高考数学 8.3空间点、直线、平面之间的位置关系总复习课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,8.3,空间点、直线、平面之间,的位置关系,要点梳理,1.,平面的基本性质,公理,1,：如果一条直线上的,在一个平面内，,那么这条直线在这个平面内,.,公理,2,：过,的三点，有且只有一个平面,.,公理,3,：如果两个不重合的平面有一个公共点，,那么它们有且只有,过该点的公共直线,.,两点,不共线,一条,基础知识 自主学习,2.,直线与直线的位置关系,（,1,）位置关系的分类,（,2,）异面直线所成的角,定义：设,a,b,是两条异面直线，经过空间中任,一点,O,作直线,a,a,b,b,把,a,与,b所成的,叫做异面直线,a,b,所成的角,(,或夹角,).,范围：,.,平行,相交,任何,锐角或直角,3.,直线与平面的位置关系有,、,、,三种情况,.,4.,平面与平面的位置关系有,、,两种情况,.,5.,平行公理,平行于,的两条直线互相平行,.,6.,定理,空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么,这两个角,.,平行,相交,在平面内,平行,相交,同一条直线,相等或互补,基础自测,1.,若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，,则这三个平面把空间分成（）,A.5,部分,B.6,部分,C.7,部分,D.8,部分,解析,如图所示,三个平面,、,、,两两相,交，交线分别是,a,、,b,、,c,且,a,b,c,.,则,、,、,把空间分成,7,部分,.,C,2.,直线,a,b,c,两两平行，但不共面，经过其中两条,直线的平面的个数为（）,A.1 B.3 C.6 D.0,解析,以三棱柱为例，三条侧棱两两平行，但,不共面，显然经过其中的两条直线的平面有,3,个,.,B,3.,分别在两个平面内的两条直线的位置关系是,（）,A.,异面,B.,平行,C.,相交,D.,以上都有可能,解析,如图所示，,a,b,c,与,d,相交,a,与,d,异面,.,D,4.,如果两条异面直线称为,“,一对,”,，那么在正方,体的十二条棱中共有异面直线（）,A.12,对,B.24,对,C.36,对,D.48,对,解析,如图所示，与,AB,异面的直线,有,B,1,C,1,，,CC,1,，,A,1,D,1,，,DD,1,四条，,因为各棱具有相同的位置且正方体,共有,12,条棱，排除两棱的重复计,算，共有异面直线,B,5.,下列命题中不正确的是,.,没有公共点的两条直线是异面直线；,分别和两条异面直线都相交的两直线异面；,一条直线和两条异面直线中的一条平行，则,它和另一条直线不可能平行；,一条直线和两条异面直线都相交，则它们可,以确定两个平面,.,解析,没有公共点的两直线平行或异面,故错；,命题错,此时两直线有可能相交；命题正确，,因为若直线,a,和,b,异面，,c,a,则,c,与,b,不可能平行，,用反证法证明如下：若,c,b,又,c,a,则,a,b,，这,与,a,b,异面矛盾，故,c b,;,命题也正确，若,c,与两,异面直线,a,b,都相交，由公理,3,可知，,a,c,可能确定,一个平面,b,c,也可确定一个平面，这样,a,b,c,共确,定两个平面,.,答案,题型一 平面的基本性质,如图所示，空间四边形,ABCD,中,E,、,F,、,G,分别在,AB,、,BC,、,CD,上,且满足,AE,EB,=,CF,FB,=21,，,CG,GD,=31,，过,E,、,F,、,G,的平,面交,AD,于,H,，连接,EH,.,（,1,）求,AH,HD,；,（,2,）求证：,EH,、,FG,、,BD,三线共点,.,证明线共点的问题实质上是证明点在,线上的问题，其基本理论是把直线看作两平面,的交线,点看作是两平面的公共点,由公理,3,得证,.,题型分类 