高考数学第1轮总复习 全国统编教材 9.7直线和平面所成的角与二面角(第2课时)课件 理 课件.ppt

立足教育 开创未来,单击此处编辑母版文本样式,*,高中总复习（第一轮）,理科数学,全国版,立足教育 开创未来,单击此处编辑母版文本样式,*,高中总复习（第一轮）,理科数学,全国版,立足教育 开创未来,单击此处编辑母版文本样式,*,高中总复习（第一轮）,理科数学,全国版,立足教育 开创未来,单击此处编辑母版文本样式,*,高中总复习（第一轮）,理科数学,全国版,单击此处编辑母版文本样式,第九章,直线、平面、简单几何体,直线和平面所成的角与二面角,第 讲,（第二课时）,1,1.,在三棱锥,P-ABC,中，,AB,AC,，,ACB=,60,，,PA=PB=PC,，,点,P,到平面,ABC,的距离,为,AC,.,求二面角,P-AC-B,的大小,.,题型,4,求二面角的大小,2,解法,1,：,由条件知,ABC,为直角三角形，,且,BAC=90,.,因为,PA=PB=PC,，,所以点,P,在平面,ABC,上的,射影是,ABC,的外心，,即斜边,BC,的中点,E,.,取,AC,的中点,D,，连结,PD,，,DE,，,PE,.,因为,PE,平面,ABC,，,DE,AC,(,因为,DE AB,),，,所以,AC,PD,.,所以,PDE,就是二面角,P-AC-B,的,平面角,.,3,又,PE=AC,，,DE=AC,(,因为,A C B=,60),，,所以 ，,所以,PDE=,60.,故二面角,P-AC-B,的大小为,60.,解法,2,：,由条件知,ABC,为直角三角形，,且,BAC=90,.,因为,PA=PB=PC,，,所以点,P,在平面,ABC,上的射影是,ABC,的外心，,即斜边,BC,的中点,.,4,设,O,为,BC,的中点，取,AC,的中点,D,，连结,PD,，,DO,，,PO,，则,PO,平面,ABC,.,建立如图所示直角坐标系,设,AC=a,，则,A,(,a,，,-a,，,0,),，,B,(,-a,，,0,，,0,),，,C,(,a,，,0,，,0,),，,D,(,a,，,-a,，,0,),，,P,(,0,，,0,，,a,),.,所以,=(-,a,，,a,，,0),，,=(-,aa,，,a,).,因为,AB,AC,，又,PA=PC,，,所以,PD,AC,，,5,所以,cos,，,即为二面角,P-AC-B,的余弦值,.,而,cos,，,=,所以二面角,P-AC-B,的大小为,60.,6,点评：,求二面角的大小有两种方法：几何法与向量法.本题解法1是利用几何法来解决的，即按“一找、二证、三计算”三个步骤进行；解法2是利用向量法来解决的，即通过求垂直于两平面交线的直线的方向向量所成的角(需要注意是相等还是互补).,7,如图，直三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中，,AB,AC,D,、,E,分别为,AA,1,、,B,1,C,的中点，,DE,平面,BCC,1,.,(1),证明：,AB=AC,;,(2),设二面角,A-BD-C,为,60,，,求,B1C,与平面,BCD,所成,的角的大小,.,解：,(1),证法,1,：,连结,BE,，,因为,ABC-A,1,B,1,C,1,为直三棱柱，,所以,B1 B C,=90,8,因为,E,为,B,1,C,的中点，所以,BE=EC,.,又,DE,平面,BCC,1,，,所以,BD=DC,(射影相等,的两条斜线段相等).,而,DA,平面,ABC,，,所以,AB=AC,(斜线段相等的射影相等),证法2：,取,BC,的中点,F,，证四边形,A,F,ED,为平行四边形，进而证,AFDE,，,所以,AFBC,，得,AB=AC,.,92)作AGBD于,G,，连结,GC,，,则,GCBD,，,所以,AGC,为二面角,A-BD-C,的平面角，,所以,AGC,=60.,不妨设,AC,=,，则,AG,=2,GC,=4.,在,RtABD,中，由,ADAB,=,易得,AD,=.,10,设点,B,1,到平面,BCD,的距离为,h,，,B,1,C,与平面,BCD,所成的角为,.,由,S,B,1,BC,DE=,S,BCD,h,，,得,解得,h,