高考数学总复习 第2讲 利用导数研究函数的单调性、极值与最值课件.ppt

单击此处编辑母版文本样式,第,2,讲,利用导数研究函数的单调性、极值与最值,1,函数的单调性与导数的关系,已知函数,f,(,x,),在某个区间,(,a,，,b,),内可导，,(1),如果,f,(,x,),0,，那么函数,y,f,(,x,),在这个区间内,；,(2),如果,f,(,x,),0,，那么函数,y,f,(,x,),在这个区间内,单凋递增,单调递减,2,函数的极值,(1),判断,f,(,x,0,),是极值的方法,一般地，当函数,f,(,x,),在点,x,0,处连续时，,如果在,x,0,附近的左侧,f,(,x,),0,，右侧,f,(,x,),0,，那么,f,(,x,0,),是极大值；,如果在,x,0,附近的左侧,，右侧,，那么,f,(,x,0,),是极小值,f,(,x,),0,f,(,x,),0,(2),求可导函数极值的步骤,求,f,(,x,),；,求方程,f,(,x,),0,的根；,检查,f,(,x,),在方程,f,(,x,),0,的根左右值的符号如果左正右负，那么,f,(,x,),在这个根处取得,；如果左负右正，那么,f,(,x,),在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点,极大值,3,函数的最值与导数,设函数,f,(,x,),在,a,，,b,上连续且在,(,a,，,b,),内可导，求,f,(,x,),在,a,，,b,上的最大值和最小值的步骤如下：,求,f,(,x,),在,(,a,，,b,),内的极值；,将,f,(,x,),的各极值与,比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值,f,(,a,),，,f,(,b,),感悟,提升,1,一点提醒,函数最值是,“,整体,”,概念，而函数极值是个,“,局部,”,概念，极大值与极小值没有必然的大小关系,2,两个条件,一是,f,(,x,),0,在,(,a,，,b,),上成立，是,f,(,x,),在,(,a,，,b,),上单调递增的充分不必要条件，如,(1),二是对于可导函数,f,(,x,),，,f,(,x,0,),0,是函数,f,(,x,),在,x,x,0,处有极值的必要不充分条件，如,(4),3三点注意,一是求单调区间时应遵循定义域优先的原则,二是函数的极值一定不会在定义域区间的端点处取到,三是求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时分类讨论，不可想当然认为极值就是最值,.,考点一利用导数研究函数的单调性,【,例,1,】,(2013,广东卷改编,),设函数,f,(,x,),(,x,1)e,x,kx,2,.,(1),当,k,1,时，求函数,f,(,x,),的单调区间；,(2),若,f,(,x,),在,x,0,，,),上是增函数，求实数,k,的取值范围,解,(1),当,k,1,时，,f,(,x,),(,x,1)e,x,x,2,，,f,(,x,),e,x,(,x,1)e,x,2,x,x,(e,x,2),令,f,(,x,)0,，即,x,(e,x,2)0,，,x,ln,2,或,x,0.,令,f,(,x,)0,，即,x,(e,x,2)0,，,0,x,ln,2.,因此函数,f,(,x,),的递减区间是,(0,，,ln,2),；,递增区间是,(,，,0),和,(,ln,2,，,),规律方法,(1),利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号而解答本题,(2),问时，关键是分离参数,k,，把所求问题转化为求函数的最小值问题,(2),若可导函数,f,(,x,),在指定的区间,D,上单调递增,(,减,),，求参数范围问题，可转化为,f,(,x,),0(,或,f,(,x,),0),恒成立问题，从而构建不等式，要注意,“,”,是否可以取到,【,训练,1,】,已知函数,f,(,x,),x,3,ax,2,3,x,.,(1),若,f,(,x,),在,1,，,),上是增函数，求实数,a,的取值范围；,(2),若,x,3,是,f,(,x,),的极值点，求,f,(,x,),的单调区间,审题路线,(1),由,f,(1),0,求,a,的值,(2),确定函数定义域,对,f,(,x,),求导，并求,f,(,x,),0,判断根左，右,f,(,x,),的符号,确定极值,规律方法,(1),可导函数,y,f,(,x,),在点,x,0,处取得极值的充要条件是,f,(,x,0,),0,，且在,x,0,左侧与右侧,f,(,x,),的符号不同,(2),若,f,(,x,),在,(,a,，,b,),内有极值，那么,f,(,x