深度剖析,(1),解,EF,AC,.,EF,平面,ACD,.,而,EF,平面,EFGH,，,且平面,EFGH,平面,ACD,=,GH,，,EF,GH,.,而,EF,AC,，,AC,GH,.,即,AH,HD,=31.,（,2,）,证明,EF,GH,且,EF,GH,，四边形,EFGH,为梯形,.,令,EH,FG,=,P,，则,P,EH,，而,EH,平面,ABD,，,P,FG,FG,平面,BCD,平面,ABD,平面,BCD,=,BD,P,BD,.,EH,、,FGBD,三线共点,.,所谓线共点问题就是证明三条或三条,以上的直线交于一点,.,（,1,）证明三线共点的依据是公理,3.,（,2,）证明三线共点的思路是：先证两条直线交于,一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化,为证明点在直线上的问题,.,实际上，点共线、线共,点的问题都可以转化为点在直线上的问题来处理,.,知能迁移,1,如图所示，四边形,ABEF,和,ABCD,都是直角梯形，,BAD,=,FAB,=90,BC,AD,BE,FA,，,G,、,H,分别为,FA,、,FD,的中点,.,（,1,）证明：四边形,BCHG,是平行四边形；,（,2,）,C,、,D,、,F,、,E,四点是否共面？为什么？,（,1,）,证明,由已知,FG,=,GA,，,FH,=,HD,，,可得,GH AD,.,又,BC,AD,GH BC,四边形,BCHG,为平行四边形,.,（,2,）,解,方法一,由,BE AF,，,G,为,FA,中点知，,BE FG,，,四边形,BEFG,为平行四边形，,EF,BG,.,由（,1,）知,BG CH,，,EF,CH,，,EF,与,CH,共面,.,又,D,FH,，,C,、,D,、,F,、,E,四点共面,.,方法二,如图所示，延长,FE,，,DC,分别与,AB,交于点,M,，,M,，,BE AF,，,B,为,MA,中点,.,BC AD,，,B,为,M,A,中点，,M,与,M,重合，即,FE,与,DC,交于点,M,（,M,），,C,、,D,、,F,、,E,四点共面,.,题型二 异面直线的判定,(12,分,),如图所示，正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,M,、,N,分别是,A,1,B,1,、,B,1,C,1,的中点,.,问：,（,1,）,AM,和,CN,是否是异面直线？说明理由；,（,2,）,D,1,B,和,CC,1,是否是异面直线？说明理由,.,（,1,）易证,MN,AC,，,AM,与,CN,不异,面,.,（,2,）由图易判断,D,1,B,和,CC,1,是异面直线，证明时,常用反证法,.,解,（,1,）不是异面直线,.,理由：,连接,MN,、,A1,C,1,、,AC,.,M,、,N,分别是,A,1,B,1,、,B,1,C,1,的中点，,MN,A,1,C,1,.,又,A,1,A C,1,C,，,A,1,ACC,1,为平行四边形,.,A,1,C,1,AC,，,MN,AC,，,A,、,M,、,N,、,C,在同一平面内，故,AM,和,CN,不是,异面直线,.,（,2,）是异面直线,.,证明如下：,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,是正方体，,B,、,C,、,C,1,、,D,1,不共面,.,3,分,6,分,假设,D,1,B,与,CC,1,不是异面直线，,则存在平面,，使,D,1,B,平面,，,CC,1,平面,，,D,1,、,B,、,CC,1,，与,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,是正,方体矛盾,.,假设不成立，即,D,1,B,与,CC,1,是异面直线,.,解决这类开放型问题常用的方法有直,接法,(,即由条件入手，经过推理、演算、变形等,),如第（,1,）问，还有假设法，特例法，有时证明两,直线异面用直接法较难说明问题,这时可用反证,法，即假设两直线共面，由这个假设出发，来推,证错误，从而否定假设，则两直线是异面的,.,10,分,12,分,知能迁移,2,(1),如图是一几何体的平面展开图，,其中四边形,ABCD,为正方形，,E,、,F,分别为,PA,、,PD,的中点,在此几何体中,给出下面四个结论：,直线,BE,与直线,CF,是异面直线；,直线,BE,与直线,AF,是异面直线；