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2、辑母版文本样式,*,第 讲,5,充分条件与必要条件,第一章 集合与简易逻辑,1,考,点,搜,索,充分条件与必要条件,利用集合间的包含关系判断命题之间的充要关系,善于构造原命题的逆否命题来判断命题的充要关系,充要条件的证明与探索高考,高考猜想,在高考中,“充分必要条件”通常以选择题形式出现,.,2,一、,四个基本概念,1.,若,,则称,p,是,q,的充分条件,.,2.,若,,则称,p,是,q,的必要条件,.,3.,若,,则称,p,是,q,的充要条件,.,4.,若,,则称,p,是,q,的既非充分也非必要条件,.,3,二、,从集合的观点看充分条件、必要条件、充要条件,记,p,:,A,,,q,:,B,
3、1.,若满足,,则,p,是,q,的充分条件,.,2.,若满足,,则,p,是,q,的必要条件,.,3.,若满足,,则,p,是,q,的充要条件,.,4.,若满足,,则,p,是,q,的既非充分也非必要条件,.,4,三、,充分条件与必要条件的关系,若,p,是,q,的充分条件,则,q,是,p,的 ,条件;若,p,是,q,的必要条件,则,q,是,p,的,条件,.,必要,充分,5,1.,请从“充要条件”“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“既不充分又不必要条件”中选一个填空:,(1)“,x,=,y,”,的,是“,lg,x,=,lg,y,”,;,充分而不必要条件,6,(2)“,x,2,=9”,是“,x
4、3”,的,;,(3)“,ab,0”,的必要而不充分条件是“,a,0”.,(1)“,x,=,y,”,的充分而不必要条件是“,lg,x,=,lg,y,”,;,(2)“,x,2,=9”,是“,x,=-3”,的必要而不充分条件;,(3),因为“,a,=0”,是“,ab,=0”,的充分而不必要条件,所以“,ab,0”,的必要而不充分条件是“,a,0”.,必要而不充分条件,7,2.,对任意实数,a,、,b,、,c,给出下列命题,:,“,a,=,b,”,是“,ac,=,bc,”,的充要条件,;,“,a,+5,是无理数”是“,a,是无理数”的充要条件,;,“,a,b,”,是“,a,2,b,2,”,的充分
5、条件,;,“,a,5”,是“,a,b,2,|,a,|,b|(,a,-,b,)(,a,+,b,)0,,所以“,a,b,”,是“,a,2,b,2,”,的既不充分也不必要条件,错;,因为,a,3,a,5,,所以“,a,5”,是“,a,0,与,a,2,x,2,+,b,2,x,+,c,2,0,解集相同;,(3),p,:,x,2,-2,x,-30;,q,:,x,3;,(4),p,:,函数,f,(,x,)=,x,|,x,+,a,|+,b,为奇函数,;,q,:,a,2,+,b,2,=0.,18,(1),因为,(1,,,3)(-,,,3,,所以,q,p,,且,p,q,,,所以,p,是,q,的必要非充分条件,.,
6、2),不等式,x,2,+,x,+10,与,x,2,-,x,+20,解集相同,但是 所以,p,q,;,不等式,x,2,-3,x,+20,与,-,x,2,+3,x,-20,中的系数满足:但是两个不等式的解集不同,所以,q,p,.,故,p,是,q,的既不充分又不必要条件,.,19,(3),因为,x,=3,,则,x,2,-2,x,-3=0,,反之不然,,所以,即,所以,p,是,q,的充分非必要条件,.,20,(4),若,a,2,+,b,2,=0,,则,a,=,b,=0,,此时,f,(,x,)=,x,|,x,|,,,从而,f,(-,x,)=-,x,|,x,|=-,f,(,x,),,,所以,f,(,x,
