高考数学 基本初等函数 专题复习课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三单元 基础初等函数,第一节 一次函数、二次函数,基础梳理,1.,一次函数的性质与图象,(1),函数 叫做一次函数,.,它的定义域为,R,值域为,R.,(2),一次函数具有如下一些主要性质,:,函数值的改变量 与自变量的改变量 的比值等于常数,k;,当,k0,时,一次函数是,;,当,k0,时,抛物线开口向上,函数在 处取,;,在区间 上是减函数,在 上是增函数,;,当,a0,时,与,x,轴两交点的横坐标 分别是方程,a,的,的两根,;,当,=0,时,与,x,轴切于一点,;,当,0),在,m,n,上的最值问题,.,(1)hm,n,时,=k,=,maxf(m),f(n,),；,(2)h,m,n,时,当,hn,时,f(x,),在,m,n,上单调递减,=,=.,递增,f(m,),f(m,),f(n,),f(n,),典例分析,题型一 一次函数性质的应用,【,例,1】,一次函数,y=(m+2)x+2m-1,是增函数,且它的图象与,y,轴的交点在,x,轴的下方,求实数,m,的取值范围,.,分析,当,k0,时，,y=kx+b(k0),为增函数,其图象与,y,轴的交点为,(0,b).,解,y=(m+2)x+2m-1,是增函数,m+20.,又函数,y=(m+2)x+2m-1,的图象与,y,轴的交点在,x,轴下方,2m-10.,由、解得,-2m0,时,函数图象是上升的,;k0,时,交于,x,轴上方,;b=0,时,交于原点,;b0,时,交于,x,轴下方,.b,又叫做直线,y=,kx+b,在,y,轴上的截距,.,举一反三,1.,已知函数,y=(2m-1)x+1-3m,m,为何值时：,(1),这个函数为一次函数,?,(2),函数值,y,随,x,的增大而减小,?,(3),这个函数图象与直线,y=x+1,的交点在,x,轴上,?,解析,:,(1),当,m,时,这个函数为一次函数,.,(2),根据一次函数的性质,可知当,2m-10,即,m,时,y,随,x,的增大而减小,.,(3),直线,y=x+1,与,x,轴交于点,1,0),将其代入,y=(2m-1)x+1-3m,中,得,1-2m+1-3m=0,m=.,题型二 二次函数图像和性质的应用,【,例,2】,已知二次函数,f(x,),满足,f(2)=-1,f(-1)=-1,且,f(x,),的最大值是,8,试确定此二次函数,.,分析,由题目条件知二次函数过,(2,-1),(-1,-1),两点,且知其最大值,所以可应用一般式、顶点式或两根式解题,.,解,方法一,:,利用二次函数一般式,.,设,f(x,)=a +bx+c(a0).,由题意得,解得,所求二次函数为,y=-4 +4x+7.,方法二,:,利用二次函数的顶点式,.,设,f(x,)=a +n(a0).,f(2)=f(-1),抛物线对称轴为,x=,，,m=.,又根据题意函数有最大值,y=8,y=,f(x,)=a +8.,f(2)=-1,a +8=-1,，解得,a=-4.,f(x,)=-4 +8=-4 +4x+7.,方法三,:,利用二次函数的两根式,.,由已知,f(x)+1=0,的两根为,=2,=-1,故可设,f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a0),即,f(x,)=a -ax-2a-1.,又函数有最大值,=8,即,=8,解得,a=-4,或,a=0(,舍去,).,所求函数解析式为,f(x,)=-4 +4x+7.,学后反思,求二次函数的解析式的关键是求待定系数,由题目给出的条件,合理地选择二次函数解析式的表达形式,最简地求出解析式是关键,.,举一反三,2.,以,x,为自变量的二次函数,y=-+(2m+2)x-(+4m-3),，,m,为不小于,0,的整数，它的图象与,x,轴交于点,A,和点,B,，点,A,在原点左边，点,B,在原点右边,.,（,1,）求这个二次函数的解析式；,（,2,）画出这个二次函数的图象（草图）；,（,3,）根据图象回答：,x,取什么值时，函数值大于,0,；,x,取什么值时，函数值小于,0.,解析：,（,1,）由题意二次函数的图象与,x,轴交于,A,、,B,两点（,A,、,B,两点不重合），可知：方程,-+(2m+2)x-(+4m-3)=0,有两个不相等的实数根,.,所以,=,0,，解得,m,2.,而,m,为不小于,0,的整数，,即,0m,2,且,m,为整数，故,m=0,或,m=1.,由于,A,、,B,两点在原点的两侧，故两根应异号，而当,m=1,时，方程,-+4x-2=0,的两根同号，不合题意,.,当,m=0,时，方程,-+2x+3=0,两根异号,.,所以二次函数的解析式为,y=-+2x+3.,（,2,）变形：,y=-+2x+3=-+4.,当,y=0,时，,=3,=-1.,图象过点（,3,，,0,），（,-1,，,0,）和（,1,，,4,），如图,.,（,3,）由图象可以看出：,当,-1,x,3,时，函数值,y,大于,0,；,当,x,-1,或,x,3,时函数值,y,小于,0.,题型三 