高考数学总复习 第12单元计数原理课件(理)苏教版 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,排列、组合、,二项式定理,两个计,数原理,二项式定理,排,列,组,合,排列概念,排列数式,组合概念,组合数公式,组合数性质应用,通项公式,二项式系数性质,应用,应用,第十二单元 计数原理,知识体系,第一节 两个基本计数原理,基础梳理,1.,分类计数原理,(,加法原理,),完成一件事，有,n,类方式，在第,1,类方式中有,m1,种不同的方法，在第,2,类方式中有,m2,种不同的方法，,在第,n,类方式中有,mn,种不同的方法，那么完成这件事共有,N=,种不同的方法,.,2.,分步计数原理,(,乘法原理,),完成一件事，需要分成,n,个步骤，做第,1,步有,m1,种不同的方法，做第,2,步有,m2,种不同的方法，,，做第,n,步有,mn,种不同的方法，那么完成这件事共有,N=,种不同的方法,.,典例分析,题型一 分类计数原理和分步计数原理的简单应用,【,例,1】,甲同学有若干本课外参考书，其中有,5,本不同的数学书，,4,本不同的物理书，,3,本不同的化学书,.,现在乙同学向甲同学借书,试问：,（,1,）若借一本书，则有多少种不同的借法？,（,2,）若每科各借一本，则有多少种不同的借法？,（,3,）若借两本不同学科的书，则有多少种不同的借法？,分析,仔细区分是“分类”还是“分步”,.,解,（,1,）因为需完成的事情是“借一本书”，所以借给他数学、物理、化学书中的任何一本，都可以完成这件事情,.,故用分类计数原理，共有,5+4+3=12,（种）不同的借法,.,（,2,）需完成的事情是“每科各借一本书”，意味着要借给乙三本书，只有从数学、物理、化学三科中各借一本，才能完成这件事情,.,故用分步计数原理，共有,543=60,（种）不同的借法,.,（,3,）需完成的事情是“从三种学科的书中借两本不同学科的书”，要分三种情况：,借一本数学书和一本物理书，只有两本书都借，事情才能完成，由分步计数原理知，有,54=20,（种）借法；,借一本数学书和一本化学书，同理，由分步计数原理知，有,53=15,（种）借法；,借一本物理书和一本化学书，同理，由分步计数原理知，有,43=12,（种,),借法,.,而上述的每一种借法都可以独立完成这件事情，由分类计数原理知，共有,20+15+12=47,（种）不同的借法,.,学后反思正确区分和使用两个原理是学好本单元的关键,.,区分“分类”与“分步”的依据在于能否“一次性”完成,.,若能“一次性”完成，则不需“分步”，只需分类；否则就分步处理,.,举一反三,1.,（,2009,通州调研）若,5,名运动员争取,3,个项目冠军，则不同的获奖结果有种,.,答案：,125,解析：,从得冠军角度考虑，分三步，每个项目得冠军的结果有,5,种，共 种,.,题型二 两个计数原理的综合应用,【,例,2】(14,分,),现有高一四个班学生,34,人，其中一、二、三、四班各,7,人、,8,人、,9,人、,10,人，他们自愿组成数学课外小组,.,（,1,）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？,（,2,）每班选一名组长，有多少种不同的选法？,（,3,）推选两人作中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？,分析,（,1,）是从四个班的,34,人中选一人，应分类求解,;,（,2,）是从各班中选一人，共选,4,人，应分步求解；（,3,）是先根据不同班级分类，再分步从两个班级中各选,1,人,.,解,（,1,）分四类，第一类，从一班学生中选,1,人，有,7,种选法；第二类，从二班学生中选,1,人，有,8,种选法；第三类，从三班学生中选,1,人，有,9,种选法；第四类，从四班学生中选,1,人，有,10,种选法，所以，共有不同的选法,N=7+8+9+10=34(,种,).4,(2),分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法,N=78910=5 040(,种,)8,（,3,）分六类，每类又分两步，从一班、二班学生中各选,1,人，有,78,种不同的选法；从一、三班学生中各选,1,人，有,79,种不同的选法；从一、四班学生中各选,1,人，有,710,种不同的选法；从二、三班学生中各选,1,人，有,89,种不同的选法；从二、四班学生中各选,1,人，有,810,种不同的选法；从三、四班学生中各选,1,人，有,910,种不同的选法,.12,所以共有不同的选法,N=78+79+710+89+810+910=431(,种,).14,学后反思,对于复杂问题，不能只用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决时，可以综合应用两个原理，可以先分类，在某一类中再分步，也可先分步，在某一步中再分类,.,举一反三,2.,某通信公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“,0000”,到“,9999”,共,10 