高中数学 第三章 函数的应用 31 函数与方程课件 新人教A版必修1 课件.ppt

3.1,函数与方程,(1),函数零点的定义,对于函数,y,f,(,x,)(,x,D,),，把使,的实数,x,叫做函数,y,f,(,x,)(,x,D,),的零点,.,(2),几个等价关系,方程,f,(,x,),0,有实数根,函数,y,f,(,x,),的图象与,有交点,函数,y,f,(,x,),有,.,(3),函数零点的判定,(,零点存在性定理,),如果函数,y,f,(,x,),在区间,a,，,b,上的图象是连续不断的一条曲线，并且有,，那么，函数,y,f,(,x,),在区间,内有零点，即存在,c,(,a,，,b,),，使得,，这个,也就是方程,f,(,x,),0,的根,.,1.,函数的零点,知识梳理,f,(,x,),0,x,轴,零点,f,(,a,),f,(,b,)0,(,a,，,b,),f,(,c,),0,c,对于在区间,a,，,b,上连续不断且,的函数,y,f,(,x,),，通过不断地把函数,f,(,x,),的零点所在的区间,，使区间的两个端点逐步逼近,，进而得到零点近似值的方法叫做二分法,.,2.,二分法,f,(,a,),f,(,b,)0),的图象与零点的关系,0,0,0),的图象,与,x,轴的交点,无交点,零点个数,(,x,1,0),，,(,x,2,0),(,x,1,0),2,1,0,1.,有关函数零点的结论,(1),若连续不断的函数,f,(,x,),在定义域上是单调函数，则,f,(,x,),至多有一个零点,.,(2),连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号,.,(3),连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号,.,2.,三个等价关系,方程,f,(,x,),0,有实数根,函数,y,f,(,x,),的图象与,x,轴有交点,函数,y,f,(,x,),有零点,.,知识拓展,判断下列结论是否正确,(,请在括号中打,“,”,或,“”,),(1),函数的零点就是函数的图象与,x,轴的交点,.(,),(2),函数,y,f,(,x,),在区间,(,a,，,b,),内有零点,(,函数图象连续不断,),，则,f,(,a,),f,(,b,)0.(,),(3),只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值,.(,),(4),二次函数,y,ax,2,bx,c,(,a,0),在,b,2,4,ac,0,时没有零点,.(,),(5),若函数,f,(,x,),在,(,a,，,b,),上单调且,f,(,a,),f,(,b,)0,，则函数,f,(,x,),在,a,，,b,上有且只有一个零点,.(,),思考辨析,1.(,教材改编,),函数,的零点个数为,A.0 B.1 C.2 D.3,考点自测,答案,解析,f,(,x,),是增函数，又,f,(0),1,，,f,(1),，,f,(0),f,(1)0,，,f,(,x,),有且只有一个零点,.,2.,下列函数中既是偶函数又存在零点的是,A.,y,cos,x,B.,y,sin,x,C.,y,ln,x,D.,y,x,2,1,答案,解析,由于,y,sin,x,是奇函数；,y,ln,x,是非奇非偶函数；,y,x,2,1,是偶函数但没有零点；,只有,y,cos,x,是偶函数又有零点,.,3.(2016,吉林长春检测,),函数,f,(,x,),ln,x,x,2,的零点所在的区间是,A.(,，,1)B.(1,2)C.(2,，,e)D.(e,3),答案,解析,所以,f,(2),f,(e)0,，,4.,函数,f,(,x,),2,x,|log,0.5,x,|,1,的零点个数为,_.,答案,解析,2,由图象知两函数图象有,2,个交点，,故函数,f,(,x,),有,2,个零点,.,5.,函数,f,(,x,),ax,1,2,a,在区间,(,1,1),上存在一个零点，则实数,a,的取值,范围是,_.,答案,解析,函数,f,(,x,),的图象为直线，由题意可得,f,(,1),f,(1)0,，,题型分类深度剖析,题型一函数零点的确定,命题点,1,确定函数零点所在区间,例,1,(1)(2017,长沙调研,),已知函数,f,(,x,),ln,x,的零点为,x,0,，则,x,0,所在的区间是,A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4),答案,解析,x,0,(2,3),，故选,C.,(2)(2016,济南模拟,),设函数,y,x,3,与,y,(),x,2,的图象的交点为,(,x,0,，,y,0,),，若,x,0,(,n,，,n,1),，,n,N,，则,x,0,所在的区间是,_.,答案,解析,(1,2),易知,f,(,x,),为增函数，且,f,(1)0,，,x,0,所在的区间是,(1,2).,命题点,2,函数零点个数的判断,答案,解析,例,2,(1),函数,f,(,x,),的零点个数是,_.,2,当,x,0,时，令,x,2,2,0,，解得,x,(,正根舍去,),，,所以在,(,，,0,上有一个零点；,当,x,0,时，,f,(,x,),2,0,恒成立，,所以,f,(,x,),在,(0,，,),上是增函数又因为,f,(2),2,ln,20,，,所以,f,(,x,),在,(0,，,),上有一个零点，,综上，函数,f,(,x,),的零点个数为,2.,(2),若定义在,R,上的偶函数,f,(,x,),满足,f,(,x,2),f,(,x,),，当,x,0,1,时，,f,(,x,),x,，则函数,y,f,(,x,),log,3,|,x,|,的零点个数是,A.,多于,4 B.4C.3 