河北省高考数学第一轮总复习知识点检测 9.6空间向量及其运算课件 旧人教版 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,1.,空间向量及有关概念,(1),空间向量,:,在空间,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量,向量的大,小叫做向量的长度或模,.,(2),相等向量,:,在空间,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量,.,(3),共线向量,:,有向线段所在的直线叫做向量的基线，如果空间中一些向量,的基线互相平行或重合，则这些向量叫共线向量或平行向量，,a,平行于,b,记作,a,b,.,2.,空间向量的基本定理,(1),共线向量定理,对于空间任意两个向量,a,b,(,b,0),a,b,的充要条件是存在实数,x,使,a,=,x,b,.,(2),共面向量,:,通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量,.,(3),共面向量定理,:,如果两个向量,a,、,b,不共线,则向量,c,与向量,a,、,b,共面的充,要条件是存在唯一的有序实数对,x,y,使,c,=,x,a,+y,b,.,(4),空间向量基本定理,:,如果三个向量,a,、,b,、,c,不共面,那么对任一向量,p,存在,有序实数组,x,y,z,使,p,=,x,a,+y,b,+z,c,.,我们把,a,b,c,叫做空间的一个基底,a,、,b,、,c,都叫做基向量,.,第六节 空间向量及其运算,基础梳理,3.,向量的线性运算,(1),空间向量求和有三角形法则和平行四边形法则,其中三角形法则可推广到空间中多个向量的求和,这个和向量通常称为“封口向量”,.,(2),实数,与向量,a,的积仍为一个向量,记为,a,且,a,与,a,为共线量,|,a,|=|,|,a,|.,(3),空间向量的加法与数乘运算满足,:,交换律,即,a,+,b,=,b,+,a,;,结合律,即,(,a,+,b,)+,c,=,a,+(,b,+,c,);,分配律,即,(,+),a,=,a,+,a,(,a,+,b,)=,a,+,b,.,4.,两个向量的数量积,(1),已知空间两个向量,a,b,，总可以把它们平移到一个平面内，把平面向量的数量积,a,b,=|,a,|,b,|cos,a,b,叫做两个空间向量,a,b,的数量积,.,(2),两个向量,a,b,的数量积,(,或内积,),a,b,=|,a,|,b,|cos,a,b,.,(3),两个向量数量积的性质,a,e,=|,a,|cos,a,e,(,其中,e,为单位向量,);,a,b,a,b,=0;,|,a,|,2,=,a,a,;,|,a,b,|,a,|,b,|.,(4),两个向量数量积的运算律,(,a,),b,=(,a,b,);,a,b,=,b,a,;(,a,+,b,),c,=,a,c,+,b,c,.,5.,空间直角坐标系,(1),空间直角坐标系的建立,如图，是单位正方体,以,O,为原点,分别以射线,OA,、,OC,、,OO,的方向为正方向,以线段,OA,、,OC,、,OO,的长为单位长,建立三条数轴,:x,轴、,y,轴、,z,轴,这时我们说建立了一个空间直角坐标系,O-,xyz,O,叫做坐标原点,x,轴、,y,轴、,z,轴,叫做坐标轴,通过每两个坐标轴的平面叫做,坐标平面,分别称为,xOy,平面,yOz,平面,zOx,平面,.,(2),空间直角坐标系中点的坐标,点,P,的,x,坐标,:,过,P,作一个平面平行于平面,yOz,这个平面与,x,轴的交点记为,Px,它在,x,轴上的坐标为,x,数,x,叫做点,P,的,横坐标,.,点,P,的,y,坐标,:,过,P,作一个平面平行于平面,xOz,这个平面与,y,轴的交点记为,Py它在,y,轴上的坐标为,y,数,y,叫做点,P,的,纵坐标,.,点,P,的,z,坐标,:,过点,P,作一个平面平行于平面,xOy,这个平面与,z,轴的交点记为,Pz,它在,z,轴上的坐标为,z,数,z,叫做点,P,的,竖坐标,.,空间中任意一点与三个实数的有序数组一一对应,.,(3),空间两点间的距离公式,空间两点间的距离公式是平面上两点间的距离公式的推广,是空间向量模长公式的推广,.,如果知道几何体上任意两点的坐标,可以直接套用公式,.,设 则,6.,空间向量的直角坐标运算,(1),已知 则,(2),若点,(3),空间向量平行和垂直的条件,(4),两个向量夹角及向量长度的坐标计算公式,设 则,;,;,与,a,同向的单位向量,典例分析,题型一 向量的线性运算,【,例,1】,如图所示,在平行六面体 中,设,M,N,P,分别是 的中点,试用,a,b,c,表示以下各向量,:(1);(2);(3).,分析,从要求的向量出发，选取适当的三角形（或平行四边形）,利用向量的加、减及数乘运算的法则和运算律，不断地进行分解，直到全部用已知条件表示出来为止,.,解,(1)P,是 的中点,(2)N,是,BC,的中点,(3)M,是 的中点,又,学后反思,选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它表示指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功,.,要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等就近表示所需向量，再对照目标，就不符合目标的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有的向量都符合目标要求为止，这就是向量的分解,.,有分解才有组合，组合是分解的表现形式,.,空间向量基本定理恰好说明，用空间三个不共面的向量组成的向量组,(,a,b,c,),可以表示出空间的任意一个向量,而且,a,b,c,的系数是唯一的,.,举一反三,1.,在空间四边形,ABCD,中，,=,.,解析,:,如图，设 