000,个号码,.,公司规定：凡卡号的后四位带有数字“,4”,或“,7”,的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为,.,答案：,5904,解析：,10 000,个号码中不含,4,、,7,的有,=4096,，故这组号码中“优惠卡”的个数为,10 000-4 096=5 904.,【,例,3】,（,2009,辽宁模拟改编）一生产过程有四道工序，每道工序需要安排一人照看,.,现从甲、乙、丙等,6,名工人中安排,4,人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排,1,人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排,1,人，则不同的安排方案共有,.,分析,首先根据第一道工序将问题分为两类，对两类分别求解，再由分类计数原理求解,.,解,依题意知,若第一道工序由甲来完成，则第四道工序必由丙来完成，故完成方案共有43=12(,种,),；若第一道工序由乙来完成，则第四道工序必由甲、丙二人之一来完成，故完成方案共有,1243=24(,种,).,所以不同的安排方案共有,12+24=36(,种,).,学后反思,有些较复杂的问题，既要“分类”又要“分步”，应明确按什么标准“分类”、“分步”,.,不同的标准，可以有不同的解法，解题时应择优而行,.,举一反三,3.,（,2008,重庆）某人有,4,种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的,6,个点,A,、,B,、,C,、上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种,.,（用数字作答）,答案：,216,解析处,4,种，处,3,种，处,2,种，则底面共,432=24,（种）,.,根据,A,点和 点两处灯泡的颜色相同或不相同分为两类,:,(1)A,颜色相同，则,B,处有,3,种，,C,处有,1,种，则共有,31=3,种,;,(2)A,颜色不同，则,A,处有,2,种,B,处和,C,处共有,3,种，则共有,32=6,（种）,.,由分类计数原理得上底面共,9,种，再由分步计数原理得共有,249=216,（种）,.,易错警示,【,例,1】,一件工作可以用,2,种方法完成，有,5,人会用第,1,种方法完成，另有,4,人会用第,2,种方法完成,.,从中选出,1,人来完成这件工作，不同选法的种数是,.,错解,2,错解分析,由于每个人都是不同的个体，所以该题中不同的选法中实际是选人，而不是选方法来完成这项工作,.,正解,9,【,例,2】,在一次运动会上有,4,项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有种,.,错解分析,错解是没有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式,.,错解,把,4,个冠军，排在甲、乙、丙三个位置上，,故有,=24(,种,).,正解,4,项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有,3,种选取方法，由乘法原理共有,3333=81,（种）,.,说明：,本题还有这样的错解，甲、乙、丙夺冠均有,4,种情况，由乘法原理得,.,这是由于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得后，其他人就不再有,4,种夺冠可能,.,考点演练,10.,一个袋子里装有,10,张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有,12,张不同的中国联通手机卡,.,（,1,）某人要从两个袋子中任取一张自己用的手机卡，共有多少种不同的取法？,（,2,）某人想得到一张中国移动卡和一张中国联通卡，供自己今后选择使用，共有多少种不同的取法？,解析：,（,1,）任取一张手机卡，可以从,10,张不同的中国移动卡中任取一张，或从,12,张不同的中国联通卡中任取一张，每一类办法都能完成这件事,故应用分类计数原理，有,10+12=22,（种）取法,.,（,2,）从移动、联通卡中各取一张，则要分两步完成：从移动卡中任取一张，再从联通卡中任取一张，故应用分步计数原理,有,1012=120(,种,),取法,.,11.,用,5,种不同的颜色给图中的,4,个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？,解析：,第一类：,1,号区域与,3,号区域同色时，有,5414,80(,种,),涂法；第二类：,1,号区域与,3,号区域异色时，有,5433,180(,种,),涂法,.,依据分类计数原理知不同的涂色方法有,80,180,260(,种,),不同的涂色方法,.,1,3,2,4,12.(2009,辽宁模拟,),给一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色，则不同的染色方法共有多少种？