D.2,答案,解析,由题意知，,f,(,x,),是周期为,2,的偶函数,.,在同一坐标系内作出函数,y,f,(,x,),及,y,log,3,|,x,|,的图象，,如图，,观察图象可以发现它们有,4,个交点，,即函数,yf,(,x,),log,3,|,x,|,有,4,个零点,.,思维升华,(1),确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法,.,(2),判断函数零点个数的方法：,解方程法；,零点存在性定理、结合函数的性质；,数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数,.,跟踪训练,1,(1),已知函数,f,(,x,),log,2,x,，在下列区间中，包含,f,(,x,),零点的区间是,A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,，,),答案,解析,因为,f,(1),6,log,2,1,60,，,f,(2),3,log,2,2,20,，,所以函数,f,(,x,),的零点所在区间为,(2,4).2),函数,f,(,x,),x,cos,x,2,在区间,0,4,上的零点个数为,A.4 B.5C.6 D.7,答案,解析,由,f,(,x,),x,cos,x,2,0,，得,x,0,或,cos,x,2,0.,又,x,0,4,，所以,x,2,0,16.,由于,cos,(,k,),0(,k,Z,),，,而在,k,(,k,Z,),的所有取值中，,故零点个数为,1,5,6.,题型二函数零点的应用,例,3,(1),函数,f,(,x,),2,x,a,的一个零点在区间,(1,2),内，则实数,a,的取值范围是,A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2),答案,解析,因为函数,f,(,x,),2,x,a,在区间,(1,2),上单调递增，,又函数,f,(,x,),2,x,a,的一个零点在区间,(1,2),内，则有,f,(1),f,(2)0,，,所以,(,a,)(4,1,a,)0,，即,a,(,a,3)0,，即,a,2,10,a,90,，解得,a,9.,又由图象得,a,0,，,0,a,9.,几何画板展示,引申探究,本例,(2),中，若,f,(,x,),a,恰有四个互异的实数根，则,a,的取值范围是,_.,答案,解析,作出,y,1,|,x,2,3,x,|,，,y,2,a,的图象如,右,：,当,x,0,或,x,3,时，,y,1,0,，,思维升华,已知函数零点情况求参数的步骤及方法,(1),步骤：,判断函数的单调性；,利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式,(,组,),；,解不等式,(,组,),，即得参数的取值范围,.,(2),方法：常利用数形结合法,.,跟踪训练,2,(1)(2016,枣庄模拟,),已知函数,f,(,x,),x,2,x,a,(,a,0),在区间,(0,1),上有零点，则,a,的取值范围为,_.,答案,解析,(,2,0),a,x,2,x,在,(0,1),上有解，,函数,y,x,2,x,，,x,(0,1),的值域为,(0,2),，,0,a,2,，,2,a,0.,(2)(2015,湖南,),若函数,f,(,x,),|2,x,2|,b,有两个零点，则实数,b,的取值范围是,_.,答案,解析,(0,2),由,f,(,x,),|2,x,2|,b,0,，得,|2,x,2|,b,.,在同一平面直角坐标系中画出,y,|2,x,2|,与,y,b,的图象，如图所示,.,则当,0,b,2,时，两函数图象有两个交点，,从而函数,f,(,x,),|2,x,2|,b,有两个零点,.,几何画板展示,题型三二次函数的零点问题,例,4,已知,f,(,x,),x,2,(,a,2,1),x,(,a,2),的一个零点比,1,大，一个零点比,1,小，求实数,a,的取值范围,.,解答,方法一,设方程,x,2,(,a,2,1),x,(,a,2),0,的两根分别为,x,1,，,x,2,(,x,1x,2,),，则,(,x,1,1)(,x,2,1)0,，,x,1,x,2,(,x,1,x,2,),10,，,由根与系数的关系，得,(,a,2),(,a,2,1),10,，,即,a,2,a,20,，,2,a,1.,方法二,函数图象大致如图，则有,f,(1)0,，,即,1,(,a,2,1),a,20,，,2,a,0,且,a,1),有两个零点，则实数,a,的取值范围是,_.,(2),若关于,x,的方程,2,2,x,2,x,a,a,1,0,有实根，则实数,a,的取值范围为,_.,(1,，,),利用转化思想求解函数零点问题,思想与方法系列,4,答案,解析,思想方法指导,(1),函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围,.,(2),“,a,f,(,x,),有解,”,型问题，可以通过求函数,y,f,(,x,),的值域解决,.,几何画板展示,(1),函数,f,(,x,),a,x,x,a,(,a,0,且,a,1),有两个零点，,即方程,a,x,x,a,0,有两个根，,即函数,y,a,x,与函数,y,x,a,的图象有两个交点,.,当,0,a,1,时，图象如图,所示，此时有两个交点,.,实数,a,的取值范围为,(1,，,).,返回,课时作业,1.,设,f,(,x,),ln,x,x,2,，则函数,f,(,x,),的零点所在的区间为,A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D3,4),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,f,(1),ln,1,1,2,10,，,f,(1),f,(2)1,，所以此时方程无解,.,综上，函数,f,(,x,),的零点只有,0,，故选,D.