10反函数 高三数学函数整章课件ppt 高三数学函数整章课件ppt.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,反函数,一、定义,设函数,y,=,f,(,x,),定义域为,A,值域为,C.,如果从式子,y,=,f,(,x,),解得,x,=,(,y,),且对于,y,在,C,中的任何一个值,x,在,A,中都有唯一确定的值和它对应,那么式子,x,=,(,y,),就表示,x,是变量,y,的函数,把,x,=,(,y,),叫做函数,y,=,f,(,x,),的反函数,记作,:,x,=,(,y,)=,f,-,1,(,y,).,x,=,f,-,1,(,y,),一般改写成,y,=,f,-,1,(,x,),其定义域为,C,值域为,A.,二定义理解,1.,函数存在反函数的条件,:,映射,f,:AC,为一一映射,.,2.,函数在其定义域区间上可能不存在反函数,但可以在定义域区间的,某个子区间,上存在反函数,.,3.,反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域,.,注意,:,反函数的定义域不能由其,解析式,来求,.,三、简单性质,1.,互为反函数的两个函数的图像关于,直线,y,=,x,对称,;,2.,单调函数一定存在反函数,但有反函数的函数不一定是单调函数,;,3.,奇函数不一定有反函数,偶函数在一般情况下无反函数,;,4.,互为反函数的两个函数在各自的定义域区间上具有相同的 单调性,;,5.,若,b,=,f,(,a,),则,a,=,f,-,1,(,b,);,若,a,=,f,-,1,(,b,),则,b,=,f,(,a,),即,:,若,a,A,b,C,则,f,-,1,f,(,a,)=,a,f,f,-,1,(,b,)=,b,.,四、求函数的反函数的步骤,2.,由,y,=,f,(,x,),解出,x,=,f,-,1,(,y,),(,即,用,y,表示,x,),;,3.,交换,x,=,f,-,1,(,y,),中的字母,x,y,得,f,(,x,),反函数的表达式,y,=,f,-,1,(,x,),1.,求函数,y,=,f,(,x,),中,y,的,取值范围,得其反函数中,x,的,取值范围,;,五、函数与其反函数图像的交点问题,如果一个函数与其反函数的图像有公共点,则公共点在直线,y,=,x,上,或者关于直线,y,=,x,对称地,成对出现,.,4.,标出,y,=,f,-,1,(,x,),中,x,的,取值范围,.,例如函数,y,=,-,3,x,+7;,又如函数,y,=,(),.,16,1,x,六、典型例题,例,1,函数,y,=(,x,R,且,x,),的反函数是,(),2,x,-,1,x,-,2,1,2,(A),y,=(,x,R,且,x,),2,x,-,1,x,-,2,1,2,(B),y,=(,x,R,且,x,2),2,x,-,1,x,-,2,(C),y,=(,x,R,且,x,),2,x,-,1,x,+2,1,2,(D),y,x,R,且,x,-,2),2,x,-,1,x,+2,-,1,1,x,o,y,-,1,1,x,o,y,1,x,o,y,1,-,1,1,x,o,y,(D),(A),(B),(C),例,2,设函数,f,(,x,)=1,-,1,-,x,2,(,-,1,x,0),则函数,y=,f,-,1,(,x,),的图像可能是,(),A,B,例,3,求下列函数的反函数,:,(2),y,=,x,|,x,-,2|+4,x,.,(1),y,=(),2,(,x,).,x,+1,3,x,-,2,2,3,3,2,(2),y,=,x,+1,-,1(,x,8),3,-,9,-,x,(,x,8).,(1),y,=(0,x,1);3,-,x,2+,x,例,4,解答下列关于反函数的问题,:,(,1,),已知函数,f,(,x,),=,的图像关于直线,y,=,x,对称,求实数,a,的值,;,3,x,+2,x,+,a,(,2,),求函数,y,=1,-,x,与它的反函数图像的交点坐标,.,例,5,已知,f,(,x,)=,x,R,求,f,-,1,(,),的值,.,1+2,x,2,x,1,3,4.,(,1,),a,=,-,3;,5.,f,-,1,(,),=,-,1.,1,3,答 案,(,2,),(,);(1,0);(0,1).,5,-,1,2,5,-,1,2,七、课堂练习,2.,试求使函数,y,=4,x,-,2,x,+1,存在反函数的定义域区间,并求相应区间上的反函数,.,1.,若映射,f,:A,B,中,A=B=(,x,y,),|,x,R,y,R,f,:(,x,y,),(,x,+2,y,+2,4,x,+,y,),试求,:(1),A,中的元素,(5,5),的象,;(2),B,中的元素,(5,5),的原象,.,3.,已知,f,(,x,),=(,x,-,a,a,).(1),求,f,(,x,),的反函数,f,-,1,(,x,);(2),若,f,(,x,)=,f,-,1,(,x,),求,a,的值,;(3),作出满足,(2),中条件的,y,=,f,-,1,(,x,),的图象,.,2,x,+1,x,+,a,1,2,答 案,1.