高考数学一轮复习 数学归纳法(理)课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第七节 数学归纳法（理）,一、数学归纳法的适用对象,数学归纳法是用来证明关于与,有关命题的一种方法，若,n,0,是起始值，则,n,0,是,正整数,n,使命题成立的最小正整数,二、数学归纳法的步骤,用数学归纳法证明命题时，其步骤如下：,1,当,n,时，验证命题成立；,2,假设,n,时命题成立，推证,n,时,命题也成立，从而推出命题对所有的,命,题成立，其中第一步是归纳奠基，第二步是归纳递推，二者,缺一不可,k,1,从,n,0,开始的正整数,n,n,0,(,n,0,N*),k,(,k,n,0,，,k,N),数学归纳法的两个步骤各有何作用？,提示：,数学归纳法中两个步骤体现了递推思想，第一步是递推基础，也叫归纳奠基，第二步是递推的依据，也叫归纳递推,.,两者缺一不可,.,1.,数学归纳法适用于证明什么类型的命题,(,),A.,已知结论,B.,结论已知,C.,直接证明比较困难,D.,与正整数有关,答案：,D,2.,在应用数学归纳法证明凸,n,边形的对角线为,n,(,n,3),条时，,第一步检验,n,等于,(,),A.1 B.2,C.3 D.0,解析：,边数最小的凸多边形是三角形,.,答案：,C,3.,已知,f,(,n,),，则,(,),A.,f,(,n,),中共有,n,项，当,n,2,时，,f,(2),B.,f,(,n,),中共有,n,1,项，当,n,2,时，,f,(2),C.,f,(,n,),中共有,n,2,n,项，当,n,2,时，,f,(2),D.,f,(,n,),中共有,n,2,n,1,项，当,n,2,时，,f,(2),解析：,项数为,n,2,(,n,1),n,2,n,1.,答案：,D,4.,观察下列不等式：,1,由此猜测第,n,个不等式为,(,n,N,*,).,解析：,3,2,2,1,7,2,3,1,15,2,4,1,，,可猜测：,答案：,1+,5.,记凸,k,边形的内角和为,f(k,),，则凸,k,1,边形的内角和,f(k,1),f(k,),.,解析：,由凸,k,边形变为凸,k,1,边形时，增加了一个三角形，故,f(k,1),f(k,),.,答案：,1.,用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其,关键点在于,“,先看项,”,，弄清等式两边的构成规律，等式两,边各有多少项，初始,n,0,是多少,.,2.,由,n,k,到,n,k,1,时，除等式两边变化的项外还要充分利,用,n,k,时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的,步骤，从而使问题得以证明,.,设,f,(,n,),1+,求证：,f,(1),f,(2),f,(,n,1),n,f,(,n,),1(,n,2,，,n,N,*,).,按数学归纳法的步骤进行证明即可,.,【,证明,】,(1),当,n,2时，左边,f,(1),1,，,右边,21,1,1,，,左边右边，等式成立,.,(2),假设,n,k,时，结论成立，即,f,(1),f,(2),f,(,k,1),k,f,(,k,),1,，,那么，当,n,k,1,时，,f,(1),f,(2),f,(,k,1),f,(,k,),k,f,(,k,),1,f,(,k,),(,k,1),f,(,k,),k,(,k,1),f,(,k,1),k,(,k,1),f,(,k,1),(,k,1),(,k,1),f,(,k,1),1,，,当,n,k,1,时结论仍然成立,.,f,(1),f,(2),f,(,n,1),n,f,(,n,),1(,n,2,，,n,N,*,).,1.,用数学归纳法证明,2,2,4,2,6,2,(2,n,),2,(,n,1)(2,n,1).,证明：,(1),当,n,1,时，左边,2,2,4,，右边,12,3,4,，,左边右边，即,n,1,时，等式成立,.,(2),假设当,n,k,(,k,N,*,，,k,1),时等式成立，,即,2,2,4,2,6,2,(2,k,),2,k,(,k,1)(2,k,