,直线,EF,平面,PBC,；,平面,BCE,平面,PAD,.,其中正确结论的序号是（）,A.B.C.D.,解析,由,EF,AD,BC,，知,BE,、,CF,共面，,错；正确；正确；错,.,故选,B.,B,（,2,）如图，正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,M,、,N,分,别为棱,C,1,D,1,、,C,1,C,的中点，有以下四个结论：,直线,AM,与,CC,1,是相交直线；,直线,AM,与,BN,是平行直线；,直线,BN,与,MB,1,是异面直线；,直线,AM,与,DD,1,是异面直线,.,其中正确的结论为,（注：把你认为正确,的结论的序号都填上）,.,解析,直线,AM,与,CC,1,是异面直线，直线,AM,与,BN,也是异面直线，故错误,.,题型三 求异面直线所成的角,正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,（,1,）求,AC,与,A,1,D,所成角的大小；,（,2,）若,E,、,F,分别为,AB,、,AD,的中点，求,A,1,C,1,与,EF,所成角的大小,.,（,1,）平移,A,1,D,到,B,1,C,，找出,AC,与,A,1,D,所,成的角，再计算,.,（,2,）可证,A,1,C,1,与,EF,垂直,.,解,(1),如图所示,连接,B,1,C,由,ABCD,A,1,B1,C,1,D,1,是正方体，,易知,A,1,D,B,1,C,，从而,B,1,C,与,AC,所成的锐角或直角,就是,AC,与,A,1,D,所成的角,.,AB,1,=,AC,=,B,1,C,，,B,1,CA,=60,.,即,A,1,D,与,AC,所成角为,60,.,(2),如图所示,连接,AC,、,BD,在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中,AC,BD,，,AC,A,1,C,1,E,、,F,为,AB,、,AD,的中点，,EF,BD,，,EF,AC,.,EF,A,1,C,1,.,即,A,1,C,1,与,EF,所成的角为,90,.,求异面直线所成的角常采用,“,平移线,段法,”,平移的方法一般有三种类型：利用图中,已有的平行线平移；利用特殊点（线段的端点或,中点）作平行线平移；补形平移,.,计算异面直线所,成的角通常放在三角形中进行,.,知能迁移,3,（,2009,全国,理，,7,）,已知三棱,柱,ABC,A,1,B,1,C,1,的侧棱与底面边长都相等，,A,1,在,底面,ABC,上的射影,D,为,BC,的中点,则异面直线,AB,与,CC,1,所成的角的余弦值为（）,A.B.C.D.,解析,方法一,如图,(1),A,1,D,平面,ABC,，且,D,为,BC,的中点,设三棱柱的各,棱长为,1,，则,AD,=,，由,A,1,D,平面,ABC,知,A,1,D,=,Rt,A1,BD,中，易求,A,1,B,=,图（,1,）,CC,1,AA,1,，,AB,与,AA,1,所成的角即为,AB,与,CC,1,所,成的角,.,在,A,1,BA,中,由余弦定理可知,cos,A,1,AB,=,AB,与,CC,1,所成的角的余弦值为,方法二,如图（,2,）,建立空间直角坐标系，因,为,A,1,D,平面,ABC,，,AD,BC,，由,AA,1,=1,知,图（,2,）,答案,D,方法与技巧,1.,主要题型的解题方法,（,1,）要证明,“,线共面,”,或,“,点共面,”,可先由部,分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点,也在这个平面内（即,“,纳入法,”,）,.,（,2,）要证明,点共线,”,可将线看作两个平面的,交线,只要证明这些点都是这两个平面的公共,点,根据公理,3,可知这些点在交线上,因此共线,.,2.,判定空间两条直线是异面直线的方法,（,1,）判定定理：平面外一点,A,与平面内一点,B,的连,线和平面内不经过该点,B,的直线是异面直线,.,思想方法 