二次函数在特定区间上的最值问题,【,例,3】,已知函数,f(x,)=-+2ax+1-a,在,0 x1,时有最大值,2,求,a,的值,.,分析,作出函数图象,因对称轴,x=a,位置不定,故分类讨论对称轴位置以确定,f(x,),在,0,1,上的单调情况,.,解,当对称轴,x=a0,时,如图,1,所示,.,当,x=0,时,y,有最大值,=f(0)=1-a.,1-a=2,即,a=-1,，且满足,a1,如图,3,所示,.,由图可知，当,x=1,时,y,有最大值,=f(1)=2a-a=2,a=2,且满足,a1,a=2.,综上可知，,a,的值为,-1,或,2.,学后反思,二次函数,y=a +,bx+c(a,0),在区间,m,n,上求最值的方法,:,先判断 是否在区间,m,n,内,.,(1),若 ,m,n,则最小值为,f()=,最大值为,f(m,),、,f(n,),中较大者,(,m,n,),中与 距离较远的一个为最大值,);,(2),若,m,n,当,n,时,f(x,),在,m,n,上是单调递减函数,则最小值为,f(n,),最大值为,f(m,).,举一反三,3.,是否存在实数,a,，使函数,f(x,)=-+2ax+1-a,在,0 x1,时有最小值,2.,若存在，请求出,a,的值；若不存在，请说明理由,.,解析：,由题意知函数的对称轴为,x=a.,当,a0,时,=f(1)=a=2,不合题意,;,当,0a1,时,若,0a ,则,=f(1)=a=2,不合题意,;,若,1,时,=f(0)=1-a=2,a=-1,不合题意,.,综上所述,不存在实数,a,使,f(x,),在,0 x1,时有最小值,2.,题型四 二次方程根的分布问题,【,例,4】,（,12,分）已知函数,f(x,)=m +(m-3)x+1,的图象与,x,轴的交点至少有一个在原点右侧,求实数,m,的取值范围,.,分析,本题涉及二次方程根的分布问题,很容易联想到根与系数的关系，可根据韦达定理去解决,.,解,(1),当,m=0,时,f(x)=-3x+1,直线与,x,轴的交点为,在原点右侧,符合题意,.2,(2),当,m0,时,因为,f(0)=1,所以抛物线过点,(0,1).3,若,m0,f(x),的开口向上,如图,2,所示,.,图,1,图,2,要使交点在原点右侧,当且仅当,8,解得,m1,或,m9,0m3,即,0m1.10,综上所述,所求,m,的取值范围是,(-,1.12,学后反思,(1),对于“二次”型函数,若,x2,的系数不确定,要分系数等于零与不等于零两种情况讨论,.,(2),对于二次方程根的分布,一般借助二次函数的图象比较容易解决,.,举一反三,4.,方程,2-3x=k,在,x-1,1,的范围内有实根,求实数,k,的取值范围,.,解析：,设,f(x)=2-3x-k,对称轴为,x=.,(1)方程,f(x)=0,在,-1x1,的范围内有两实根时,有,即,解得 ,k-1.,(2),方程,f(x)=0,在,-1x1,的范围内有且仅有一个解时,有,即,解得,-1,k5.,综上所述,k,的取值范围是,易错警示,【,例,】,求函数,y=-2ax-1,在,0,2,上的值域,.,错解,当,x=0,时,=-1;,当,x=2,时,=4-4a-1=3-4a.,错解分析,因为函数,y=-2ax-1,的对称轴为,x=a,而,a,的值不确定,对称轴是变化的,需讨论,a,的大小与,0,2,的关系,结合二次函数的单调性来解决问题,.,正解,当,a0,时,=f(0)=-1,=f(2)=4-4a-1=3-4a,此时,函数值域为,-1,3-4a;,当,0a1,时,=f(a)=-1,=f(2)=3-4a,此时,函数值域为,-1,3-4a;,当,12,时,=f(2)=3-4a,=f(0)=-1,此时,函数值域为,3-4a,-1.,考点演练,设,若,f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