7、),为奇函数,所以,q,p,.,若,f,(,x,),为奇函数,则,f,(,x,)=-,f,(-,x,),对一切,x,R,恒成立,,所以,x,|,x,+,a,|+,b,=,x,|,x,-,a,|-b,恒成立,,所以,a,=-,a,,,b,=-,b,,,即,a,=0,,,b,=0,a,2,+,b,2,=0,,所以,p,q,,,所以,p,是,q,的充要条件,.,21,题型二:充分条件、必要条件、充要条件的应用,2.,设,m,0,,且为常数,已知条件,p,:|,x,-2|,m,;条件,q,:|,x,2,-4|,1,,若,p,是,q,的必要非充分条件,求,m,的取值范围,.,设集合,A,=,x,|,x,
8、2|,m,=,x,|2-,m,x,2+,m,,,B,=,x,|,x,2,-4|,1=,x,|3,x,2,5,22,由题设 即,p,q,且,q,p,,所以,A,B,.,因为,m,0,,所以,所以,解得,故实数,m,的取值范围是,23,点评:,记条件,p,和,q,结论对应的集合分别为,A,和,B,,从集合的观点判断,若,A B,,则,p,是,q,的充分条件;,若,A B,,则,p,是,q,的必要条件;,若,A,=,B,,则,p,是,q,的充要条件,.,24,设命题,p,:|4,x,-3|1,;命题,q,:,x,2,-(2,a,+1),x,+,a,(,a,+1)0.,若,p,是,q,的必要而不充分
9、条件,求实数,a,的取值范围,.,25,由,|4,x,-3|1,得,-14,x,-31,,故,由,x,2,-(2,a,+1),x,+,a,(,a,+1)0,,,得,(,x,-,a,)(,x,-,a,-1)0,,,故,a,x,a,+1.,因为,p,是,q,的必要而不充分条件,,所以,p,是,q,的充分而不必要条件,,26,即,所以,解得,故所求的实数,a,的取值范围是,27,题型 充要条件的证明,设,x,,,y,R,,求证:,|,x,+,y,|=|,x,|+|,y,|,的充要条件是,xy,0.,证明:充分性即证:,xy,0|,x,+,y,|=|,x,|+|,y,|,,,必要性即证:,|,x,+,
10、y,|=|,x,|+|,y,|,xy,0.,参考题,28,(1),充分性:,若,xy,=0,,则有,x,=0,或,y,=0,,或,x,=0,且,y,=0.,此时显然,|,x,+,y,|=|,x,|+|,y,|.,若,xy,0,,则,x,,,y,同号,,当,x,0,且,y,0,时,,|,x,+,y,|=,x,+,y,=|,x,|+|,y,|;,当,x,0,且,y,0,时,,|,x,+,y,|=-,x,-,y,=(-,x,)+(-,y,)=|,x,|+|,y,|.,综上所述,,xy,0,可知,|,x,+,y,|=|,x,|+|,y,|.,29,(2),必要性:,因为,|,x,+,y,|=|,x,|
11、y,|,,且,x,,,y,R,,,所以,(,x,+,y,),2,=(|,x,|+|,y,|),2,,,即,x,2,+2,xy,+,y,2,=,x,2,+2|,x,|,y,|+,y,2,,,可得,xy,=|,xy,|,,可得,xy,0.,故,|,x,+,y,|=|,x,|+|,y,|,xy,0.,综合,(1)(2),知命题成立,.,30,1.,判断,p,是,q,的什么条件时,必须正逆互推,注意特例,确保判断的准确性,.,如果条件,p,或,q,较为复杂,应先将条件进行等价转换,再作判断,.,2.,充要条件的转化要依据定义进行,有时可利用集合的包含关系或数形结合帮助处理,.,31,3.,探求充要条件可以先求充分条件,再验证必要性;或者先求必要条件,再验证充分性;或者等价转换条件,.,4.,确定条件为不充分或不必要条件时,常用构造反例的方法来说明,.,5.,若判断或证明命题“,p,q,”,较为困难,可转化为研究其逆否命题 往往能使问题得以简化,.,32,






