点之差的绝对值不超过,0.25,，则,f,(,x,),可以是 （）,A.,f,(,x,)=4,x,-1 B.,f,(,x,)=(,x,-1),2,C.,f,(,x,)=e,x,-1 D.,解析,g,(,x,)=4,x,+2,x,-2,在,R,上连续且,设,g,(,x,)=4,x,+2,x,-2,的零点为,x,0,则,又,f,(,x,)=4,x,-1,零点为,f,(,x,)=(,x,-1),2,零点为,x,=1;,f,(,x,)=e,x,-1,零点为,x,=0;,零点为,答案,A,4.,方程,|,x,2,-2,x,|=,a,2,+1(,a,R,+,),的解的个数是（）,A.1 B.2 C.3 D.4,解析,a,R,+,，,a,2,+11.,而,y,=|,x,2,-2,x,|,的图象如图，y,=|,x,2,-2,x,|,的图象与,y,=,a,2,+1,的图象总有两个交点,.,方程有两解,.,B,5.,方程,|,x,|(,x,-1)-,k,=0,有三个不相等的实根，则,k,的取,值范围是 （）,A.B.,C.D.,解析,本题研究方程根的个数问题,此类问题首选,的方法是图象法即构造函数利用函数图象解题,其,次是直接求出所有的根,.,本题显然考虑第一种方法,.,如图，作出函数,y,=|,x,|,(,x,-1),的,图象，由图象知当,k,时，,函数,y,=,k,与,y,=|,x,|(,x,-1),有,3,个不同的,交点，即方程有,3,个实根,.,答案,A,6.,设,f,(,x,)=,x,3,+,bx,+,c,(,b,0)(-1,x,1),且,则方程,f,(,x,)=0,在,-1,1,内,(),A.,可能有,3,个实数根,B.,可能有,2,个实数根,C.,有唯一的实数根,D.,没有实数根,解析,f,（,x,）,=,x,3,+,bx,+,c,（,b,0,），,f,(,x,)=3,x,2,+,b,0,f,（,x,）在,-1,1,上为增函数,又,f,（,x,）在 内存在唯一零点,.,C,二、填空题,7.,若函数,f,(,x,)=,x,2,-,ax,-,b,的两个零点是,2,和,3,，则函数,g,(,x,)=,bx,2,-,ax,-1,的零点是,_.,解析,g,（,x,）,=-6,x,2,-5,x,-1,的零点为,8.,若函数,f,(,x,)=,x,2,+,ax,+,b,的两个零点是,-2,和,3,则不等式,af,(-2,x,)0,的解集是,_.,解析,f,（,x,）,=,x,2,+,ax,+,b,的两个零点是,-2,，,3.,-2,，,3,是方程,x,2,+,ax,+,b,=0,的两根，,由根与系数的关系知,f,(,x,)=,x,2,-,x,-6.,不等式,af,(-2,x,)0,，,即,-(4,x,2,+2,x,-6)0 2,x,2,+,x,-30,解集为,9.,已知,y,=,x,(,x,-1)(,x,+1),的图象如图所示,今考虑,f,(,x,)=,x,(,x,-1)(,x,+1)+0.01,则方程,f,(,x,)=0,有三个实根；,当,x,-1,时,恰有一实根,(,有一,实根且仅有一实根,);,当,-1,x,0,时，恰有一实根；,当,0,x,1,时，恰有一实根,.,则正确结论的编号为,_.,解析,f,（,-2,）,=-2,(-3),(-1)+0.01=-5.990,，即,f,(-2),f,(-1)0,由图知,f,(,x,)=0,在,(-1,0),上没有实数,根,所以不正确,.,又,f,(0.5)=0.5,(-0.5),1.5+0.01=-0.3650,即,f,(0.5),f,(1)0,所以,f,(,x,)=0.,在,(0.5,1),上必有一个实根,且f,(0),f,（,0.5,）,0,且,f,(,x,),在（,1,，,+,）上是增函数，,f,（,x,）,0,f,(,x,)=0,在（,1,，,+,）上没有实根,.,不正确,.,并且由此可知也正确,.,答案,三、解答题,10.,已知函数,f,(,x,)=4,x,+,m,2,x,+1,有且仅有一个零点，求,m,的取值范围，并求出该零点,.,解,f,（,x,）,=4,x,+,m,2,x,+1,有且仅有一个零点，,即方程,(2,x,),2,+,m,2,x,+1=0,仅有一个实根,.,设,2,x,=,t,(,t,0),，则,t,2,+,mt,+1=0.,当,=0,即,m,2,-4=0,，,m,=-2时，,t,=1;,m,=2,时，,t,=-1,不合题意，舍去，,2,x,=1,，,x,=0,符合题意,.,当,0,，即,m,2,或,m,0,则应有,f,(2)0,又,f,（,2,）,=2,2,+,（,m,-1,）,2+1,m,若,f,(,x,)=0,在区间,0,2,上有两解,则,由可知,m,-1.,12.,已知,a,是实数，函数,f,(,x,)=2,ax,2,+2,x,-3-,a,.,如果函数,y,=,f,(,x,),在区间,-1,，,1,上有零点,求,a,的取值范围,.,解,（,1,）当,a,=0,时，,f,(,x,)=2,x,-3.,令,2,x,-3=0,得,x,=,-1,，,1,f,（,x,）在,-1,，,1,上无零点，故,a,0.,（,2,）当,a,0,时，,f,(,x,)=2,ax,2,+2,x,-,3-,a,的对称轴为,当 ,-1,即,0,a,时，,须使,a,的解集为,.,当,-1 ,时，,须使,解得,a,1,a,的取值范围是,1,，,+).,（,3,）当,a,0,时，,当,01,即,a,0,时，,须有,a,的解集为,.,综上所述，,a,的取值范围是,返回,