于,x,的方程,f(x)=x,的解的个数是,.,解析,:,由已知得,b=4,c=2,则,如图,可知,f(x)=x,的解的个数为,3.,答案：,3,11.,设函数,f(x)=-2x+2,x,t,t+1,，,f(x),在此区间上有最小值为,g(t),求,g(t),的解析式,.,解析：,f(x)=-2x+2=+1.,当,t+11,，即,t,0,时，,f(x),在,t,t+1,上为减函数,g(t)=f(t+1)=+1,；,当,0t,1,时，,g(t)=f(1)=1,；,当,t1,时，,f(x),在,t,t+1,上为增函数,g(t)=f(t)=-2t+2.,综上所述，,12.,（创新题）已知二次函数,f(x),的二次项系数为,a,且不等式,f(x),-2x,的解集为（,1,3,）,.,（,1,）若方程,f(x)+6a=0,有两个相等的根，求,f(x),的解析式；,（,2,）若,f(x),的最大值为正数，求实数,a,的取值范围,.,解析：,（,1,）,f(x)+2x,0,的解集为（,1,3,），,f(x)+2x=a(x1)(x-3),，且,a,0,，即,f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=a -(2+4a)x+3a.,由,f(x)+6a=0,，得,a -(2+4a)+9a=0.,方程有两个相等的根，,=-4a9a=0,，,即,5-4a-1=0,，解得,a=1,或,a=-.,由于,a,0,，舍去,a=1,，将,a=-,代入，得,f(x)=.,（,2,）,f(x)=a-2(1+2a)x+3a,=,由,a,0,，可得,f(x),的最大值为 ,0,由,，解得,a,或 ,a,0.,故当,f(x),的最大值为正数时，实数,a,的取值范围是（,-,，）,(,，,0).,第二节 指数与指数函数,基础梳理,1.,整数指数,(1),整数指数幂概念,:=,aa,a(n,个,a,）,(,nN,*);=(a0);(a0,nN*).,(2),整数指数幂的运算性质,:,(,m,nZ,);,(,m,nZ,);,(m,nZ,a0);,(,nZ,).,1,2.,分数指数,一般地,如果,=a,，那么,x,叫做 ，其中,n1,且,nN,*.,当,n,是奇数时,；当,n,是偶数时,(a0);(a0,m,nN*,且,n1);(a0,m,nN*,且,n1).,3.,有理指数幂的运算性质,设,a0,b0,则,(,r,sQ,);,(,r,sQ,);,(,rQ,).,4.,指数函数的定义,形如 的函数叫做指数函数,a,的,n,次方根,a,ya0,且,a1),5.,指数函数的图象与性质,a0,0a0,时,;,当,x0,时,;,当,x1,0y1,0y1,增函数,减函数,(0,1),典例分析,题型一 指数运算性质的应用,【,例,1】,化简或计算,.,(1),(2),(3),已知,a,b,是方程,-6x+4=0,的两根,且,ab0,求 的值,.,分析,有理指数幂的运算应注意“化小数为分数”、“化根式为分数指数幂”的原则,.,解,(1),原式,=,(2),原式,=,(3),由条件知,a+b=6,ab=4,又,ab0,所以,学后反思,(1),当条件给出小数或根式形式时,一般要化小数为分数,化根式为分数指数幂,.,(2),对于计算结果,如果条件用分数指数幂给出,结果一般也用分数指数幂的形式给出,;,如果条件用根式形式给出,结果也往往采用根式形式,.,(3),结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数,.,总之应符合化简结果的要求,.,举一反三,1.,计算,:(1),(2),(3),若,=3,求 的值,.,解析：,(1),原式,=,(2),原式,=,(3),因为,=3,所以,则,所以,所以,题型二 指数函数的图象的应用,【,例,2】,已知函数,y=,(1),作出函数的图象,;,(2),指出该函数的单调递增区间,;,(3),求函数的值域,.,分析,本题要考虑去绝对值符号,把函数解析式写成分段函数的形式,再作出图象,然后根据图象寻求其单调递增区间和值域,.,解,(1),由函数解析式可得,其图象分成两部分,:,一部分是,y=(x-2),的图象,由下列变换可得到,:,另一部分,y=(x0,a1),的定义域为,R,所以,y=,的定义域与,f(x),定义域相同,;,值域则要应用其单调性来求,复合函数则要注意“同增异减”的原则,.,解,(1),定义域为,R.,因为,-|x+1|0,所以,所以值域为,1,+).,(2),因为,+10,恒成立,所以定义域为,R.,又因为,y=,而,0 