1),，,那么当,n,k,1,时，,2,2,4,2,(2,k,),2,(2,k,2),2,k,(,k,1)(2,k,1),4(,k,1),2,(,k,1),k,(2,k,1),6(,k,1),(,k,1)(2,k,2,7,k,6),(,k,1)(,k,2)(2,k,3),(,k,1)(,k,1),12(,k,1),1,，,即,n,k,1,时，等式成立,.,由,(1),、,(2),可知，等式对所有的,n,N,*,都成立,.,用数学归纳法证明与,n,有关的不等式一般有两种具体形式：,一是直接给出不等式，按要求进行证明；,二是给出两个式子，按要求比较它们的大小,.,对第二类形式往往要先对,n,取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个,n,值开始都成立的结论，再用数学归纳法证明,.,用数学归纳法证明：,利用假设后，要注意不等式的放大和缩小,.,【,证明,】,(1),当,n,1,时，左式,1,，右式 ,1,，,即命题成立,.,(2),假设当,n,k,(,k,N,*,),时命题成立，即,则当,n,k,1,时，,即,n,k,1,时，命题成立,.,由,(1)(2),可知，命题对所有,n,N,*,都成立,.,又,1+,2.,设数列,a,n,满足,a,n,1,na,n,1,，,n,1,2,3,，,(1),当,a,1,2,时，求,a,2,，,a,3,，,a,4,，并由此猜想出,a,n,的一个通,项公式；,(2),当,a,1,3,时，证明对所有的,n1,，有,a,n,n,2.,解：,(1),由,a,1,2,，得,a,2,a,1,1,3,，,由,a,2,3,，得,a,3,2a,2,1,4,，,由,a,3,4,，得,a,4,3a,3,1,5,，,由此猜想,a,n,的一个通项公式：,a,n,n,1(n1).,(2),证明：用数学归纳法证明：,当,n,1,时，,a,1,3,1,2,，不等式成立,.,假设当,n,k,时不等式成立，即,a,k,k,2,，,那么，,a,k,1,a,k,(a,k,k),1(k,2)(k,2,k),1k,3,，,也就是说，当,n,k,1,时，,a,k,1,(k,1),2.,根据,和,，对于所有,n1,，都有,a,n,n,2.,“,归纳,猜想,证明,”,的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式,.,其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明,.,这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用,.,其关键是归纳、猜想出公式,.,已知等差数列,a,n,的公差,d,大于,0,，且,a,2,，,a,5,是方程,x,2,12x,27,0,的两根，数列,b,n,的前,n,项和为,T,n,，且,T,n,1,(1),求数列,a,n,，,b,n,的通项公式；,(2),设数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，试比较 与,S,n,1,的大小，并说,明理由,.,(1),求得,a,2,、,a,5,的值即可得,a,n,的表达式，再利用,T,n,T,n,1,b,n,求出,b,n,的通项公式；,(2),首先求出,S,n,1,与 的表达式，先进行猜想，再进行证明,.,【,解,】,(1),由已知得,又,a,n,的公差大于,0,，,a,5,a,2,.,a,2,3,，,a,5,9.,化简，得,b,n,b,n,是首项为 ，公比为 的等比数列，,S,n,1,(n,1),2,以下比较 与,S,n,1,的大小：,当,n,1,时,当,n,2,时，,当,n,3,时，,当,n,4,时，,猜想：,n4,时，,S,n,1,.,下面用数学归纳法证明：,当,n,4,时，已证,.,假设当,n,k(k,N,*,，,k,4),时，,S,k,1,，,即 ,(,k,1),2,，那么，,n,k,1,时，,3,k,2,6,k,3,(,k,2,4,k,4),2,k,2,2,k1,(,k,1),1,2,S,(,k,1),1,，,n,k,1,时，,S,n,1,也成立,.,由可知,n,N,*,，,n,4,时，,S,n,1,成立,.,综上所述，当,n,1,2,3,时，,S,n,1,，,当,n,4,时，,S,n,1,.,3.,设,S,n,是数列,的前,n,项的和,.,是否存在关于正整数,n,的函数,f,(,n,),，使,S,1,S,2,S,n,1,f,(,n,)(,S,n,1),对于大于,1,的正整数,n,都成立？