=,，,又,B,1,C,=,所以,sin,=,所以,=30.,即,B,1,C,与平面,BCD,所成的角为,30.,11,2.,在Rt,ABC,中，,ACB,=30,，,ABC=,90，,D,为,AC,的中点，,E,为,BD,的中点，连结,AE,并延长交,BC,于点,F,，将,ABC,沿,BD,折成一个大小为,的二面角,A-BD-C,.,(1)证明：平面,AEF,平面,BCD,(2)当,为何值时，有,AB,CD,?,题型,4,二面角背景下的位置关系分析,12,解：,(1),证明：因为,ABC,为,直角三角形，,ACB=30,，,所以,AB,=,AC,.,又,D,为,AC,的中点，,所以,AD,=,AC,，所以,AB=AD,.,因为,E,为,BD,的中点，所以,AE,BD,，,所以,BD,AE,，,BD,EF,，,所以,BD,平面,AEF,.,又,BD,平面,BCD,，,所以平面,AEF,平面,BCD,.,13,(2),作,AO,EF,，垂足为,O.,因为平面,AEF,平面,BCD,，,所以,AO,平面,BCD,.,连结,OB,，,则,OB,是,AB,在平面,BCD,内的射影,所以,AB,CD,BO,CD,.,延长,BO,、,CD,相交于,H,，设,AB=2a,，,则,AE,=,ABcos,30=,a,.,由,BEOBHD,，,得,.,14,所以,在,RtAOE,中，,cosAEO,=,.,因为,BD,平面,AEF,，,所以,=AEF=-AEO=,-,arccos,.,15,点评：,与二面角有关的综合问题涉及到空间位置关系与空间角大小关系之间的综合,.,解决此类问题需注意几个转化：一是三维空间向二维空间的转化；二是空间角向线线角的转化；三是线面关系向线线关系的转化等,.,16,在棱长为,a,的正方体,OABC-O,ABC,中，,E、F,分别是棱,AB、BC,上,的动点，且,AE=BF,.,(1)求证：,AF,CE,；,(2)当三棱锥,B-BEF,的体积取得最大,值时，求二面角,B-EF-B,的大小(结果用,反三角函数表示).,17,解：,(1)证明：如图，以,O,为原点建,立空间直角坐标系.,设,AE=BF=x,，,则,A,(,a,，0，,a,)，,F,(,a-x，a,，0)，,C,(0，,a，a,)，,E,(,a，x,，0)，所以,=(-,x,，,a，-a,)，,a，x-a，-a,).,因为,=-,xa,+,a,(,x-a,)+,a,2,=0,，,所以,AF,CE,.,18,(2),记,BE=y,，则,x+y,=a.,故三棱锥,B-BEF,的体积为,当且仅当,x=y=,时，等号成立,.,因此，三棱锥,B-BEF,的体积取得最大值,时，,BE=BF,=.,过,B,作,BD,EF,交,EF,于,D,，连结,BD,，则,BD,EF,.,所以,BDB,是二面角,B-EF-B,的平面角,.,19,在,Rt,BEF,中，因为,BE=BF,=,，,BD,是斜边上的高，所以,BD,=,.,在,RtBDB,中，,故二面角,B-EF-B,的大小为,arctan,201.,二面角的大小是通过其平面角来度量的,.,而二面角的平面角需具有以下三个特点：顶点在棱上；两边分别在两个面内；两边与棱都垂直,.,2.,作二面角的平面角主要有如下三种作法,:(1),特征法：直接在二面角的棱上取一点,(,特殊点,),，分别在两个半平面中作棱的垂线，得出平面角,.,用定义法时，要认真观察图形的特性,.,21,(2),三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角,.,(3),垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角,.,由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直,.,22,3.,求二面角的大小有几何法和向量法两种,.,用几何法求解时，先要作出二面角的平面角，再通过解三角形求平面角的大小,.,若二面角的棱在原图中没有画出来，一般应先作出二面角的棱,.,用向量法求二面角的大小，一般通过向量的坐标运算求解，即转化为求二面角的两个面的法向量的夹角,.,23,