1,所以,-1 0,解得,0y1,所以值域为,(0,1).,(3),令,-3x+40,，解得,-4x1,所以函数,y=,的定义域为,-41.,设,u=(-4x1),易得,u,在,x=-,时取最大值,在,x=-4,或,1,时取最小值,0,即,0u .,所以函数,y=,的值域为,即函数,y=,的值域为,1,.,学后反思,(1),弄清复合函数的复合过程,.,(2),利用“同增异减”结论，准确判断其单调性,.,举一反三,3.,下列函数中值域为正实数集的是,(),A.y=B.y=,C.y=D.y=,解析：,A,中，,y=,的值域为正实数集,而,1-xR,y=,的值域为正实数集,;B,中,当,x=0,时,-1=0;C,中,y,取不到,1;D,中，函数值域为,0,1).,答案：,A,题型四 指数函数性质的综合应用,【,例,4】(12,分,),已知定义在,R,上的奇函数,f(x),有最小正周期,2,且当,x(0,1),时,f(x)=,(1),求,f(x),在,-1,1,上的解析式,;,(2),求证,:f(x),在,(0,1),上是减函数,.,分析,求,f(x),在,-1,1,上的解析式,可以先求,f(x),在,(-1,0),上的解析式,再去关注,x=1,0,时的函数值,;,函数的单调性可利用单调性定义来证明,.,解,(1),当,x(-1,0),时,-x(0,1).,f(x),是奇函数,f(x)=-f(-x)=.2,由,f(0)=-f(0),且,f(1)=f(-2+1)=f(-1)=-f(1),得,f(0)=f(1)=f(-1)=0.4,在区间,-1,1,上,有,.6,(2),证明：当,x(0,1),时,f(x)=.,设,0 1,7,则,9,0 0,即,11,f(x),在,(0,1),上是减函数,.12,学后反思,本题以指数运算、指数函数的性质为基础进行整合,考查了指数函数及其性质的掌握情况,.,第,(1),问求,f(x),的解析式时,易漏掉对,x=-1,0,1,的讨论,.,举一反三,4.,已知,f(x)=(x0),g(x),是定义在,(-,0)(0,+),上的奇函数,且当,x0,时,g(x)=f(x),则,g(x),的解析式为,.,解析：,x0,g(x)=-g(-x)=-f(-x)=-=-.,答案：,易错警示,【,例设,a0,且,a1,如果函数,f(x)=,在,-1,1,上的最大值为,14,求,a,的值,.,错解,当,x=1,时,f(x),有最大值,即,+2a-1=14,+2a-15=0,a=3(a=-5,舍去,).,错解分析,错解中：,(1),忽略了字母参数,a1,与,0a1,时,令,t=,则,y=,t ,易知,y=,在 上单调递增,.,当,t=a,即,=a,时,=14,a=3(a=-5,舍去,).,(2),当,0a0,且,a1),在,1,2,上的最大值比最小值大,则,a=,解析：,当,a1,时,y=,在,1,2,上是增函数,所以,解得,a=;,当,0a1,时,y=,在,1,2,上是减函数,所以,解得,a=.,答案：,或,11.,函数,f(x)=,的定义域为集合,A,关于,x,的不等式,(aR),的解集为,B,求使,AB=A,的实数,a,的取值范围,.,解析：,由 ,0,得,1x2,即,A=x|1x2.,y=,是,R,上的增函数,由,得,2ax0,即,a,时,x2,解得,a .,(2),当,2a-1=0,即,a=,时,xR,满足,AB=A.,(3),当,2a-10,即,a .,AB,1,解得,a,或,a1,a .,综上，,a,的取值范围是,12.,定义域为,R,的函数,f(x,)=,是奇函数,.,(1),求,a,b,的值,;,(2),若对任意的,tR,不等式,f(-2t)+f(2 -k)0,恒成立,求,k,的取值范围,.,解析：,(1),因为,f(x,),是奇函数,所以,f(0)=0,即,=0,，解得,b=1,，从而有,f(x,)=.,又由,f(1)=-f(-1),知,解得,a=2.,所以,a=2,b=1.,(2),方法一,:,由,(1),知,由上式易知,f(x,),在,(-,+),上为减函数,.,又,f(x),是奇函数,从而不等式,f(-2t)+f(2 -k)0,等价于,f(-2t)-2+k,即对一切,tR,有,3-2t-k0,从而判别式,=4+12k0,解得,k1.,因为底数,21,所以,3-2t-k0,，即上式对一切,tR,均成立,从而判别式,=4+12k0,解得,k0,以,10,为底的对数,lgN,e=2.718 