,解析：,如图，染五条边总体分五步，染每一边为一步,.,当染边,1,时有,3,种染法，则,2,有,2,种染法,.,（,1,）当,3,与,1,同色时有,1,种染法，则,4,有,2,种，,5,有,1,种，此时染法总数为,32121=12(,种,),；,（,2,）当,3,与,1,不同色时，,3,有,1,种，当,4,与,1,同色时，,4,有,1,种，,5,有,2,种；当,4,与,1,不同色时，,4,有,1,种，,5,有,1,种，则此时有,321(12+11)=18,（种）,.,综合,(1),、,(2),可得染法的种数为,30,种,.,第二节 排列组合,基础梳理,排列与排列数,组合与组合数,定义,1.,排列的概念：从,n,个不同的元素中取出,m,（,mn,）个元素,，叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的一个排列,.,2.,排列数的概念：从,n,个不同元素中取出,m,（,mn,）个元素的,叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的排列数，用符号,Amn,表示,.,3.n,个不同元素全部取出的一个排列，叫做,n,个不同元素的一个全排列，即 ，称为,n,的,通常用,n!,表示,.,1.,组合的概念：一般地，从,n,个不同元素中取出,m(mn),个不同元素,，叫做从,n,个不同元素中取出,m,个不同元素的一个组合,.,2.,组合数的概念：从,n,个不同元素中取出,m(mn),个元素的,，叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的组合数,用符号,Cmn,表示,.,按照一定的顺序排成一列,所有排列的个数,阶乘,并成一组,所有组合的个数,典例分析,题型一 排除法,【,例,1】,从,4,名男生和,3,名女生中选出,3,人，分别从事三项不同的工作，若这,3,人中至少有,1,名女生，则选派方案共有种,.,分析,逆向思考，“这,3,人中至少有,1,名女生”的否定为“这,3,人中没有女生”,.,解,全部方案有 种，减去只选派男生的方案数 ，合理的选派方案共有,-=186(,种,).,学后反思,关于“至少”类型组合问题，用间接法较方便,.,即用总的方案数减去“至少”的否定的方案数,.,同时要注意：,“至少一个”的否定为“一个没有”,;,“,至多一个”的否定为“至少两个”,;,“,至少,N,个”的否定为“至多,N-1,个”,;,“,至多,N,个”的否定为“至少,N+1,个”,.,举一反三,1.(2009,全国,改编,),甲、乙两人从,4,门课程中各选修,2,门，则甲、乙所选的课程中至少有,1,门不相同的选法共有种,.,答案：,30,解析：,间接法,:(,种,).,题型二 基本排列问题,【,例,2】,从班委会,5,名成员中选出,3,名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有种（用数字作答）,.,学后反思,解决某些特殊元素不能排在某些特殊位置的排列问题，主要方法是将这些特殊元素排在其他位置，或将其他非特殊元素排在这些特殊位置来进行解决,.,分析,先选甲、乙以外的人担任文娱委员，然后再选其他委员,.,解先从其余,3,人中选出,1,人担任文娱委员，再从,4,人中选,2,人担任学习委员和体育委员，,=343=36(,种,).,举一反三,2.,（,2008,全国改编）如图，一环形花坛分成,A,B,C,D,四块，现有,4,种不同的花供选种，要求在每块地里种,1,种花，且相邻的,2,块种不同的花，则不同的种法总数为,.,答案：,84,解析：,分三类：种两种花有,2,种种法；种三种花有,2,种种法；种四种花有 种种法,.,共有,+2 +=84,（种）,.,题型三 有限制条件的排列,【,例,3】,有,4,名男生、,5,名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？,(1),甲不在中间也不在两端；,（,2,）甲、乙两人必须排在两端；,（,3,）男、女生分别排在一起；,（,4,）男女相间,.,分析,这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置讨论起,.,对于相邻问题，常用“捆绑法”；对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）；对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”（特殊元素先考虑）,.,解,（,1,方法一（元素分析法）：先排甲有,6,种，其余有,A88,种，故共有,6 =241 920(,种,),排法,.,方法二（位置分析法）：中间和两端有 种排法，包括甲在内的其余,6,人有 种排法，故共有,=336720=241920(,种,),排法,.,方法三（间接法）：,-3 =6 =241920(,种,).,（,2,）先排甲、乙，再排其余,7,人，共有,=10 080(,种,),排法,.,（,3,）（捆绑法）,=5 760(,种,).,（,4,）（插空法）先排,4,名男生有,(,种,),方法，再将,5,名女生插空，有,A55,种方法，故共有,=2 880,（种,),排法,.,学后反思,本题集排列的多种类型于一题，充分体现了元素分析法（优先考虑特殊元素）、位置分析法（优先考虑特殊位置）、直接法、间接法（排除法）、捆绑法、等机会法、插空法等常见的解题思路,.,举一反三,3.