(1725);,(1,1),2.,(-,0,f,-,1,(,x,)=log,2,(,1,-,x,+1,)(-,1,x,0,),;,0,+,),f,-,1,(,x,)=log,2,(,1+,x,+1,)(,x,-,1,),.,3.,f,-,1,(,x,)=(,x,2);,x,-,2,1,-,ax,a,=,-,2.,4.,求,函数,y,=,x,|,x,|+2,x,的反函数,.,解,:,原函数可写成,:,y,=,x,2,+2,x,x,0,-,x,2,+2,x,x,0.,即,y,=,(,x,+1),2,-,1,x,0,-,(,x,-,1),2,+1,x,0.,当,x,0,时,y,0,由,y,=(,x,+1),2,-,1,得,:,x,=,-,1+,y,+1,;,当,x,0,时,y,0,由,y,=,-,(,x,-,1),2,+1,得,:,x,=1,-,1,-,y,.,故所求反函数为,y,=,-,1+,x,+1,x,0,1,-,1,-,x,x,0.,解得,a,=,-,1.,-,4,f,(,x,),1.,5.,已知点,(,-,2,-,4),在函数,f,(,x,)=1,-,ax,2,+25(,-,5,x,0),的反函数,f,-,1,(,x,),的图象上,试讨论,f,-,1,(,x,),的单调性,.,解,:,由已知,点,(,-,4,-,2),在函数,f,(,x,)=1,-,ax,2,+25,的,图象上,.2=1,-,16,a,+25.,f,(,x,)=1,-,25,-,x,2,.,-,5,x,0,x,=,-,25,-,(,y,-,1),2,(,-,4,y,1).,由,y,=,f,(,x,)=1,-,25,-,x,2,得,f,-,1,(,x,),=,-,25,-,(,x,-,1),2,(,-,4,x,1).,令,t,(,x,)=25,-,(,x,-,1),2,易知,t,(,x,),是,-,4,1,上的增函数,.,又,y,=,-,t,是减函数,f,-,1,(,x,),=,-,25,-,(,x,-,1),2,是,-,4,1,上的减函数,.,解,:,(1),x,1,故,f,-,1,(,x,),的定义域,是,0,1).,f,(,x,),的值域是,0,1).,又对任意的,x,1,x,2,0,1,),且,x,1,x,2,有,:,6.,已知函数,f,(,x,)=(),2,(,x,1),f,-,1,(,x,),是,f,(,x,),的反函数,g,(,x,)=,+,x,+2,求,:(1),f,-,1,(,x,),的定义域和单调区间,;(2),g,(,x,),的最,小值,.,x,+1,x,-,1,f,-,1,(,x,),1,0,1.,x,+1,x,-,1,0,(),2,1.,x,+1,x,-,1,即,0,f,(,x,)1.,由,y,=(),2,(,x,1),得,:,x,+1,x,-,1,=,y,x,1,x,-,1,解得,:,x,=(0,y,1).,1+,y,1,-,y,f,-,1,(,x,)=(0,x,1).,1+,x,1,-,x,x,1,x,2,1,-,x,2,0,1,-,x,1,2,1,-,x,2,2,.,1,-,x,1,2,1,-,x,2,2,-,1+,-,1+.,即为,:,f,-,1,(,x,1,),f,-,1,(,x,2,).,0,1),是,f,-,1,(,x,),的单调增区间,.,解,:,(2),由已知,g,(,x,)=,+,x,+2,1,-,x,1+,x,2 2.,仅当,x,=3,-,2 2,时取等号,.,当,x,=3,-,2 2,时,g,(,x,),取得最小值,2 2.2,1+,x,+1+,x,(0,x,0,解不等式,:,f,-,1,(,x,)log,2,.,1+2,x,a,2,x,-,1,k,1+,x,解,:,(1),由已知,f,(0)=0,解得,a,=1;,(2),当,a,=1,时,f,(,x,)=(,x,R,),2,x,+1,2,x,-,1,设,y,=,f,(,x,),则,2,x,y,+,y,=2,x,-,1,2,x,(1,-,y,)=1+,y,(,y,1),2,x,=,1,-,y,1+,y,1,-,y,1+,y,x,=log,2,2,x,+1,2,x,-,1,=1,-,(,-,1,1),2,x,+1,2,又,f,-,1,(,x,)=log,2,(,1,x,log,2,得,k,1+,x,k,1+,x,1,-,x,1,+,x,-,1,x,1.,-,1,x,1,-,k,又,k,0,当,0,k,2,时,1,-,k,x,1,原不等式的解集为,(1,-,k,1);,当,k,2,时,-,1,x,0),和定义在,R,上的奇函数,g,(,x,),当,x,0,时,g,(,x,)=,f,(,x,),试求,g,(,x,),的反函数,.,解,:,当,x,0,时,g,(,x,)=,f,(,x,)=2,-,x,且有,0,g,(,x,)1;,g,(,x,)=,-,g,(,-,x,)=,-,2,-,(,-,x,),=,-,2,x,且有,-,1,g,(,x,)0.,当,x,=0,时,g,(0)=0,;,当,x,0,g,(,x,)=0,x,=0,2,-,x,x,0,-,2,x,x,0.,g,-,1,(,x,)=0,x,=0,-,log,2,x,0,x,1,log,2,(,-,x,),-,1,x,0.,