28,为底的对数,lnN,2.,对数的运算性质,如果,a0,且,a1,M0,N0,那么,(1);,(2);,(3).,3.,换底公式及常见结论,(1),换底公式,:,(2),常见结论,(,其中,a,b,c0,且,a,b,c1):,1,-1,4.,对数函数的定义,:,一般地,函数 叫做对数函数,它的定义域为,值域为,.,(0,+),R,5.,对数函数的图象与性质,a0,0a0,时,;,当,x0,时,;,当,x0,y0,y0,增函数,减函数,x,轴,6.,反函数,指数函数,y=(a0,a1),与对数函数,y=(a0,a1,x0),它们的图象关于直线 对称,.,互为反函数,y=x,典例分析,题型一 对数的运算,【,例,1】,求下列各式的值,.,(1),(2),已知,lgx+lgy=2lg(x-2y),求 的值,.,分析,关于对数运算的题目,往往需要利用对数的运算性质、对数恒等式、换底公式等进行变形和求解,.,解,(1),原式,=,=,=,(2),由题意可得,x0,y0,且,x2y.,又,lgx+lgy=2lg(x-2y),xy=,即,-5xy+4=0,解得,x=4y(,或,x=y,舍去,).,=4,=4.,学后反思,(1),熟练掌握对数的运算性质、换底公式、对数恒等式是进行化简、求值的关键,应用时务必要创造出适合公式或性质应用的条件,.,2),解,(2),时要注意隐含在题目中的条件,:x2y0,否则将导致 的值出错,.,举一反三,1.,计算,求值,.,(1);,(2),已知 其中,a0,a1,求 的值,.,解析,:,(1),原式,=,=,(2),根据对数的运算法则,原等式可化成,整理得,配方得,xy=3,x=2y,题型二 对数概念及运算性质的综合应用,【,例,2】,若,a,b,c,是均不为零的实数,且,.,求证,:.,分析,本题应利用对数与指数式的互化,将问题转化为对数的运算,.,证明,设,=k(k0,且,k1),学后反思,本题主要考查了两点,:,(1),应用对数概念进行指数式与对数式的互化,;.,(2),换底公式的应用,:a0,a1,N0,N1).,举一反三,2.,设,x,y,zR+,且,(1),比较,3x,4y,6z,的大小,;,(2),求证,:.,解析：,(1),令,=k,则,k1,k1,同理,4y-6z0.3x4y0,则,mn;,（,2,）对于,m0,n0,若,1,则,mn.,解,方法一,:0 x1,11+x2,01-x1.,当,0a0,1,时,0,综上可知,.,方法二,01-1,0(1+x)(1-x)1,01-x ,log,（,1+x,）,(1-x)1.,又,0,学后反思,(1),作差法要注意讨论,a,1,与,0,a,1,两种情况，依据 对数函数单调性，合理去掉绝对值符号，然后判断函数值与,0,的关系2),作商法要注意比较的两式均同号，作商与,1,比较，本题是含有两绝对值的式子，先运用对数换底公式化简，然后去掉绝对值符号，根据对数函数的性质比较与,1,的关系,.,举一反三,4.,已知,0 xya1,则有,(),A.0 B.0 1,C.12,解析：,0a1,y=,在,(0,+),上是减函数,又,0 xa,=1,又,0y2.,答案：,D,题型四 对数函数性质的综合运用,【,例,5】(12,分,),已知,f(x)=(a0,且,a1).,(1),求,f(x),的定义域,;,(2),讨论函数,f(x),的单调性,.,分析,利用函数的性质,结合指数、对数函数知识进行求解,.,解,(1),由,-10,得,1,当,a1,时,x0;,当,0a1,时,x1,时,f(x),的定义域为,(0,+);,当,0a1,时,设,0 ,则,1 ,5,0 -11,时,f(x),在,(0,+),上是增函数,.10,类似地,当,0a1”,还是“,1,若仅有一个常数,c,使得对任意,xa,2a,都有,ya,满足方程,这时,a,的取值集合为,.,解析：,即,y=.,把 看成常数,则函数,y=,在,a,2a,上单调递减,当,x=a,时,y=;,当,x=2a,时,y=a.,即,a=2.,答案：,2,11.,（,2009,重庆模拟）设集合,A=x|,，,B=,，求,AB.,解析：,由 ，得,0,4,解得,2,x,5,Ax|2,x,5.,由 ，得,.,当,0,a,1,时，,x-39-2x,x4,，即,B=x|x4,此时,AB=x|4x,5,；当,a,1,时，,x-39-2x,，,x4,，即,B=x|x4,，此时,AB=x|2,x4.,综上，当,0,a,1,时，,AB=x|4x,5;,当,a,1,时，,AB=x|2,x4.,12.,已知函数,f(x,)=-,x+k,，且满,(a1).,（,1,）求 的最小值及对应的,x,值；,（,2,）,x,为何值时,f(1),且 ,f(1),？