则,=(,b-a)(-c)+(c-a)b+(-a)(c-b,),=-,bc+ac+cb-ab-ac+ab,=0.,答案,:,0,题型二共线、共面问题,【,例,2】,如图所示,已知四边形,ABCD,是平行四边形,P,点是四边形,ABCD,所在平面外一点,连接,PA,、,PB,、,PC,、,PD.,设点,E,、,F,、,G,、,H,分别为,PAB,、,PBC,、,PCD,、,PDA,的重心,.,(1),试用向量方法证明,E,、,F,、,G,、,H,四点共面,;,(2),试判断平面,EFGH,与平面,ABCD,的位置关系,并用向量方法证明你的判断,.,分析,可以利用共面向量定理或其推论完成第,(1),问的证明,;,从几何直观判断,第,(2),问中的两个平面应该是平行关系,.,解,(1),如图，分别延长,PE,、,PF,、,PG,、,PH,交对边于,M,、,N,、,Q,、,R.,因为,E,、,F,、,G,、,H,分别是所在三角形的重心,所以,M,、,N,、,Q,、,R,为所在边的中点,顺次连接,M,、,N,、,Q,、,R,得到的四边形,MNQR,为平行四边形,且,有,:,因为四边形,MNQR,是平行四边形,所以,由共面向量定理知,E,、,F,、,G,、,H,四点共面,.,(2),由,(1),得,又因为,MQ,平面,ABCD,EG,平面,ABCD,所以,EG,平面,ABCD.,因为,所以,MNEF,又因为,MN,平面,ABCD,EF,平面,ABCD,所以,EF,平面,ABCD.,由于,EG,与,EF,交于,E,点,所以平面,EFGH,与平面,ABCD,平行,.,学后反思,（,1,）空间向量基本定理的应用之一就是证明四点共面,.,（,2,）用共线向量定理证明线线平行，从而证明面面平行，更简捷，使问题简单化,.,（,3,）要学会用向量的知识来解决立体几何问题,.,举一反三,2.,（,2010,济阳模拟）已知非零向量 不共线，如果,则下面结论正确的是,(),A.A,、,B,、,C,、,D,四点共线,B.A,、,B,、,C,、,D,四点共面,C.A,、,B,、,C,、,D,四点不共线,D.A,、,B,、,C,、,D,四点不共面,解析,:,由于向量 都可以用不共线的非零向量 表示，所以向量,都和向量 在同一平面内，故,A,、,B,、,C,、,D,四点共面,.,答案,:,B,【,例,3】,如右图所示,已知空间四边形,ABCD,的每条边和对角线长都等于,1,点,E,F,分别是,AB,AD,的中点,计算,分析,可先将 然后利用向量数量积的定义求出即可,.,解,学后反思,注意由图形写向量夹角时易出错,如 易错写为,.,题型三 空间向量的数量积,3.,如图所示,在四面体,ABCD,中,已知,ABCD,ACBD,求证,:ADBC.,举一反三,解析：,即,a(c-b,)=0,ac=,ab,.,又,ACBD,即,b(c,-a)=0,bc=,ba,=,c(b,-a)=,cb-ca,=,ba-ab,=0,ADBC.,【,例,4】,(12,分,),如图，在四棱锥,P-ABCD,中,底面,ABCD,是直角梯形,BAD=90,ADBC,AB=BC=,a,AD,=2a,PA,底面,ABCD,PDA=30,AEPD.,试建立适当的坐标系并求出各点的坐标,.,题型四 向量的坐标运算,分析,由题意知,AP,AB,AD,两两垂直,故以,A,为坐标原点,AB,、,AD,、,AP,所在直线分别为,x,轴,y,轴,z,轴建立空间直角坐标系,.,解,以点,A,为坐标原点,以,AB,、,AD,、,AP,所在的直线分别为,x,轴、,y,轴、,z,轴建立如图所示的空间直角坐标系,.2,AB=BC=a,点,A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0).,AD=2a,D(0,2a,0).3,PA,底面,ABCD,PAAD.,又,PDA=30,故,面,PAD,面,ABCD,过,E,作,EFAD,于,F,则,F,为,E,在底面,ABCD,内的射影,.7,在,RtAED,中,EDA=30,AE=AD=a.8,在,RtEFA,中,EAF=60,9,故,学后反思,建立空间直角坐标系，必须牢牢抓住相交同一点的两两垂直的三条直线，要在题目中找出或构造出这样的三条直线，因此要充分利用题目中所给的垂直关系，即线线垂直、线面垂直、面面垂直，要使尽可能多的点落在坐标轴上，尽可能多的线段平行坐标轴，有直角的把直角边放在坐标轴上,.,4.,已知向量,a=(1,-3,2),，,b=(-2,1,1),点,A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).,(1),求,|2a+b|;,(2),在直线,AB,上是否存在一点,E,使 ,b(O,为原点,)?,举一反三,解析,：,(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),(2),设,=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2),=(-3+t,-1-t,4-2t),若 ,b,则,b=0,即,-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得,故存在点,E,使 ,b,此时,E,点坐标为,.,10.,已知三点,A,（,1,0,0,）,B(3,1,1),C(2,0,1),，且 则,a,在,b,方向上的射影为,.,解析,:,答案,:,考点演练,11.,已知四面体,A-BCD,中,G,为,BCD,的重心,E,、,F,、,H,分别为边,CD,、,AD,和,BC,的中点,化简下列各表达式,并在图中标出化简结果的向量,.,解析：,(1),由,G,是,BCD,的重心,知,又,E,、,F,分别为,CD,、,AD,的中点,(2),由向量加法的平行四边形法则及几何意义,得,12.,如图,在棱长为,a,的正方体 中,E,、,F,分别是棱,AB,、,BC,上的动点,且,AE=BF=x,其中,0 xa,以,O,为原点建立空间直角坐标系,O-xyz.,(1),求出点,E,、,F,的坐标；,（,2,）求证,:,(3),若,解析：,(1)E(a,x,0),F(a-x,a,0).,(2),(3),