高中数学 第二章 等式与不等式 221 不等式及其性质课件 新人教B版必修1 课件.ppt

2.2,不等式,2.2.1,不等式及其性质,1.,不等式与不等关系,不等式的定义所含的两个要点,.,(1),不等符号,，,，,或,.,(2),所表示的关系是不等关系,.,【,思考,】,(1),不等号“，”的读法分别是什么？,提示：,“,”,读作小于或者等于，,“,”,读作大于或者等于,.,(2),不等式“,ab”,的含义是什么？只有当“,ab”,与“,a=b”,同时成立时，该不等式才成立，是吗？,提示：,不等式,ab,应读作：,“,a,小于或等于,b,”,，其含义是指,“,或者,ab,或者,a=b,”,，等价于,“,a,不大于,b,”,，即若,a0,，那么,ab,如果,a-b0,，那么,a0则,a,，,b,的大小关系是怎样的？,提示：,ba.,3.,不等式的性质,性质,1,aba+cb+c,性质,2,ab,，,c0acbc,性质,3,ab,，,c0acb,，,bcac,性质,5,abbcac-b,推论,2,ab,，,cda+cb+d,推论,3,ab0,，,cd0acbd,推论,4,ab0a,n,b,n,(nN,，,n1),推论,5,ab0 ,_,【,思考,】,(1),性质,2,，,3,可以概括为在不等式的两边同乘以一个不为零的数，不改变不等号的方向，对吗？为什么？,提示：,不对,.,要看两边同乘以的数的符号，同乘以正数，不改变不等号的方向，但是同乘以负数时，要改变不等号的方向,.,(2),推论,1,类似于解方程中的什么法则？,提示：,移项法则,.,(3),使用推论,3,，,4,，,5,时，要注意什么条件？,提示：,各个数均为正数,.,5.,证明问题的常用方法,(1),综合法,：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法,.,(2),分析法,：从要证明的,结论出发,，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件,(,已知条件、定理、定义、公理等,),为止,.,(3),反证法,：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立,.,反证法是一种间接证明的方法,.,【,思考,】,(1),综合法与分析法有什么区别？,提示：,综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因,.,(2),反证法的实质是什么？,提示：,反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的,.,【,素养小测,】,1.,思维辨析,(,对的打“”，错的打“,”),(1),不等式,x2,的含义是指,x,不小于,2.(,),(2),两个实数,a,，,b,之间，有且只有,ab,，,a=b,，,ab,，则,ac,2,bc,2,.(,),(4),若,a+cb+d,，则,ab,，,cd.(,),提示：,(1).,不等式,x2,表示,x2,或,x=2,即,x,不小于,2.,(2).,任意两数之间，有且只有,ab,，,a=b,，,abc,2,ab,；反之，,c=0,时，,ab ac,2,bc,2,.,(4),.,取,a=4,，,c=5,，,b=6,，,d=2,，满足,a+cb+d,，但不满足,ab,，故此说法错误,.,2.,设,ba,，,db-dB.acbd,C.a+cb+dD.a+db+c,【,解析,】,选,C.,因为,ba,，,dc,，所以,b+da+c.,3.,已知,x1,，则,x,2,+2,与,3x,的大小关系为,_.,【,解析,】,x,2,+2-3x=(x-2)(x-1),，而,x1,，所以,x-20,，,x-10,，所以,x,223x.,答案：,x,2,+23x,类型一作差法比较大小,【,典例,】,比较下列各式的大小：,(1),当,x1,时，比较,3x,3,与,3x,2,-x+1,的大小,.,(2),当,x,，,y,，,zR,时，比较,5x,2,+y,2,+z,2,与,2xy+4x+2z-2,的大小,.,【,思维,引,】,利用作差法比较，先作差、化简，再判断差的符号,.,【,解析,】,(1)3x,3,-(3x,2,-x+1)=(3x,3,-3x,2,)+(x-1),=3x,2,(x-1)+(x-1),=(3x,2,+1)(x-1).,因为,x1,，所以,x-10,，而,3x,2,+10.,所以,(3x,2,+1)x-1)0,，所以,3x,3,3x,2,-x+1.,(2),因为,5x,2,+y,2,+z,2,-(2xy+4x+2z-2),=4x,2,-4x+1+x,2,-2xy+y,2,+z,2,-2z+1,=(2x-1),2,+(x-y),2,+(z-1),2,0,，,所以,5x,2,+y,2,+z,2,2xy+4x+2z-2,，,当且仅当,x=y=,且,z=1,时取到等号,.,【,素养,探,】,本例考查作差法比较大小，突出考查了逻辑推理与数学运算的核心素养,.,本例,(1),中，若把条件“,x1”,去掉，试比较所给两式的大小,.,【,解析,】,去掉条件“,x1”,后需对差的符号进行讨论,.,显然,3x,2,+10,，所以,当,x1,时，,(3x,2,+1)(x-1)0,，所以,3x,3,1,时，,(3x,2,+1)(x-1)0,，所以,3x,3,3x,2,-x+1.,【,类题,通,】,作差法比较大小的步骤,【,习练,破,】,已知,x,，,yR,，,P=2x,2,-xy+1,，,Q=2x-,，试比较,P,，,Q,的,大小,.,【,解析,】,因为,P-Q=2x,2,-xy+1-,=x,2,-xy+x,2,-2x+1=+(x-1),2,0,，,所以,PQ.,【,加练,固,】,比较下列各组中两个代数式的大小：