,解析：,由 ,=0,a1,a=2.,又,=2 =2,k=2,，,f(x)=-x+2.,（,1,）,=,当 ，即,x=,时，取最小值2,）,f(1)=2,x,2,或,0,x,1,；,-1,x,2.,由、知,0,x,1.,第四节 幂函数,基础梳理,1.,幂函数概念,:,形如 的函数称为幂函数,其中,x,是,为,.,自变量,常数,2.,幂函数的图象,(,以,y=x,y=,y=,y=,y=,为例,).,3.,幂函数的图象和性质,(1),所有的幂函数在 都有定义,并且图象都过点,(2)0,时,幂函数的图象通过原点,并且在区间,0,+),上是,.,(3)g(x)?f(x)=g(x)?f(x)1,或,x,g(x,);,当,x=1,或,x=-1,时,f(x,)=,g(x,);,当,-1x1,且,x0,时,f(x,)1,即,1,即,|x|1,x1,或,x,g(x,);,令,得,=1,即,x=1,时,f(x,)=,g(x,);,令,得,1,|x|1,即,-1x1,且,x0,时,f(x,),g(x,).,学后反思,(1),求幂函数解析式的一般步骤,:,设出幂函数的一般形式,y=(,为常数,);,根据已知条件求出,的值,;,写出幂函数的解析式,.,(2),本题的第,(2),问方法一采用了数形结合的思想,借助图象求出不等式和方程的解,.,方法二用分类讨论的思想,解不等式求,x,的取值范围,但必须要注意,g(x),的定义域为,x|x0,故,f(x)g(x),的解集为,x|-1x1,0 1,0,因此,(3),由于指数函数,y=,在,R,上是减函数,所以,又由于幂函数,y=,在,(0,+),上是增函数,所以,故有,学后反思,比较幂值的大小,常用以下几种类型,:,(1),同底不同指,可以利用指数函数单调性进行比较,;,(2),同指不同底,可以利用幂函数单调性进行比较,;,(3),既不同底又不同指,常常找到一个中间值,通过比较两个幂值与中间值的大小来确定两幂值的大小,.,举一反三,3.,当,0ab1,时,下列不等式正确的是,(),A.B.,C.D.,解析：,由,0ab1,可知,ab,0a1,01-b1-a1,答案：,D,题型四 幂函数的综合应用,【,例,4】(12,分,),已知对任意的 ,(0,+),且,幂函数,f(x)=pZ),满足,并且对任意的,xR,f(x)-f(-x)=0.,(1),求,p,的值,并写出相应的函数,f(x),的解析式,;,(2),对于,(1),中求得的函数,f(x),设函数,g(x)=-qf(x)+(2q-1)+1,问是否存在实数,q(q0,解得,-1p3.2,又,pZ,则,p=0,或,1,或,2.,当,p=0,或,2,时,f(x)=,不是偶函数,;,当,p=1,时,f(x)=,是偶函数,p=1,此时,f(x)=.4,(2)g(x)=-q +(2q-1)+1.,令,t=,设,G(t)=g()=-q +(2q-1)t+1(t0).6,t=,在,(-,0),上是减函数,当,x(-,-4,时t16,+);,当,x(-4,0),时,t(0,16).8,当,G(t),在,16,+),上是增函数,在,(0,16),上是减函数时,g(x),在,(-,-4,上是减函数,在,(-4,0),上是增函数,此时二次函数,G(t),的对称轴方程为,t=16,10,即,t=q=.,存在符合题意的实数,q,q=.12,学后反思,幂函数的图象与性质是本题考查之一,.,对于存在性问题,一般先假设存在,再利用若存在则具备什么关系来建立求变量的方程,若求出则说明假设成立,;,若求不出则假设不成立,即不存在,具有开放性结论的命题是近年来高考命题的热点之一,.,举一反三,4.,已知幂函数,y=(mN*),的图象关于,y,轴对称,且在,(0,+),上是减函数,求满足 的实数,a,的取值范围,.,解析：,函数在,(0,+),上单调递减,0,解得,-1m3.m ,m=1,2.,又函数图象关于,y,轴对称,是偶数,.,而 为奇数,-21-3=-4,为偶数,m=1.,y=,在,(-,0),和,(0,+),上均为减函数,且当,x0,等价于,a+13-2a0,或,3-2aa+10,或,a+103-2a,解得,a-1,或,a .,故实数,a,的取值范围为,考点演练,10.,给定一组函数解析式,:y=;y=;y=;y=y=;y=;y=,如图所示为一组函数图象,请把图象对应的解析式的号码填在相应图象下面的横线上,解析：,所给函数都是幂函数,都符合,y=.A,、,C,、,E,三个图象在第一象限是减函数,则,0;,而,A,图象为奇函数,C,图象为偶函数,E,图象在,(-,0),上无意义,故,A,为,y=,C,为,y=,E,为,y=,分别填,.,由,B,、,D,、,F,三个图象知,01,故为,y=,填,.,答案：,11.,若,f(x)=(nZ),的图象在,0,+),上单调递增,解不等式,.,解析,:,由已知得,0,解得,-1nx+3,解得,x3,或,x3,或,-3x3,或,x3,或,-3x-1.,12.,若点 在幂函数,f(x),的图象上，点 在幂函数,g(x),的图象上，定义,试求函数,h(x),的最大值以及单调区间,.,解析：,设,f(x)=,，因为点 在幂函数,f(x),的图象上，所以 ，,a=2,，即,f(x)=.,又设,g(x)=,点 在幂函数,g(x),的图象上，所以 ,b=-2,，即,g(x)=.,在同一坐标系下画出,f(x)=,和,g(x)=,的图象，如下图，则有：,根据函数的图象可知函数,h(x),的最大值是,1,，单调递增区间是,(-,，,-1),，（,0,，,1,），单调递减区间是（,-1,，,0,），（,1,，,+,）,.,第五节 函数与方程,基础热身,1.,函数零点的定义,:,对于函数,y=,f(x)(xD,),我们把使,j,叫做函数,y=,f(x)(xD,),的零点,.,即,函数,y=,f(x,),的零点就是,亦即,f(x,)=0,成立的,实数,x,方程,f(x,)=0,的实数根,函数,y=,f(x,),的,图象与,x,轴交点的横坐标,2.,方程,f(x,)=0,有实数根函数,y=,f(x,),的图象 有交点函数,y=,f(x,).,与,x,轴,有零点,3.,函数零点的求法,:,代数法,:,求方程,f(x,)=0,的实数根,;,几何法,:,对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数,y=,f(x,),的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点,.,4.,函数零点的判断,一般地,如果函数,y=f(x),在区间,a,b,上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数,y=f(x),在区间,(a,b),内有零点,即存在,c(a,b),使得,这个,c,也就是,f(x)=0,的根,.,我们把这一结论称为零点存在性定理,.,f(a)f(b)0),的图象与零点的关系,a0),的图象,与,x,轴的交点,零点个数,无交点,两个零点,一个零点,无零点,6.,二分法的定义,:,对于在区间,a,b,上连续不断且,f(a)f(b)0,的函数,y=f(x),通过不断地把函数,f(x),的零点所在的区间,使区间的两个端点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法,.,一分为二,逐步逼近零点,7.,给定精确度,用二分法求函数,f(x),零点近似值的步骤如下,:,(1),确定区间,a,b,验证,f(a)f(b)0,给定精确度,;,(2),求区间,(a,b),的中点,c;,(3),计算,f(c),若,f(c)0,则,c,就是函数的零点,;,若,f(a)f(c)0,则令,b=c(,此时零点 ,(a,c);,若,f(c)f(b)0,则令,a=c(,此时零点 ,(c,b);,(4),判断是否达到精确度,即若,|a-b|,则得到零点近似值,a(,或,b);,否则重复,(2),(4).,=,典例分析,题型一 求函数的零点,【,例,1】,求下列函数的零点,.,(1)f(x)=4x-3;,(2)f(x)=-+2x+3;,(3)f(x)=-3x+2;,(4)f(x)=x-+2.,分析,根据函数零点与方程根之间的关系,求函数的零点,就是求相应方程的实数根,.,解,(1),由,4x-3=0,得,x=,即,f(x,)=4x-3,的零点是,.,(2),由,-+2x+3=0,得,-2x-3=0,解得,=-1,=3,即,f(x,)=-+2x+3,的零点为,-1,3.,(3),由,-3x+2=+2 -2 -4x+x+2=(x+2)-2x(x+2)+(x+2)=(x+2)=0,得,=1,=-2.,所以,f(x,)=-3x+2,有两个零点,1,-2,其中,1,是二重零点,.,(4),由,x-+2=0,=1,=-3,即函数,f(x,)=x-+2,的两个零点分别为,1,-3.,学后反思,求函数的零点就是求相应方程的根,一般可用因式分解或求根公式等方法求出方程的根,即得到函数的零点,.,1.,求下列函数的零点,.,(1)f(x)=-1;(2)f(x)=,解析：,(1),由,-1=0,得,x=1,所以,f(x)=-1,的零点是,1.,(2),由,得,=-1,所以,f(x)=,的零点是,-1,这是一个二重零点,.,题型二 用二分法求方程的近似解,【,例,2】,求函数,f(x)=+2 -3x-6,的一个为正数的零点,(,误差不超过,0.1).,分析,由于要求的是函数的一个正数零点,因此可以考虑确定一个包含正数的闭区间,m,n,且,f(m)f(n)0,如计算出,f(0)=-60,所以可取区间,1,2,作为计算的初始区间,(,当然选取,(0,2),也是可以的,).,解,f(1)=-60,存在,x(1,2),使,f(x)=0.,用二分法逐次计算,列表如下,:,端点或重点坐标,计算端点或中点的函数值,取区间,a=1,b=2,f(1)=-6,f(2)=4,(1,2),f(1.5)=-2.6250,(1.5,1.75),f(1.625)=-1.30270,(1.625,1.75),f(1.6875)=-0.56180,(1.6875,1.75),f(1.71875)=-0.17070,(1.71875,1.734375,|1.734375-1.71875|,0.1,，,所求的正数零点是,1.734375,或,1.71875.,学后反思,用二分法求函数零点的近似值,首先要选好计算的初始区间,这个区间既要包含所求的根,又要使其长度尽量小,;,其次要依据给定的精确度,及时检验所得区间端点的近似值,(,精确到给定的精确度,),是否相等,以决定是停止计算还是继续计算,.,举一反三,2.,判断函数,y=-x-1,在区间,1,1.5,内有无零点,如果有,求出一个近似零点,(,精确到,0.1).,解析：,因为,f(1)=-10,且函数,y=-x-1,的图象是连续的曲线,所以它在区间,1,1.5,内有零点,.,取区间,1,1.5,的中点,=1.25,由,f(1.25)-0.30,得,f(1.25)f(1.5)0,得,f(1.25)f(1.375)0,所以零点在区间,1.25,1.375,内,;,同理可得，函数零点在区间,1.3125,1.375,内,;,函数零点在区间,1.3125,1.34375,内,.,由于,|1.3125-1.34375|,0.1,，,所以函数,y=-x-1,在区间,1,1.5,内的一个近似零点为,1.3125,或,1.34375.,题型三 根的存在性定理的应用,【,例,3】,若方程,a-x-1=0,在,(0,1),内恰有一解,求,a,的取值范围,.,分析,方程在,(0,1),内恰有一解,即函数,f(x,)=a-x-1,在,(0,1),内恰有一个零点,.,解,由题意,设,fx,)=a-x-1,则,f(x,),在,(0,1),内恰有一个零点,所以,f(0)f(1)0,即,-1(a-2)2.,学后反思,(1),对于函数,y=,f(x,),只要有,f(a)f(b,)0,则,y=,f(x,),在区间,(,a,b,),内必有零点,.,(2),本题属于简单的方程根的分布问题,.,举一反三,3.,若关于,x,的方程,3-5x+a=0,的两根一个大于,1,另一个小于,1,则,a,的取值范围是,.,解析：,设,f(x,)=3-5x+a,则,f(1)0,即,-2+a0,a0,对任意,bR,恒成立,8,所以,-4(4a)0,10,即,-a0,所以,0a0).,(1),若,g(x)=m,有零点,求,m,的取值范围,;,(2),试确定,m,的取值范围,使得,g(x)-f(x)=0,有两个相异实根,.,解析：,(1),方法一,:g(x)=,等号成立的条件是,x=e,故,g(x),的值域是,2e,+).,因而只需,m2e,则,g(x)=m,就有零点,.,方法二,:,作出,g(x)=x+(x,0),的图象如图,.,可知若使,g(x)=m,有零点,则只需,m2e.,方法三,:,解方程,g(x)=m,得,-mx+=0(x0).,此方程有大于零的根,故,等价于,故,m2e.,(2),若,g(x)-f(x)=0,有两个相异的实根,即,g(x),与,f(x),的图象有两个不同的交点,.,作