感悟提高,（,2,）反证法：证明两线,不可能,平行、相交或证,明两线,不可能,共面，从而可得两线异面,.,3.,求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通,过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题,来解决,.,根据空间等角定理及推论可知，异面直,线所成角的大小与顶点位置无关，往往将角的,顶点取在其中的一条直线上特别地，可以取,其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或,异面线段的端点,.,总之，顶点的选择要与已知量,有关，以便于计算，具体步骤如下：,(1),利用定义构造角，可固定一条,平移另一,条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点,选在特殊的位置上；,(2),证明作出的角即为所求角；,(3),利用三角形来求解,.,失误与防范,1.,异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线,.,而不是分别在两个平面内,.,一定要理解定义,.,2.,求异面直线所成的角要特别注意异面直线所成,角的范围是（,0,，,90,.,一、选择题,1.,已知平面外一点,P,和平面内不共线三点,A,、,B,、,C,A,、,B,、,C,分别在,PA,、,PB,、,PC,上,若延长,A,B,、,B,C,、,A,C,与平面分别交于,D,、,E,、,F,三点，则,D,、,E,、,F,三点 （）,A.,成钝角三角形,B.,成锐角三角形,C.,成直角三角形,D.,在一条直线上,解析,D,、,E,、,F,为已知平面与平面,A,B,C,的公共点，由公理,2,知，,D,、,E,、,F,共线,.,D,定时检测,2.,关于直线和平面的四个命题中不正确的是（）,A.,平行于同一平面的两个平面一定平行,B.,平行于同一直线的两条直线一定平行,C.,垂直于同一直线的两条直线一定平行,D.,垂直于同一平面的两条直线一定平行,解析,垂直于同一直线的两条直线不一定平,行，还可能相交或异面,.,C,3.,已知,、,是两个不同的平面，直线,，直,线,，命题,p,:,a,与,b,没有公共点，命题,q,:,，则,p,是,q,的（）,A.,充分不必要条件,B.,必要不充分条件,C.,充要条件,D.,既不充分也不必要条件,解析,当,a,b,都平行于,与,的交线时，,a,与,b,无,公共点，,但,与,相交,.,当,时，,a,与,b,一定无公共,点，,q,p,，但,p q,.,B,4.,若,P,是两条异面直线,l,、,m,外的任意一点,则,(),A.,过点,P,有且仅有一条直线与,l,、,m,都平行,B.,过点,P,有且仅有一条直线与,l,、,m,都垂直,C.,过点,P,有且仅有一条直线与,l,、,m,都相交,D.,过点,P,有且仅有一条直线与,l,、,m,都异面,解析,对于选项,A,，若过点,P,有直线,n,与,l,m,都,平行，则,l,m,，这与,l,m,异面矛盾；,对于选项,B,，过点,P,与,l,、,m,都垂直的直线，即过,P,且与,l,、,m,的公垂线段平行的那一条直线；,对于选项,C,，过点,P,与,l,、,m,都相交的直线有一条,或零条；,对于选项,D,，过点,P,与,l,、,m,都异面的直线可能有,无数条,.,B,5.,正四面体,PABC,中，,M,为棱,AB,的中点,则,PA,与,CM,所成角的余弦值为（）,A.B.C.D.,解析,如图所示，取,PB,中点,N,，,连接,CN,、,MN,.,CMN,为,PA,与,CM,所成的角,（或所成角的补角），,设,PA,=2,，则,CM,=,，,MN,=1,，,CN,=,，,cos,CMN,=,C,6.,正四棱锥,S,ABCD,的侧棱长为 ，底面边长,为 ，,E,为,SA,的中点，则异面直线,BE,和,SC,所成的,角为,(),A.30,B.45,C.60,D.90,解析,设,AC,中点为,O,，则,OE,SC,，连结,BO,，,则,BEO,（或其补角）即为异面直线,BE,和,SC,所成的角，,答案,C,二、填空题,7.,如图所示，在正三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中,D,是,AC,的中点,AA,1,AB,=1,则异面,直线,AB,1,与,BD,所成的角为,.,解析,在平面,ABC,内，过,A,作,DB,的平行线,AE,，,过,B,作,BH,AE,于,H,，,连接,B,1,H,，则在,Rt,AHB,1,中，,B,1,AH,为,AB,1,与,BD,所成角，,设,AB,=1,，则,A,1,A,=,，,B,1,A,=,，,AH,=,BD,=,，,cos,B,1,AH,=,B,1,AH,=60,.,60,8.,在图中，,G,、,H,、,M,、,N,分别是正三棱柱的顶点或,所在棱的中点，则表示直线,GH,、,MN,是异面直线,的图形有,.(,填上所有正确答案的序号),解析,图（,1,）中，直线,GH,MN,；,图（,2,）中，,G,、,H,、,N,三点共面，但,M,面,GHN,，,因此直线,GH,与,MN,异面；,图（,3,）中，连接,MG,，,GM,HN,，因此,GH,与,MN,共面；,图（,4,）中，,G,、,M,、,N,共面，但,H,面,GMN,，,GH,与,MN,异面,.,所以图（,2,）、（,4,）中,GH,与,MN,异面,.,答案,（,2,）（,4,）,9.,已知,a,、,b,为不垂直的异面直线,是一个平面，则,a,、,b,在,上的射影可能是两条平行直线；两,条互相垂直的直线；同一条直线；一条直线,及其外一点,.,则在上面的结论中，正确结论的编号,是,（写出所有正确结论的编号）,.,解析,、对应的,情况如下：,用反证法证明不可能,.,三、解答题,10.,在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,为,AB,的中点，,F,为,A,1,A,的中点，,求证：（,1,）,E,、,C,、,D,1,、,F,四点共面；,（,2,）,CE,、,D,1,F,、,DA,三线共点,.,证明,（,1,）分别连结,EF,、,A,1,B,、,D,1,C,.,E,、,F,分别是,AB,和,AA,1,的中点，,EF A,1,B,.,又,A,1,D,1,B,1,C,1,BC,，,四边形,A,1,D,1,CB,为平行四边形,.,A,1,B,CD1,，从而,EF,CD,1,.,EF,与,CD,1,确定一个平面,.,E,、,F,、,D,1,、,C,四点共面,.,（,2,）,EF CD,1,，直线,D,1,F,和,CE,必相交,设,D,1,F,CE,=,P,.,P,D,1,F,且,D,1,F,平面,AA,1,D,1,D,，,P,平面,AA,1,D,1,D,.,又,P,EC,且,CE,平面,ABCD,，,P,平面,ABCD,，,即,P,是平面,ABCD,与平面,AA,1,D,1,D,的公共点，,而平面,ABCD,平面,AA,1,D,1,D,=,AD,，,P,AD,.,CE,、,D,1,F,、,DA,三线共点,.,11.,已知,E,和,F,分别是正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,的棱,AA,1,和棱,CC,1,上的点,且,AE,=,C,1,F,求证,:,四边形,EBFD,1,是,平行四边形,.,证明,如图所示,在,DD,1,上取一点,G,使,D,1,G,=,A,1,E,，则易知,A,1,E D,1,G,，,四边形,A,1,EGD,1,为平行四边形，,EG A,1,D,1,.,又,A,1,D,1,B,1,C,1,，,B,1,C,1,BC,，,EG BC,，,四边形,GEBC,是平行四边形，,EB GC,.,又,D,1,G FC,四边形,D,1,GCF,是平行四边形,GC D,1,F,，,EB D,1,F,，,四边形,EBFD,1,是平行四边形,.,12.,如图所示，在四面体,ABCD,中，,E,、,F,分别是线段,AD,、,BC,上的点，,AB,=,CD,=3,，,求,AB,、,CD,所成角的大小,.,解,如图所示，在线段,BD,上取一,点,G,，使 连接,GF,、,GE,、,EF,.,EGF,=120,.,由,GF,CD,GE,AB,可知,AB,与,CD,所成的角应,是,EGF,的补角为,60,.,返回,