,(1)x,2,+3,与,2x,；,(2),已知,a,，,b,为正数，且,ab,，比较a,3,+b,3,与,a,2,b+ab,2,的大小,.,【,解析,】,(1)(x,2,+3)-2x=x,2,-2x+3,=(x-1),2,+220,，,所以,x,2,+32x.,(2)(a,3,+b,3,)-(a,2,b+ab,2,)=a,3,+b,3,-a,2,b-ab,2,=a,2,(a-b)-b,2,(a-b)=(a-b)(a,2,-b,2,),=(a-b),2,(a+b),，,因为,a0,，,b0,，且,ab,，,所以,(a-b),2,0,，,a+b0.,所以,(a,3,+b,3,)-(a,2,b+ab,2,)0,，,即,a,3,+b,3,a,2,b+ab,2,.,类型二利用不等式的性质判断命题真假,【,典例,】,下列命题中一定正确的是,(,),世纪金榜导学号,A.,若,ab,且 ，则,a0,，,bb,，,b0,，则,1,C.,若,ab,，且,a+cb+d,，则,cd,D.,若,ab,且,acbd,，则以,cd,【,思维,引,】,利用不等式的性质和特殊值检验求解,.,【,解析,】,选,A.,对于,A,项，因为 ，,所以,0,，即,0,，,又,ab,，所以,b-a0,，所以,ab0,，,b0,，,b0,时，有,03+2,，但,1(-2),7,，但,-1b,，则,ac,2,bc,2,B.,若,ab0,，则,C.,若,ab|b|,，则,a,2,b,2,【,解析,】,选,D.,当c=0,时，有,ac,2,=bc,2,，故,A,为假命题；,当,ab0,，有 ，故,B,为假命题；,a-b0,，故,C,为假命题；,若,a|b|0,，则,a,2,b,2,，故,D,为真命题,.,【,类题,通,】,1.,运用不等式的性质判断命题真假的技巧,(1),运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能随意捏造性质,.,(2),解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算,.,2.,倒数性质：,(1),若,ab0,，则,.,(2),若,0ab,，则,.,即,ab,，,ab0 .,【,习练,破,】,若,abc,，则下列不等式成立的是,(,),A.B.,C.acbcD.acbc,，所以,a-cb-c0.,所以,.,【,加练,固,】,设,a1b-1,，则下列不等式中恒成立的是,(,),A.B.,C.a,2,2bD.ab,2,【,解析,】,选,D.A,错，例如,a=2,，,b=-,时，,=-2,，,此时，；,B,错，例如,a=2,，,b=,时，,=2,，此,时，；,C,错，例如 时，,此时,a,2,1,，,b,2,b,2,.,类型三利用不等式的性质证明不等式,角度,1,综合法,【,典例,】,已知,ab0,，,cd0,，,e0,，,求证：,.,【,思维,引,】,本题可利用不等式的性质进行证明，也可以作差进行证明,.,【,证明,】,方法一：因为,cd-d0,，,因为,ab0,，所以,a-cb-d0,，,所以,0,，又因为,eb0,，,cd-d0,，所以,a-c0,，,b-d0,，,b-a0,，,c-d0,，又,e0,，所以,.,【,素养,探,】,本题主要考查不等式的基本性质，同时考查了逻辑推,理的核心素养,.,本例条件不变，结论改为求证 ，请证,明,.,【,证明,】,因为,cd-d0,，,因为,ab0,，所以,a-cb-d0,，,所以,(a-c),2,(b-d),2,0,，,所以,0,，又,e0,，,所以,.,角度,2,分析法与反证法,【,典例,】,证明：,.,世纪金榜导学号,【,思维,引,】,根据问题特点可选用分析法证明，也可,用反证法证明,.,【,证明,】,方法一：分析法：要证 ，,只需证 ，只需证 ，,展开得 ，只需证 ，,即证,14180,，这与三角形内角和为,180,相矛盾，则,A=B=90,不成立；所以一个三角形中不能有两个直角；假设,A,、,B,、,C,中有两个角是直角，不妨设,A=B=90.,正确顺序的序号排列为,_.,【,解析,】,根据反证法证题的三步骤：否定结论、导出矛盾、得出结论,.,答案：,【,加练,固,】,已知,x,，,y0,，且,x+y2.,求证：中至少有一个小于,2.,【,证明,】,假设 都不小于,2,，即 ,2,，,2.,因为,xy0,，所以,1+x2y,，,1+y2x.,所以,2+x+y2(x+y),，即,x+y2,与已知,x+y2,矛盾,.,所以 中至少有一个小于,2.,类型四比较大小在实际问题中的应用,【,实际情境,】,某单位组织职工去某地参观学习需包车,前往,.,甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受,7.5,折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的,8,折优惠,.”,这两车队的原价、车型都是一样的，试根,据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠,.,【,转化模板,】,1.,由题意可得甲、乙两车队收费与乘车人数的表,达式，要比较哪个车队收费更优惠，可依据作差法模,型解决,.,2.,设该单位职工有,n,人,(nN,*,),，全票价为,x,元，,坐甲车需花,y,1,元，坐乙车需花,y,2,元,.,3.,当,n,取不同的正整数值时，比较,y,1,与,y,2,的大小,.,4.,由题意，,y,1,=.,因为,y,1,-y,2,=,，,当,n=5,时，,y,1,=y,2,；当,n5,时，,y,1,y,2,；,当,ny,2,.,5.,当单位去的人数为,5,人时，两车队收费相同；,多于,5,人时，选甲车队更优惠；少于,5,人时，选乙车队,更优惠,.,