(2007,全国改编,),从,5,位同学中选派,4,位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有,2,人参加，星期六、星期日各有,1,人参加，则不同的选派方法共有种,.,答案：,60,解析：,星期五有,2,人参加，则从,5,人中选,2,人的组合数为 ，星期六和星期天从剩余的,3,人中选,2,人进行排列，有 种，则共有,=60(,种,).,题型四 基本组合问题,【,例,4】,（,14,分）有男运动员,6,名，女运动员,4,名，其中男女队长各,1,名,.,选派,5,名外出比赛,.,在下列情形中各有多少种选派方法？,（,1,）男运动员,3,名，女运动员,2,名；,（,2,）至少有,1,名女运动员；,（,3,）队长中至少有,1,名参加；,（,4,）既要有队长，又要有女运动员,.,分析,（,1,）分步,.,（,2,）可分类也可用间接法,.,（,3,）可分类也可用间接法,.,（,4,）分类,.,解,（,1,）第一步：选,3,名男运动员，有 种选法,.,第二步：选,2,名女运动员，有 种选法,.,共有,=120(,种,),选法,3,（,2,）方法一：“至少有,1,名女运动员”包括以下几种情况：,1女,4,男，,2,女,3,男，,3,女,2,男，,4,女,1,男,.4,由分类加法计数原理可得总选法数为：,(,种,).6,方法二：“至少有,1,名女运动员”的反面为“全是男运动员”,故可用间接法求解,.,从,10,人中任选,5,人有 种选法，其中全是男运动员的选法有 种,.4,所以“至少有,1,名女运动员”的选法为,-=246(,种,).6,(3),方法一,(,可分类求解,):,“,只有男队长”的选法为,;“,只有女队长”的选法为,8,“,男、女队长都入选”的选法为,.,所以共有,2 +=196(,种,),选法,.10,方法二,(,间接法,),：,从,10,人中任选,5,人有 种选法,.8其中不选队长的方法有 种,.,所以“至少有,1,名队长”的选法,为,-=196(,种,)10,学后反思,解组合题时，常遇到至多、至少问题，可用直接法分类求解，也可用间接法求解以减少运算量,.,当限制条件较多时，要恰当分类，逐一满足,.,（,4,）当有女队长时，其他人选任意，共有 种选法,.,不选女队长时，必选男队长，共有 种选法,.,其中不含女运动员的选法有 种，所以不选女队长时的选法共有,-,种选法,13,所以既有队长又有女运动员的选法共有,+-=191(,种,)14,举一反三,4.(2009,辽宁改编,),从,5,名男医生、,4,名女医生中选,3,名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有种,.,答案：,70,解析：,直接法：一男两女，有,=56=30(,种,);,两男一女,有,=104=40(,种,),，共计,70,种,.,间接法：任意选取,C39=84(,种,),，其中都是男医生,有,=10(,种,),，都是女医生有,=4(,种,),，于是符合条件的有,84-10-4=70(,种,).,易错警示,【,例,】,有大小形状相同的,3,个红色小球和,5,个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？,错解分析,错解中没有考虑,3,个红色小球是完全相同的，,5,个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法,.,错解,因为是,8,个小球的全排列，所以共有 种方法,.,正解,8,个小球排好后对应着,8,个位置，题中的排法相当于在,8,个位置中选出,3,个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这,3,个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题,.,这样共有,=56(,种,),排法,.,考点演练,10.(2009,湖北改编,),将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，求不同分法的种数,.,解析：,用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是,顺序有 种，而甲、乙被分在同一个班有,A33,种，所以不同分法有,(,种,).,11.,（,1,）从,5,本不同的书中选,3,本送给,3,名同学，每人各,1,本，共有多少种不同的送法？,（,2,）从,5,种不同的书中买,3,本送给,3,名同学，每人各,1,本，共有多少种不同的送法？,解析：,（,1,）从,5,本不同书中选出,3,本分别是送给,3,名同学，对应于从,5,个不同元素中任取,3,个元素的一个排列，因此不同的送法的种数是,=543=60.,(2),由于有,5,种不同的书，送给每个同学的,1,本书都有,5,种不同的选购方法，因此送给,3,名同学每人各,1,本书的不同方法种数是,555=125.,12.,某学习小组有,8,个同学，从男生中选,2,人，女生中选,1,人参加数学、物理、化学三种竞赛，要求每科均有,1,人参加，共有,180,种不同的选法，那么该小组中男、女同学各有多少人？