中考复习专题：最短路径问题.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2017,年中考复习专题：,澄江六中 陈家荣,2017,年,6,月,最短路径问题,中考题中出现最短路径问题，往往都涉及具体的计算和求值，需要结合勾股定理、平面直角坐标系、函数与方程知识，从而得出定量的结果。解决这类问题的关键，首先要牢固掌握基础知识、基本思想方法和基本问题模型，熟悉最短路径问题的常考题型。,中考导航,【,教学知识点,】,：,1,、两点之间，线段最短；,2,、垂线段最短（构建“对称模型”实现转化）；,3,、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边。,【,能力要求,】,：,1.,学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念,.,2.,在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想,.,【,情感要求,】,：,1.,通过有趣的问题提高学习数学的兴趣,.,2.,在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学,教学目标,教学过程,一、基础知识,1,、两点之间，线段最短,问题,1,：如图,1,，定点,A,B,之间有,4,条路径,L1,、,L2,、,L3,、,L4,，问哪条路径最短？为什么？,理由：显然，,L3,最短。因为，两点之间，线段最短（公理）。,问题,2,：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，为什么？,理由：“三角形两边之和大于第三边”事实上就是“两点之间，线段最短”这一公理的直接应用。在“三角形两边之和大于第三边”的不等式两端同时减去一边，可得到“三角形两边之差小于第三边”。,2,、点到线的最短路径问题,问题,1,：如图,2,，,P,点到线段,AB,有三条路径,L1,、,L2,、,L3,，问哪条路径最短？为什么？,理由：显然，,L2,最短。因为，垂线段最短（公理）,二、基本思想方法：化归,（一）、平面问题中的最短路径问题常用轴对称、平移、旋转（包括中心对称）等保距变换，化折为直，化曲为直加以解决。,（二）、立体问题平面化,1,、多面体表面上两点间的最短路径问题，将其转化为平面内两点间的最短路径问题加以解决。,2,、旋转体表面上两点间的最短路径问题，常将旋转体表面展开成平面图形，用平面内两点间的最短路径问题加以解决。,三、基本问题模型,1,、抽水站选址问题,:,（,1,）、两点在直线异侧（,原理：两点之间，线段最短,）,例,1,、如图,3,：点,A,B,在直线,L,的两侧，在,L,上求一点,P,，使得,PA+PB,最小。,解：连接,AB,交直线,L,于点,P,点,P,为所求点。此时，,PA+PB,的最小值是,AB,线段的长。,理由：“两点之间，线段最短”。,（,2,）、两点在直线同侧（,原理：线段最短,+1,次轴对称,）,练习,1,、如图,4,：,A,、,B,在直线,L,同侧，在,L,上求一点,P,，使,PA+PB,最小。,解：作点,B,关于直线,L,的对称点,B,，连接,AB,交直线,L,于,P,点，,P,点即为所求点。,理由：,B,、,B,关于直线,L,对称，有,PB=PB,PA+PB=PA+PB,=,AB,(,线段最短）,PA+PB,最小。（两点之间，线段最短）,2,、造桥修路问题,（,1,）、,两点之间，线段最短,+,平移,例,2,、如图,5,，村庄,A,、,B,位于一条小河的两侧，若河岸,mn,，现在要建设一座与河岸垂直的桥,MN,，问桥址应如何选择，才能使,A,村到,B,村的路程最短？,解：将,A,点向下平移至,A,，使,AA,=,河宽，连接,A,B,交直线,n,于,N,过,N,作,NM,直线,m,于,M,连,AM,，线段,MN,即为所架桥的位置。,理由：“两点之间，线段最短”。,AM+MN+NB,的值最小，最小值为,A,B+MN.,（,2,）、,平移,+,轴对称,练习,2,、如图，在直线,L,上求两点,M,、,N,，使,MN=a,，且使,AM+MN+NB,的值最小。,M,、,N,即为所求点，此时,AM+MN+NB,最短。