高中数学 第二章 函数 214 函数的奇偶性课件 新人教B版必修1 课件.ppt

高中,数学,栏目导航,高中,数学,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,2.1.4,函数的奇偶性,目标导航,课标要求,1.,理解函数奇偶性的定义以及奇、偶函数的图象性质,.,2.,能利用函数奇偶性的定义判断、证明函数的奇偶性,.,3.,能根据函数奇偶性研究函数的图象与性质,.,素养达成,通过函数奇偶性的学习,培养学生数形结合及逻辑推理能力,数学运算、直观想象的核心素养,.,新知探求,课堂探究,新知探求,素养养成,点击进入 情境导学,知识探究,1.,奇函数的定义,都有,xD,f(-x,)=-,f(x,),偶函数的定义,都有,-,xD,2.如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以,为对称中心的中心对称图形,;,反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是,.,如果一个函数是偶函数,则它的图象是以,为对称轴的轴对称图形,.,反之,如果一个函数的图象关于,y,轴对称,则这个函数是,.,坐标原点,奇函数,y轴,偶函数,【,拓展延伸,】,2.,函数按奇偶性可分为四类,:,(1),奇函数,:,对于定义域,D,内的任意一个,x,且,-,xD,恒有,f(-x,)=-,f(x,),成立,.,(2),偶函数,:,对于定义域,D,内的任意一个,x,且,-,xD,恒有,f(-x,)=,f(x,),成立,.,(3),既奇又偶函数,:,对于定义域,D,内的任意一个,x,且,-,xD,恒有,f(-x,)=-,f(x),f(-x,)=,f(x,),成立,.,(4),非奇非偶函数,:,对于定义域,D,内的任意一个,x,且,-,xD,f(-x,)=-,f(x,),与,f(-x,)=,f(x,),都不成立,.,3.,奇函数、偶函数的和差积商,:,在函数的公共定义域上,偶函数的和、差、积、商,(,分母不为零,),仍为偶函数,奇函数的和差仍为奇函数,奇,(,偶,),数个奇函数的积商,(,分母不为零,),为奇,(,偶,),函数,.,4.,若奇函数在原点处有定义,则由奇函数的定义有,f(-0)=-f(0),即,f(0)=0,利用这一性质可以快速解决与奇函数有关的求值问题,.,5.,奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,而偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反,.,6.,若函数,y=,f(x+a,),是偶函数,则,f(x+a,)=,f(-x+a,),此时函数,y=,f(x,),关于直线,x=a,对称,;,若函数,y=,f(x+a,),是奇函数,则,f(x+a,)=-,f(-x+a,),此时函数,y=,f(x,),关于点,(a,0),对称,.,自我检测,1.函数f(x)=x,4,+2x,2,的图象(),(A)关于原点对称,(,B)关于x轴对称,(,C)关于y轴对称,(,D)关于直线y,=,x对称,C,解析,:,由,fx,)=,f(x,),知函数为偶函数,故图象关于,y,轴对称,.,2.,奇函数,y=,f(x)(x,R,),的图象必定经过点,(,),C,解析:,因为f(x)是奇函数,所以f(-a)=-f(a),所以f(x)经过点(-a,-f(a),选C.,C,4.,(2018,贵州贵阳期末,),已知函数,y=,f(x,),是定义在,R,上的奇函数,且当,x0,时,f(x,)=2x-3,则,f(-2),的值为,.,解析,:,因为,x0,时,f(x,)=2x-3.,所以,f(2)=2,2-3=1.,因为,f(x,),为奇函数,故,f(-2)=-f(2)=-1,答案,:,-1,类型一,判断函数的奇偶性,课堂探究,素养提升,思路点拨:,利用定义判断.先求定义域.在定义域关于原点对称之下,再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立,从而确定奇偶性.,(3)f(-2)=(-2),2,-2,(-2)-1=7,f(2)=2,2,-2,2-1=-1.,所以,f(-2)-f(2),且,f(-2)f(2),所以,f(x),为非奇非偶函数,.,(4),定义域为,(-,0)(0,+).,当,x0,时,-x0,所以,f(-x)=(-x),2,-x=x,2,-x=f(x);,当,x0,所以,f(-x)=(-x),2,-(-x)=x,2,+x=f(x).,所以,f(x),为偶函数,.,方法技巧,(2),若函数定义域关于原点对称且,f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),同时成立,则该函数既是奇函数,又是偶函数,其形式必为,f(x)=0,xD(D,关于原点对称,).,解:,(1)f(x)定义域为,R,.,因为f(-x)=(-x),3,-(-x)=-x,3,+x=-(x,3,-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.,(2)由已知可得,函数f(x)的定义域为(-,1)(1,+),所以定义域不关于原点对称,所以函数为非奇非偶函数.,类型二,奇、偶函数的图象特点,【,例,2】,(2018,广西玉林月考,),已知奇函数,f(x),在,x0,时的图象如图所示,则不等式,xf(x)0,的解集为,(,),A)(1,2)(B)(-2,-1),(C)(-2,-1)(1,2)(D)(-1,1),解析,:,因为函数,f(x),是奇函数,所以图象关于原点对称,如图,补全当,x0,时,f(x)0,此时,1x2;,当,x0,所以此时,-2x-1,所以不等式,xf(x)0,时,f(x)=x,2,-2x+1,求,f(x),在,R,上的解析式,.,解:,因为f(x)是,R,上的奇函数,且x0时,f(x)=x,2,-2x+1,当x0,所以f(-x)=x,2,+2x+1,又f(-x)=-f(x),所以f(x)=-x,2,-2x-1.,又f(x)是定义在,R,上的奇函数,则f(0)=0.,方法技巧,利用函数的奇偶性求解函数的解析式,主要利用函数奇偶性的定义.求解一般分以下三个步骤:(1)设所求函数解析式中所给的区间上任一个x,即求哪个区间上的解析式,就设x在哪个区间上.(2)把所求区间内的变量转化到已知区间内.(3)利用函数奇偶性的定义f(x)=-f(-x)或f(x)=f(-x)求解所求区间内的解析式.,变式训练3,-,1:,已知f(x)是定义在,R,上的偶函数,当x0时,f(x)=x,3,+x+1,求f(x)的解析式.,类型四,奇偶性与单调性的综合应用,方法技巧,(1)解决有关函数的奇偶性、单调性以及求参数取值范围的综合问题时,一般先利用奇偶性得出相应区间上的单调性,再利用单调性脱去函数的符号,“,f,转化为解不等式(组)的问题.需要注意的是:在转化时,自变量的取值必须在同一单调区间上.,(2)对于偶函数可以利用f(x)=f(-x)=f(|x|)的性质,将问题转化为函数在0,+)上的单调性求解.,变式训练,4,-,1:,(2017,全国,卷,),函数,f(x),在,(-,+),单调递减,且为奇函数,.,若,f(1)=-1,则满足,-1f(x-2)1,的,x,的取值范围是,(,),(A)-2,2,(B)-1,1,(C)0,4,(D)1,3,解析,:,因为,f(x),是奇函数,且,f(1)=-1,所以,f(-1)=-f(1)=1.,所以,f(1)f(x-2)f(-1).,又因为,f(x),在,(-,+),上单调递减,所以,-1x-21.,所以,1x3.,故选,D.,类型五,易错辨析,纠错:,错解忽略了定义域的限制条件,奇偶函数的前提是函数的定义域必须关于原点对称,错解没有求函数的定义域.,谢谢观赏！,