高考数学第一轮总复习经典实用 3-4数列的求和学案课件.ppt

基础知识,1,等差数列前,n,项和,S,n,na,1,d,，推导方法：,；等比数列前,n,项和,S,n,推导方法：,倒序相加法,乘公比，错位相减,2,常见数列的前,n,项和：,1,2,3,n,2,4,6,2,n,；,1,3,5,(2,n,1),；,1,2,2,2,3,2,n,2,1,3,2,3,3,3,n,3,无穷等比,(|,q,|,1),数列各项和,S,.,n,2,n,n,2,3,数列求和的常见方法有：,(1),分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列,(2),拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和,(3),错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和,(4),倒序相加：例如：等差数列前,n,项和公式的推导方法,4,常见的拆项公式有：,(7),n,n,！,n,！；,(8),a,n,S,n,S,n,1,(,n,2),(,n,1),！,易错知识,一、利用公式求和不注意项数易出错,1,S,1,2,2,2,2,3,2,n,_,答案：,2,n,1,1,二、不注意分类易出错,2,S,a,2,a,2,3,a,3,na,n,(,a,R,),_.,答案：,A,答案：,B,3,(,教材改编题,),数列,9,99,999,，,的前,n,项和为,(,),解析：,9,10,1,99,10,2,1,999,10,3,1,，,，,所求数列的和为,S,n,(10,1),(10,2,1),(10,3,1),(10,n,1),(10,10,2,10,3,10,n,),n,答案：,D,4,(2011,原创题,),已知数列,a,n,的前,n,项和,S,n,n,2,.,则,【,例,1,】,已知,a,n,是等比数列，,a,1,2,，,a,4,54,；,b,n,是等差数列，,b,1,2,，,b,1,b,2,b,3,b,4,a,1,a,2,a,3,.,(1),求数列,a,n,的通项公式及前,n,项和,S,n,的公式；,(2),求数列,b,n,的通项公式；,(3),设,U,n,b,1,b,4,b,7,b,3,n,2,，其中,n,1,2,，求,U,10,的值,解析,(1),设数列,a,n,的公比为,q,，,由,a,4,a,1,q,3,得,q,3,27,，,q,3,，,所以数列,a,n,的通项公式为,a,n,23,n,1,，,数列,a,n,的前,n,项和公式,S,n,3,n,1,，,(2),设数列,b,n,的公差为,d,，,b,1,b,2,b,3,b,4,4,b,1,d,8,6,d,.,由,b,1,b,2,b,3,b,4,a,1,a,2,a,3,2,2,3,2,3,2,26.,得,8,6,d,26,，,d,3,，,所以,b,n,b,1,(,n,1),d,3,n,1.,(3),b,1,，,b,4,，,b,7,，,，,b,3,n,2,组成以,3,d,为公差的等差数列，所以,U,10,10,b,1,3,d,425.,(2009,四川,),求数列,1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,，,的前,n,项和,分析：,依其结构特征知，只须求出和式中的最后一个奇数，便知其和为前,n,个奇数之和，又由于数列中各项的奇数的个数与项数一致，从而知各项的奇数个数构成的数列,1,2,3,，,，,n,，可以由此入手解答,解析：,解法一：由于该数列的前,n,项共有,1,2,3,n,个奇数，,最末一个数字应为,2,1,n,2,n,1,，,S,n,解法二：依该数列的排列特征可知，第,n,项,a,n,中的第一个奇数是第,1,2,3,(,n1),1,1,个,奇数，这个奇数是,1,n,2,n,1,，从而推知第,n,项,a,n,中的第,n,个,(,末位,),数字是,n,2,n,1,2(,n,1),n,2,n,1,，,故,S,n,a,1,a,2,a,3,a,n,1,3,2,3,3,3,n,3,总结评述：,根据所给的结构特征，寻找项数之间的规律，是实现问题转化的主要途径而转化求和又是研究和探求数列求和问题的重要手段,.,【,例,2】,(2009,北京朝阳,4,月,),已知数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，点,(,n,，,在直线,y,上数列,b,n,满足,b,n,2,2,b,n,1,b,n,0(,n,N,*,),，且,b,3,11,，前,9,项和为,153.,(1),求数列,a,n,、,b,n,