,),在,(,a,，,b,),内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值,【,训练,2,】,已知,a,，,b,是实数，,1,和,1,是函数,f,(,x,),x,3,ax,2,bx,的两个极值点,(1),求,a,和,b,的值；,(2),设函数,g,(,x,),的导函数,g,(,x,),f,(,x,),2,，求,g,(,x,),的极值点,(2),由,(1),知，,f,(,x,),x,3,3,x,，,g,(,x,),x,3,3,x,2.,由,g,(,x,),0,，得,(,x,1),2,(,x,2),0,，,g,(,x,),0,的根为,x,2,或,1.,当,x,2,时，,g,(,x,)0,；当,2,x,0.,x,2,是函数,g,(,x,),的极小值点,当,2,x,1,时，,g,(,x,)0,，故,1,不是,g,(,x,),的极值点,所以,g,(,x,),的极小值点为,2,，无极大值点,考点三利用导数求函数的最值,【,例,3,】,(2012,重庆卷,),已知函数,f,(,x,),ax,3,bx,c,在,x,2,处取得极值为,c,16.,(1),求,a,，,b,的值；,(2),若,f,(,x,),有极大值,28,，求,f,(,x,),在,3,3,上的最小值,2),由,(1),知,f,(,x,),x,3,12,x,c,，,f,(,x,),3,x,2,12.,令,f,(,x,),0,，得,x,2,或,2.,当,x,变化时，,f,(,x,),，,f,(,x,),的变化情况如下表：,x,3,(,3,，,2),2,(,2,2),2,(2,3),3,f,(,x,),0,0,f,(,x,),9,c,极大值,极小值,9,c,由表知,f,(,x,),在,x,2,处取得极大值,f,(,2),16,c,，,f,(,x,),在,x,2,处取得极小值,f,(2),c,16.,由题设条件知，,16,c,28,，解得,c,12,，,此时,f,(,3),9,c,21,，,f,3),9,c,3,，,f,(2),c,16,4,，因此,f,(,x,),在,3,3,上的最小值为,f,(2),4.,规律方法,在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别求解函数的最值时，要先求函数,y,f,(,x,),在,a,，,b,内所有使,f,(,x,),0,的点，再计算函数,y,f,(,x,),在区间内所有使,f,(,x,),0,的点和区间端点处的函数值，最后比较即得,.,【,训练,3,】,设函数,f,(,x,),x,ax,2,b,ln,x,，曲线,y,f,(,x,),过,P,(1,0),，且在,P,点处的切线斜率为,2.,(1),求,a,，,b,的值；,(2),令,g,(x,),f,(,x,),2,x,2,，求,g,(,x,),在定义域上的最值,1,注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值,(,范围,),时，隐含恒成立思想,2,求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，区分极值点与导数为,0,的点；含参数时，要讨论参数的大小,3,求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论一个函数在其定义域内最值是唯一的，可以在区间的端点取得,创新突破,3,导数在创新定义与不等式中的应用,【,典例,】,(2013,安徽卷,),设函数,f,(,x,),ax,(1,a,2,),x,2,，其中,a,0,，区间,I,x,|,f,(,x,)0,(1),求,I,的长度,(,注：区间,(,，,),的长度定义为,),；,(2),给定常数,k,(0,1),，当,1,k,a,1,k,时，求,I,长度的最小值,反思感悟,(1),本题以不等式的解集构成的区间长度为命题背景，将导数求最值和含参数的不等式解法交汇，命题情境创新,(2),解法创新，从不等式出发，构造函数利用导数判断函数的单调性，根据单调性确定最值,d,(1,k,),与,d,(1,k,),，并借助不等式性质比较二者的关系，体现了转化与化归的思想,【,自主体验,】,已知函数,f,(,x,),x,2,e,x,.,(1),求,f,(,x,),的极小值和极大值；,(2),当曲线,y,f,(,x,),的切线,l,的斜率为负数时，求,l,在,x,轴上截距的取值范围,x,(,，,0),0,(0,2),2,(2,，,),f,(,x,),0,0,f,(,x,),0,4e,2,由以上表知，,f,(,x,),的极小值为,f,(0),0,；,f,(,x,),的极大值为,4e,2,.,