,解析：,设男生有,x,人，则女生有,8-x,人，依题意，,，即 ，,，,，即,(x-5)(x-6)(x+2)=0,，,(,舍去,).,故男生有,5,人，女生有,3,人，或男生有,6,人，女生有,2,人,.,第三节 二项式定理,(*),基础梳理,1.,二项式定理及其特例,(1)=,;,(2)=,.,特别是当,x=1,时，得,.,2.,二项展开式的通项公式,=,(r=0,1,2,n).,3.,二项式系数表（杨辉三角）,展开式的二项式系数，当,n,依次取,1,2,3,时，二项式系数表中每行两端都是,1,，除,1,以外的每一个数都等于,.它肩上两个数的和,4.,二项式系数 的性质,(1);,(2);,(3),当 时,;,当 时，,;,(4).,典例分析,解,展开式通项,.,由题意得,(r=0,1,2,n),故当,r=2,时，正整数的最小值为,5.,题型一 求二项式 中的,n,【,例,1】,如果 的展开式中含有非零常数项，则正整数,n,的最小值为,.,分析根据展开式中含有非零常数项，求得,n,r,之间的关系，从而求出,n.,学后反思,常数项即变量的指数为,0,，有理项即变量的指数为整数，这都是列方程的依据，根据方程求得关系，再解题,.,答案：,3,举一反三,1.,（,2009,济南模拟）若二项式 的展开式中存在常数项，则正整数n,的最小值等于,.,解析：,二项展开式的通项公式为 由二项展开式中存在常数项，可令,n-3r=0,nN*,rN*,且,rn,则使得,n-3r=0,的正整数,n,的最小值为,3.,题型二 求项的系数,【,例,2】,展开式中 的系数为,.,分析,利用通项公式分别写出常数项、含,x,项，从而求出系数,.,解,展开式中 项为,所求系数为,学后反思,此题重点考查二项展开式中指定项的系数，以及组合思想；展开式中的常数项、一次项、二次项分别和 展开式中的二次项、一次项、常数项相乘再求和得整个展开式中的二次项,.,要注意二项展开式中某项的系数与该项的二项式系数是不同的概念，其项的系数是指该单项式的系数，而二项式系数仅为,Crn,这点要注意区分,.,举一反三,2.,（,2008,天津）的二项展开式中，,x2,的系数是（用数字作答）,.,答案：,40,解析：,，令,解得,r=2.,系数为,题型三 求展开式中的特定项,【,例,3】(14,分,),在二项式 的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列,.,（,1,）求展开式的第四项；,（,2,）求展开式的常数项；,（,3,）求展开式的各项系数的和,.,分析,根据前三项系数的绝对值成等差数列，列出关于,n,的方程，求出,n.,解,第一项系数的绝对值为 ，第二项系数的绝对值为 ，第三项系数的绝对值为 ，依题意有 ，,解得,n=8.2,（,1,）第四项,.4,2,）通项公式为,.6,展开式的常数项有,8-2r=0,，即,r=4,，,所以常数项为,10,（,3,）令,x=1,，得展开式的各项系数的和为,.14,学后反思,本题旨在训练二项式定理通项公式的运用，但要注意通项 而不是 ，这是最容易出错的地方,.,答案：,-20,举一反三,3.(2009,四川,),的展开式的常数项是,(,用数字作答,).,解析：,由题意知,2x-12x6,的通项为,令,6-2r=0,得,r=3,故常数项为,.,分析,将已知式子适当整理化简，再根据题目要求选择合适的二项展开式求解,.,题型四 整除问题,【,例,4】,（,1,）求证：,(nN*),能被,31,整除,.,(2),求 除以,9,的余数,.,解,(1),证明：,显然 为整数，,原式能被,31,整除,.,(2),是正整数,S,被,9,除的余数为,7.,学后反思,利用二项式定理解决整除性问题时，关键是巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只需证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可,.,因此，一般将被除式化为含有相关除式的二项式，然后再展开，此时常采用“配凑法”、“消去法”配合整除的有关知识来处理,.,举一反三,4.,求证：,(nN*,且,n,2).,解析：,利用二项式定理 展开证明,.,nN*,且,n,2,，,展开式中至少有四项,故有 成立,.,考点演练,10.(2009,重庆改编,),求 的展开式中,x4,的系数,.,解析：,设含,x4,的项为第,r+1,项,16-3r=4,所以,r=4,故系数为,11.,（,2008,福建改编）求 展开式中,x3,的系数,.,解析：,令,9-2r=3,得,r=3,即 的系数为,84.,12.,设,(1),若,a=1,b=-3,c=0.,求 的值；,（,2,）若,且,a-b+c=0,n=5.,求正数,a,、,c,的积的最大值及对应的,a,、,c,的值,.,解析：,（,1,）,a=1,b=-3,c=0,，则,.,又,=f(0)=1,（,2,）,a+b+c=4,且,a-b+c=0,b=a+c,0,即,2(a+c)=4,a+c=2,a=c=1,时，,