并证明你的结论；,解：,假设存在,f,(,n,),，使等式成立,.,当,n,2,时，,S,1,f,(2)(,S,2,1),，,即,1,f,(2)(1,1),，解得,f,(2),2.,当,n,3,时，,S,1,S,2,f,(3)(,S,3,1),，,即,1,1,f,(3)(1,1),，,f,(3),3.,猜想,f,(,n,),n,(,n,2).,下面用数学归纳法证明：当,n,2,时，等式,S,1,S,2,S,n,1,n,(,S,n,1),恒成立,.,当,n,2,时，由上面计算知，等式成立,.,假设,n,k,(,k,2),时，等式成立，即,S,1,S,2,S,k,1,k,(,S,k,1),，,则,S,1,S,2,S,k,1,S,k,k,(,S,k,1),S,k,(,k,1),S,k,k,(,k,1)(,S,k,1,),k,(,k,1),S,k,1,1,kk,1)(,S,k,1,1),即,n,k,1,时，等式也成立,.,由知，对一切,n,2,，等式都成立,.,故存在,f,(,n,),n,，使,S,1,S,2,S,n,1,f,(,n,)(,S,n,1),对大于,1,的正整数,n,都成立,.,数学归纳法是证明关于正整数,n,的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，因而成为高考的热点之一,.,纵观近几年的高考题，数学归纳法不可能在解答题中单独命题，往往与函数、不等式、数列结合命题,.2009,年安徽卷第,21,题利用数学归纳法确定参数范围，代表了一种新的命题方向,.,(2009,安徽高考,),首项为正数的数列,a,n,满足,a,n,1,3),，,n,N,.,(1),证明：若,a,1,为奇数，则对一切,n,2,，,a,n,都是奇数；,(2),若对一切,n,N,都有,a,n,1,a,n,，求,a,1,的取值范围,.,解,(1),证明：已知,a,1,是奇数，假设,a,k,2,m,1,是奇数，其中,m,为正整数，,则由递推关系得,a,k,1,m,(,m,1),1,是奇数,.,根据数学归纳法，对任何,n,N,，,a,n,都是奇数,.,(2),法一：,由,a,n,1,a,n,(,a,n,1)(,a,n,3),知，,a,n,1,a,n,当且仅当,a,n,1,或,a,n,3.,若,0,a,k,1,，则,0,a,k,1,若,a,k,3,，则,ak,1,根据数学归纳法，,0,a,1,1,0,a,n,1,，,n,N,，,a,1,3,a,n,3,，,n,N,.,综合所述，对一切,n,N,都有,a,n,1,a,n,的充要条件是,0,a,1,1,或,a,1,3.,法二：,由,a,2,得 ,4,a,1,3,0,，,于是,0,a,1,1,或,a,1,3.,因为,a,1,0,，,a,n,1,，所以所有的,a,n,均大于,0,，因此,a,n,1,a,n,与,a,n,a,n,1,同号,.,根据数学归纳法，,n,N,，,a,n,1,a,n,与,a,2,a,1,同号,.,因此，对一切,n,N,都有,a,n,1,a,n,的充要条件是,0,a,1,1,或,a,1,3.,本题不能算是一道难题，但考生临场发挥的并不理想，主要存在以下问题,.,(1),基础知识不扎实，应用数学归纳法解题的意识不强，本题要解决的是,“,对一切,n,2”,，对一切,“,n,N,”,的情况,.,符合用数学归纳法解题的特征,.,(2),数学归纳法的解题步骤掌握不好，如解,(1),题时没有注明,a,1,是奇数，而这一步是归纳奠基，是应用数学归纳法的前提,.,(3),不能很好的应用归纳假设，特别是解,(1),题时很多考生没能想到令,a,k,2,m,1,，并用,m,表示出,a,k,1,.,