高考数学总复习 第3讲 导数的综合应用课件.ppt

单击此处编辑母版文本样式,第,3,讲导数的综合应用,知,识,梳,理,1,生活中的优化问题,通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点,2,利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤,3,导数在研究方程,(,不等式,),中的应用,研究函数的单调性和极,(,最,),值等离不开方程与不等式；反过来方程的根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题，利用导数进行研究,感悟,提升,1,两个转化,一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；,二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极,(,最,),值问题处理，如,(2),2,两点注意,一是注意实际问题中函数定义域，由实际问题的意义和解析式共同确定，如,(3),二是在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么可直接根据实际意义判定是最大值还是最小值，如,(4),若在开区间内有极值，则一定有最优解,.,考点一导数在方程,(,函数零点,),中的应用,【,例,1,】,(2013,北京卷,),已知函数,f,(,x,),x,2,x,sin,x,cos,x,.,(1),若曲线,y,f,(,x,),在点,(,a,，,f,(,a,),处与直线,y,b,相切，求,a,与,b,的值2),若曲线,y,f,(,x,),与直线,y,b,有两个不同交点，求,b,的取值范围,审题路线,(1),由导数的几何意义，知,f,(,a,),0,且,f,(,a,),b,，解方程得,a,，,b,的值,(2),两曲线的交点问题，转化为方程,x,2,x,sin,x,cos,x,b,0.,通过判定零点个数来求解,解,由,f,(,x,),x,2,x,sin,x,cos,x,，得,f,(,x,),2,x,sin,x,x,(sin,x,),sin,x,x,(2,cos,x,),(1),因为曲线,y,f,(,x,),在点,(,a,，,f,(,a,),处与直线,y,b,相切，所以,f,(,a,),a,(2,cos,a,),0,，,b,f,(,a,),解得,a,0,，,b,f,(0),1.,(2),设,g,(,x,),f,(,x,),b,x,2,x,sin,x,cos,x,b,.,令,g,(,x,),f,(,x,),0,x,(2,cos,x,),0,，得,x,0.,当,x,变化时，,g,(,x,),，,g,(,x,),的变化情况如下表：,所以函数,g,(,x,),在区间,(,，,0),上单调递减，在区间,(0,，,),上单调递增，且,g,(,x,),的最小值为,g,(0),1,b,.,当,1,b,0,时，即,b,1,时，,g,(,x,),0,至多有一个实根，曲线,y,f,(,x,),与,y,b最多有一个交点，不合题意,x,(,，,0),0,(0,，,),g,(,x,),0,g,(,x,),1,b,当,1,b,1,时，有,g,(0),1,b,4,b,2,b,1,b,0.,y,g,(,x,),在,(0,2,b,),内存在零点，,又,y,g,(,x,),在,R,上是偶函数，且,g,(,x,),在,(0,，,),上单调递增，,y,g,(,x,),在,(0,，,),上有唯一零点，在,(,，,0),也有唯一零点,故当,b,1,时，,y,g,(,x,),在,R,上有两个零点，,则曲线,y,f,(,x,),与直线,y,b,有两个不同交点,综上可知，如果曲线,y,f,(,x,),与直线,y,b,有两个不同交点，那么,b,的取值范围是,(1,，,),规律方法,(1),在解答本题,(2),问时，可转化为判定,f,(,x,),b,有两个实根时实数,b,应满足的条件，并注意,g,(,x,),的单调性、奇偶性、最值的灵活应用另外还可作出函数,y,f,(,x,),的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证,(2),该类问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程,(,或不等式,),组求解，实现形与数的和谐统一,.,解,(1),f,(,x,),x,2,(1,a,),x,a,(,x,1)(,x,a,),由,f,(x,),0,，得,x,1,或,a,(,a,0),当,x,变化时,f,(,x,),与,f,(,x,),的变化情况如下表：,故函数,f,(,x,),的单调递增区间是,(,，,1),，,(,a,，,),；单调递减区间是,(,1,，,a,),x,(,，,1),1,(,1,，,a,),a,(,a,，,),f,(,x,),0,0,f,(,x,),极大值,极小值,考点二导数在不等式中的应用,【,例,2,】,(2013,新课标全国,卷,),已知函数,f,(,x,),e,x,ln(,x,m,),(1),设,x,0,是,f,(,x,),的极值点，求,m,，并讨论,f,(,x,),的单调性；,(2),当,m,2,时，证明,f,(,x,)0.,审题路线,(1),由极值点确定出实数,m,的值，然后利用导数求出函数的单调区间；,(2),当,m,2,时，转化为求,f,(,x,),min,，证明,f,(,x,),min,0.,规律方法,(1),第,(2),问证明抓住两点：一是转化为证明当,m,2,时，,f,(,x,)0,；二是依据,f,(,x,0,),0,，准确求,f,(,x,),e,x,ln(,x,2),的最小值,(2),对于该类问题，可从不等式的结构特点出发，构造函数，借助导数确定函数的性质，借助单调性或最值实现转化,【,训练,2,】,(2014,郑州一模,),已知函数,f,(,x,),a,(,x,2,1)ln,x,.,(1),讨论函数,f,(,x,),的单调性；,(2),若对任意,a,(,4,，,2),及,x,1,3,，恒有,ma,f,(,x,),a,2,成立，求实数,m,的取值范围,规律方法,求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合用导数求解实际问题中的最大,(,小,),值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点,.,【,训练,3,】,某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池,(,不计厚度,),设该蓄水池的底面半径为,r,米，高为,h,米，体积为,V,立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为,100,元,/,平方米，底面的建造成本为,160,元,/,平方米，该蓄水池的总建造成本为,12 000,元,(,为圆周率,),(1),将,V,表示成,r,的函数,V,(,r,),，并求该函数的定义域；,(2),讨论函数,V,(,r,),的单调性，并确定,r,和,h,为何值时该蓄水池的体积最大,1,理解极值与最值的区别，极值是局部概念，最值是整体概念,2,利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用,3,在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较,答题模板,第一步：利用导数的几何意义求,k,的值；,第二步：求,g,(,x,),，构造函数,F,(,x,),；,第三步：将问题转化为证明,F,(,x,),1,e,2,；,第四步：对,F,(,x,),求导，判断其单调性，求最大值；,第五步：将问题再转化为原问题从而得到欲证明的不等式,当,x,(0,1),时，,H,(,x,),0,，于是,G,(,x,),在,0,1,上是减函数，从而当,x,(0,1),时，,G,(,x,),G,(0),0,，故,G,(,x,),在,0,1,上是减函数于是,G,(,x,),G,(0),2,，从而,a,1,G,(,x,),a,3.,所以，当,a,3,时，,f,(,x,),g,(,x,),在,0,1,上恒成立,下面证明，当,a,3,时，,f,(,x,),g,(,x,),在,0,1,上不恒成立,因为当,a,3,时，,a,3,0,，所以存在,x,0,(0,1),，使得,I,(,x,0,),0,，此时,f,(,x,0,),g,(,x,0,),，即,f,(,x,),g,(,x,),在,0,1,上不恒成立,综上，实数,a,的取值范围是,(,，,3.,