高考数学总复习测评课件33 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十五单元 推理与证明,知识体系,第三节 数学归纳法,(*),基础梳理,1.,数学归纳法的适用对象,一般地,对于某些与,有关的数学命题,我们用数学归纳法公理,.,2.,数学归纳法的步骤,用数学归纳法证明命题时，其步骤如下：,(1),如果当,n,取第一个值,n0(,例如,n0=1,2,等,),时结论正确,;,(2),假设当,时结论正确,证明当,n=,时结论也正确,.,那么,命题对于从,n0,开始的所有正整数,n,都成立,.,正整数,n=,k(kN,*,且,kn0),k+1,典例分析,题型一 与自然数,n,有关的等式的证明,【,例,1】,用数学归纳法证明：,分析,用数学归纳法证明问题，应严格按步骤进行，并注意过程的完整性和规范性,.,证明,（,1,）当,n=1,时，左边,=124=18,右边,=18,等式成立,.,(2),假设当,n=,k(kN,*),时,成立,;,当,n=k+1,时，,所以当,n=k+1,时，等式也成立,.,综上可得，等式对于任意,nN,*,都成立,.,学后反思,用数学归纳法证题时两个步骤缺一不可，证当,n=k+1,时命题成立，必须要用当,n=k,时成立的结论，否则，就不是数学归纳法证明,.,举一反三,1.,求证,:(,其中,nN,*).,证明：,(1),当,n=1,时,左边,右边等式成立,.,(2),假设当,n=k,时等式成立,即,那么当,n=k+1,时,左边,=,这就是说,当,n=k+1,时,等式也成立,.,根据,(1),、,(2),可知,等式对任何,nN,*,都成立,.,题型二 用数学归纳法证明整除问题,【,例,2】,求证：（,nN,*,）能被,9,整除,.,分析,当,n=1,时，原式,=27,能被,9,整除,.,因此要研究 与 之间的关系，以便利用归纳假设 能被,9,整除来推证 也能被,9,整除,.,证明,设,（,1,）,f(1)=(31+1)7-1=27,能被,9,整除，因此当,n=1,时命题成立,.,(2),假设,n=,k(kN,*),时命题成立，,即kN,*),能被,9,整除,.,则,由于,f(k,),能被,9,整除，能被,9,整除，,所以 能被,9,整除,.,由（,1,）、（,2,）知，对所有正整数,n,能被,9,整除,.,学后反思,整除问题一般是将,n=k+1,时的结论设法用,n=k,时的结论表达，而后利用假设来讨论判断是否满足整除,.,举一反三,2.,用数学归纳法证明：,(,nN,*),能被,x+2,整除,.,证明：,（,1,）当,n=1,时，,1-(3+x)=-2-x=-(x+2),，能被,x+2,整除,.,（,2,）假设当,n=k,时，能被,x+2,整除,则可设,=(,f(x,),为,k-1,次多项式,).,当,n=k+1时，,能被,x+2,整除,.,综上可知，对任意,nN,*,1-(3+x)n,能被,x+2,整除,.,题型三 用数学归纳法证明不等式,【,例,3】,求证：,(n2,nN*).,分析,和正整数有关，因此可用数学归纳法证明,.,证明,（,1,）当,n=2,时，左边,=,不等式成立,.,（,2,）假设当,n=k(k2,kN*),时不等式成立，即,成立,则当,n=k+1,时,所以当,n=k+1,时不等式也成立,.,由（,1,）（,2,）可知原不等式对一切,n2,，,nN,*,都成立,.,学后反思,在用数学归纳法证明不等式时，往往需综合运用不等式证明的其他方法，如比较法、放缩法、配方法、分析法、基本不等式等,.,举一反三,3.,求证：,(,nN,*).,证明：,（,1,）当,n=1,时，,左边,=,n=1,时不等式成立,.,（,2,）假设,n=,k(kN,*),时原不等式成立,即 则当,n=k+1,时,左边,=,左边,1,n=k+1,时原不等式成立,.,综上可得,原不等式对于一切,nN,*,都成立,.,题型四 用数学归纳法证明有关数列问题,【,例,4】(14,分,),在数列,an,中，,当,nN,*,时满足,且设,.,求证：各项均为,3,的倍数,.,分析,由于要证的是与正整数,n,有关的命题，可用数学归纳法证明,.,这里要注意 是由递推关系给出的,.,证明,（,1,）,.2,当,n=1,时，能被,3,整除,6,（,2,）假设,n=,k(kN,*),时命题成立，即,bk,=a4k,是,3,的倍数,.,则当,n=k+1,时,.10,由归纳假设，是,3,的倍数，故可知 是,3,的倍数,.,当,n=k+1,时命题成立,.12,综合（,1,）（,2,）知，对任意,nN,*,，数列 各项都是,3,的倍数,.14,学后反思,在证,n=k+1,时，对 应用递推关系式裂项，裂项后需产生 项，这样便于应用归纳假设；除此之外就是凑成,3,的倍数,.,举一反三,4.,是等比数列,公比为,q.,求证：对于一切,nN,*,都成立,.,证明：,（,1,）当,n=1,时，,等式成立,.,（,2,）假设当,n=kkN,*,）时，等式成立，即,.,则当,n=k+1,时，,即当,n=k+1,时等式也成立,.,由,(1)(2),可得，等式对一切,nN,*,都成立,.,易错警示,【,例,】,已知,(,nN,*).,用数学归纳法证明 时，,=,.,错解,错解分析,中共有,n,项相加,中应有 项相加，中应有 项相加,中应有 项,.,正解,考点演练,10.,用数学归纳法证明等式,:(,nN,*),则从,n=k,到,n=k+1,时,求左边应添加的项,.,解析,:,n=k,时,等式左边,=;,n=k+1,时,等式左边,=,比较上述两个式子,n=k+1,时,等式左边是在假设,n=k,时等式成立的基础上,等式的左边加上了,11.,用数学归纳法证明,:(,nN,*),能被,9,整除,.,证明,:,(1),当,n=1,时,36,能被,9,整除,命题成立,.,(2),假设当,n=k,时,命题成立,即 能被,9,整除,;,当,n=k+1,时,由归纳假设,上式中的两部分都能被,9,整除,故当,n=k+1,时命题也成立,.,由,(1),、,(2),可知,对任何,nN,*,命题都成立,.,12.,用数学归纳法证明,:,当,n,是不小于,5,的自然数时,总有 成立,.,证明,:,(1),当,n=5,时,结论成立,.,(2),假设当,n=,k(kN,*,k5),时,结论成立,即,.,那么当,n=k+1,时,左边,=,=,右边,也就是说,当,n=k+1,时,结论也成立,.,由,(1)(2),可知,不等式 对,nN,*,n5,恒成立,.,