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.,已知三个函数,f,(,x,),2,x,x,，,g,(,x,),x,2,，,h,(,x,),log,2,x,x,的零点依次为,a,，,b,，,c,，则,A.,a,b,c,B.,a,c,b,C.,b,a,c,D.,c,a,b,答案,解析,故,f,(,x,),2,x,x,的零点,a,(,1,0).,g,(2),0,，,g,(,x,),的零点,b,2,；,方法二,由,f,(,x,),0,得,2,x,x,；,由,h,(,x,),0,得,log,2,x,x,，作出函数,y,2,x,，,y,log,2,x,和,y,x,的图象,(,如图,).,由图象易知,a,0,0,c,1,，而,b,2,，故,a,c,0),的解的个数是,A.1 B.2 C.3 D.4,答案,解析,(,数形结合法,),a,0,，,a,2,11.,而,y,|,x,2,2,x,|,的图象如图，,y,|,x,2,2,x,|,的图象与,y,a,2,1,的图象总有两个交点,.,5.,已知函数,则使方程,x,f,(,x,),m,有解的实数,m,的取值范围是,A.(1,2)B.(,，,2,C.(,，,1),(2,，,)D.(,，,1,2,，,),答案,解析,当,x,0,时，,x,f,(,x,),m,，即,x,1,m,，解得,m,1,；,当,x,0,时，,x,f,(,x,),m,，即,x,m,，解得,m,2,，,即实数,m,的取值范围是,(,，,1,2,，,).,故选,D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.,已知,x,R,，符号,x,表示不超过,x,的最大整数，若函数,f,(,x,),a,(,x,0),有且仅有,3,个零点，则实数,a,的取值范围是,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.,若函数,f,(,x,),x,2,ax,b,的两个零点是,2,和,3,，则不等式,af,(,2,x,)0,的,解集是,_.,答案,解析,f,(,x,),x,2,ax,b,的两个零点是,2,3.,2,3,是方程,x,2,ax,b,0,的两根，,f,(,x,),x,2,x,6.,不等式,af,(,2,x,)0,，即,(4,x,2,2,x,6)0,2,x,2,x,3,a,),，函数,g,(,x,),f,(,x,),b,有两个零点，,即函数,y,f,(,x,),的图象与直线,y,b,有两个交点，,结合图象,(图略,),可得,a,h,(,a,),，即,a,a,2,，,解得,a,1,，故,a,(,，,0),(1,，,).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,因为函数,f,(,x,),在,R,上单调递减，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*10.(2016,衡水期中,),若,a,1,，设函数,f,(,x,),a,x,x,4,的零点为,m,，函数,g,(,x,),log,a,x,x,4,的零点为,n,，则,的最小值为,_.,答案,解析,1,设,F,(,x,),a,x,，,G,(,x),log,a,x,，,h,(,x,),4,x,，,则,h,(,x,),与,F,(,x,),，,G,(,x,),的交点,A,，,B,横坐标分别为,m,，,n,(,m,0,，,n,0).,因为,F,(,x,),与,G,(,x,),关于直线,y,x,对称，,所以,A,，,B,两点关于直线,y,x,对称,.,又因为,y,x,和,h,(,x,),4,x,交点的横坐标为,2,，,所以,m,n,4.,又,m,0,，,n,0,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,(1),作出函数,f,(,x,),的图象；,如图所示故,f,(,x,),在,(0,1,上是减函数，而在,(1,，,),上是增函数,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(3),若方程,f,(,x,),m,有两个不相等的正根，求,m,的取值范围,.,解答,由函数,f,(,x,),的图象可知，,当,0,m,1,时，方程,f,(,x,),m,有两个不相等的正根,.,12.,关于,x,的二次方程,x,2,(,m,1),x,1,0,在区间,0,2,上有解，求实数,m,的取值范围,.,解答,显然,x,0,不是方程,x,2,(,m,1),x,1,0,的解，,00又,a,0,，,f,(,x,),a,(,x,1),2,4,4,，且,f,(1),4,a,，,f,(,x,),min,4,a,4,，,a,1.,故函数,f,(,x,),的解析式为,f,(,x,),x,2,2,x,3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,令,g,(,x,),0,，得,x,1,1,，,x,2,3.,当,x,变化时，,g,(,x,),，,g,(,x,),的变化情况如下表：,x,(0,1),1,(1,3),3,(3,，,),g,(,x,),0,0,g,(,x,),极大值,极小值,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,当,0,x,3,时，,g,(,x,),g,(1),40,，,g,(,x,),在,(3,，,),上单调递增，,g,(3),4ln 33,，,故函数,g,(,x,),只有,1,个零点且零点,x,0,(3,，,e,5,).,