的通项公式；,(2),设,c,n,数列,c,n,的前,n,项和为,T,n,，求使不等式,T,n,对一切,n,N,*,都成立的最大正整数,k,的值；,注意到,n,1,时，,a,1,S,1,6,，,而当,n,1,时，,n,5,6,，,所以,a,n,n,5(,n,N,*,),又,b,n,2,2,b,n,1,b,n,0,，即,b,n,2,b,n,1,b,n,1,b,n,(,n,N,*,),，,所以,b,n,为等差数列，于是,153.,而,b,3,11,，故,b,7,23,，,d,3,，,因此,b,n,b,3,3(,n,3),3,n,2即,b,n,3,n,2(,n,N,*,),因此,T,n,单调递增，故,(,T,n,),min,令 得,k,19,，所以,k,max,18.,在数列,a,n,中，又,b,n,求数列,b,n,的前,n,项的和,数列,b,n,的前,n,项的和,总结评述：,对于裂项后有明显相消项的一类数列，在求和时常采用,“,裂项求和法,”,，分式的求和多利用此法，可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去了哪些项，保留哪些项,.,错位相减法就是推导等比数列前,n,项和公式的方法一般地，若,a,n,是等差数列，,b,n,是等比数列，则求,a,n,b,n,的前,n,项和一般采用此法此法有特定的操作程序，要注意熟练掌握基本技能,【,例,3】,(2007,山东，,17),设数列,a,n,满足,a,1,3,a,2,3,2,a,3,3,n,1,a,n,，,n,N,*,.,1),求数列,a,n,的通项公式；,(2),设,b,n,，求数列,b,n,的前,n,项和,S,n,.,解析,(1),a,1,3,a,2,3,2,a,3,3,n,1,a,n,，,当,n,2,时，,a,1,3,a,2,3,2,a,3,3,n,2,a,n,1,，得,3,n,1,a,n,，,a,n,在,中，令,n,1,，得,a,1,.,a,n,(2),b,n,，,b,n,n,3,n,.,S,n,3,2,3,2,3,3,3,n,3,n,.,3,S,n,3,2,2,3,3,3,3,4,n,3,n,1,.,，得,2,S,n,n,3,n,1,(3,3,2,3,3,3,n,),，,即,2,S,n,n,3,n,1,设,a,n,是等差数列，,b,n,是各项都为正数的等比数列，且,a,1,b,1,1,，,a,3,b,5,21,，,a,5,b,3,13.,(1),求,a,n,，,b,n,的通项公式；,(2),求数列 的前,n,项和,S,n,.,解析：,(1),设,a,n,的公差为,d,，,b,n,的公比为,q,，则依题,意有,q,0,且,解得,d,2,，,q,2.,所以，,a,n,1,(,n,1),d,2,n,1,，,b,n,q,n1,2,n,1,.,【,例,4】,已知数列,a,n,的前,n,项和,S,n,(,n,1)2,n,1,，是否存在等差数列,b,n,，使,a,n,对一切自然数,n,均成立？,解析,由公式,a,n,依条件先求出,a,n,的通项，再由倒序相加法得出结论,当,n,1,时，,a,1,S,1,1,；,当,n,2,时，,a,n,S,n,S,n,1,(,n,1)2,n,1,(,n,2)2,n,1,1,2,n,1,(2,n,2,n,2),n,2,n,1,.,因,a,1,1,满足,n,2,时,a,n,的式子，,a,n,n,2,n,1,(,n,N,*,),假设存在等差数列,b,n,满足条件，设,b,0,0,，且,bn,(,n,N,*,),仍成等差数列，则,令,b,n,n,，显然,n,0,时，,b,0,0,，故存在等差数列,b,n,满足已知等式,设,f,(,x,),利用课本中推导等差数列前,n,项和公式的方法，可求得,f,(,12),f,(,11),f,(,10),f,(0),f,(11),f,(12),f,(13),的值为,(,),令,S,26,f,(,12),f,(,11),f,(,10),f,(0),f,(11),f,(12),f,(13),又,S,26,f,(13),f,(12),f,(11),f,(,11),f,(,12),则,2,S,26,f,(,12),f,(13),f,(,11),f,(12),f,(13),f,(,12),故选,D.,答案：,D,1,在直接用公式求和时，要注意公式的应用范围和公式推导过程中蕴含的数学思想,2,注意观察数列的特点和规律，将一般数列求和转化为基本数列求和,3,方程思想、函数思想、化归思想、整体思想、分类讨论等数学思想在本节内容中得到了广泛的应用，尤其是运用化归的思想将问题转化为等差、等比数列问题来研究，是解答数列综合问题的最基本的思路,请同学们认真完成课后强化作业,