,理由：,由作图知,AM=AN=AN,AM+MN+NB=AB+MN,最小（两点之间，线段最短）,A,B,C,D,3,、立体图形中的最短路径问题例,3,、如图是一个长方体木块，已知,AB=5,BC=3,CD=4,，假设一只蚂蚁在点,A,处，它要沿着木块侧面爬到点,D,处，则蚂蚁爬行的最短路径是,。,理由,：,所以，蚂蚁爬行的最短路径是,练习,3,、有一个圆柱，它的高等于,12,厘米，底面半径等于,3,厘米在圆柱的底面,A,点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与,A,点相对的,B,点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？,(,的值取,3),。,解：,将圆柱的侧面展开如右图，可知蚂蚁爬行的最短路径是线段,AB,。,BB,=,圆柱高,=12cm,，,AB,=,底面周长的一半,=3,。,AB 15,答：蚂蚁爬行的最短路程约为,15,厘米。,四、中考题型训练,1,、正方形,ABCD,的边长为,8,，,M,在,DC,上，且,DM,2,，,N,是,AC,上的一动点，,DN,MN,的最小值为,。,解：,DN+MN=BM,DM=2,，则,CM=6,在,RT,BCM,中，,所以，,DN+MN,的最小值是,10,10,2,、如图，点,P,关于,OA,、,OB,的对称点分别为,C,、,D,，连接,CD,交,OA,于,M,，交,OB,于,N,，若,CD,18cm,，则,PMN,的周长的最小值为,_,。,解：,P,、,C,关于直线,OA,对称，,P,、,D,关于直线,OB,对称,CM=PM,DN=PN,PMN,周长,=PM+MN+PN=CM+MN+DN=CD=18cm,PMN,周长的最小值是,18cm,（两点之间，线段最短）,18cm,3,、已知，如图,DE,是,ABC,的边,AB,的垂直平分线，,D,为垂足，,DE,交,BC,于,E,，且,AC,5,，,BC,8,，则,AEC,的周长为,_,。,4,、如图，直线,l,是第一、三象限的角平分线,实验与探究：,（,1,）、由图观察易知,A,（,0,，,2,）关于直线,l,的对称点,A,的坐标为（,2,，,0,），请在图中分别标明,B,（,5,，,3,）、,C,（,2,，,5,）关于,直线,l,的对称点,B,、,C,的位置，并写出他们的坐标：,B,、,C,；,归纳与发现：,（,2,）、结合以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点,P,（,a,，,b,）关于第一、三象限的角平分线,l,的对称点,P,的坐标,为,；,B,解：,DE,垂直平分,AB,BE=AE,AEC,的周长,=,AE+CE,+AC=,BE+CE,+AC=,BC,+AC=8+5=13,13,C,(5,-2),(3,5),(b,a),运用与拓广,（,3,）已知两点,D,（,1,，,3,）、,E,（,1,，,4,），试在直线,l,上确定一点,Q,，使点,Q,到,D,、,E,两点的距离之和最小，并求出,Q,点坐标。,解：作点,E,关于直线,L,的对称点,E,连接,ED,交直线,L,于点,Q,点,Q,即为所求点。,E,Q,此时，QD+QE=E,D(,两点之间，线段最短）,点,Q,的坐标为（,-2,，,-2),5,、如图，抛物线 的对称轴是直线,X=-1,且经过,A,（,1,0,）和,C,（,0,3,）两点，与,x,轴的另一个交点为,B,。,（,1,）、在对称轴,x=-1,上找一点,N,，使点,N,到点,A,、,C,的距离之和最小，求点,N,的坐标，并求出,NA+NC,的最小值。,解：抛物线的对称轴是直线,X=-1,，,A(1,，,0),知,B(-3,，,0),A,、,B,关于直线,X=-1,对称，连接,BC,交对称轴于,N,点,N,即为所求点。,N,连接,AN,NA+NC=BC,最短。,设,BC,解析式为,y=,kx+b,过,B,、,C,-3k+b=0,b=3,-3k+b=0,b=3,-3k+b=0,解得,k=1,，,b=3,所以，,BC,解析式为,y=x+3,当,x=-1,时，,y=2,，所以，,N,点坐标为（,-1,2,）,NA+NC,的最小值是,NA+NC,的最小值是,五、课时小结,这节课我们利用“两点之间，线段最短”、“垂线段最短”、“勾股定理和它的逆定理”解决了生活中的几个最短路径问题。更重要的是通过平移、旋转、轴对称等图形变换把实际问题抽象成数学模型，用数学建模思想提高解决实际问题的能力。,六、课后作业：完成中考训练题,4,、,5,两题。,