高考数学专题复习精课件—导数的应用(1)(文) 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,导数的应用,一、复习目标,理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念,并会用导数求多项式函数的单调区间、极值及闭区间上的最值,.,会利用导数求最大值和最小值的方法,解决某些简单实际问题,.,二、重点解析,(4),用,f,(,x,)=0,的根,将,f,(,x,),的定义域分成若干个区间,列表考查各区间上,f,(,x,),的,符号,进而确定,f,(,x,),的单调区间,.,注意若,f,(,x,),在,(,a,b,),(,b,c,),单调递增,(,减,),且,f,(,x,),在,x,=,b,处连续,则,f,(,x,),在,(,a,c,),单调递增,(,减,),.,1.,利用导数判断单调性的一般步骤,:,(1),确定函数的定义域,;,(2),求导数,f,(,x,),;,(3),求,f,(,x,)=0,的根,;,2.,求函数极值的步骤,:,(3),检查上面求出的,x,的两侧导数的符号,如果左正右负,那么,f,(,x,),在该点处取极大值,如果左负右正,那么,f,(,x,),在该点处取极小值,.,(1),求导数,f,(,x,),;,(2),求出,f,(,x,)=0,或,f,(,x,),不存在的所有的点,;,3.,连续函数,f,(,x,),在,a,b,上有最大值和最小值,求最值的一 般步骤,:,4.,解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数,把“问题情景”译为数学语言,找出问题的主要关系,并把问题的主要关系近似化、形式化,抽象成数学问题,再化归为常规问题,选择合适的数学方法求解,.,(1),求极值,;,(2),把极值和,f,(,a,),f,(,b,),相比较,最大的一个为最大值,最小的一个为最小值,;,1.,函数的单调性,三、知识要点,(1),(,函数单调性的充分条件,),设函数,y,=,f,(,x,),在某个区间内可导,如果,f,(,x,)0,则,y,=,f,(,x,),为,增,函数,如果,f,(,x,)0(,x,0,).,显然,f,(,x,)=,x,3,在,(,-,1,1),上仍旧是增函数,.,极大值与极小值统称为,极值,.,是函数,f,(,x,),的一个,极小值,记作,:,y,极小值,=,f,(,x,0,),如果对,x,0,附近的所有点,都有,f,(,x,),f,(,x,0,),就说,f,(,x,0,),2.,函数极值的定义,设函数,f,(,x,),在点,x,0,及其附近有定义,如果对,x,0,附近的所有点,都有,f,(,x,)0,右侧,f,(,x,)0,那么,f,(,x,0,),是,极大值,;,(2),如果在,x,0,附近的左侧,f,(,x,)0,那么,f,(,x,0,),是,极小值,.,一般地,当函数,f,(,x,),在点,x,0,处连续时,4.,求可导函数,f,(,x),的极值的步骤,:,(1),确定函数的定义域,;,(3),求方程,f,(,x,)=0,的根,;,5.,函数的,最大值与最小值,在闭区间,a,b,上连续的函数,f,(,x,),在,a,b,上必有最大值与最小值,.,但在开区间,(,a,b,),内连续的函数,f,(,x,),不一定有最大值与最小值,例如,f,(,x,)=,x,x,(,-,1,1).,6.,设函数,f,(,x,),在,a,b,上连续,在,(,a,b,),内可导,求,f,(,x,),在,a,b,上的,最大值与最小值的,步骤如下,:,(1),求,f,(,x,),在,(,a,b,),内的极值,;,(2),将,f,(,x,),的各极值与,f,(,a,),f,(,b,),比较,其中最大的一个是,最大,值,最小的一个是最小值,.,(2),求导数,f,(,x,);,(4),检查,f,(,x,),在方程,f,(,x,)=0,的根左右的值的符号,如果左正右负,那么,f,(,x,),在这个根处取得极大值,;,如果左负右正,那么,f,(,x,),在这个根处取得极小值,.,典型例题,1,已知函数,f,(,x,)=,ax,3,+3,x,2,-,x,+1,在,R,上是减函数,求,a,的取值范围,.,解,:,由已知,f,(,x,)=3,ax,2,+6,x,-,1,.,而,3,ax,2,+6,x,-,10,(,x,R),当,f,(,x,)0(,x,R),时,f,(,x,),是减函数,.,由,y,=,x,3,在,R,上为增函数知,a,=,-,3,时,f,(,x,)(,x,R,),是减函数,.,a,-,3,时,在,R,上存在一个区间,其上有,f,(,x,)0,当,a,-,3,时,f,(,x,),不是减函数,.,综上所述,a,的取值范围是,(,-,-,3,.,a,0,=36+12,a,0,恒成立,(2),y,=,x,3,-,3,x,+3,x,-,.,3,2,5,2,f,(,x,),在,-,1,1,上单调递增,.,f,(,x,),min,=,f,(,-,1)=,-,12,f,(,x,),max,=,f,(1)=2.,(2),y,=,3,x,2,-3.,令,y,=,0,得,x,=,-,1,或,1.,-,1,1,-,3,2,5,2,且当,x,取,-,-,1,1,时的函数值分别为,3,2,5,2,5,1,.,8,33,8,89,当,x,=1,时,y,min,=1,当,x,=,时,y,max,=.,5,2,8,89,典型例题,3,已知,a,为实数,f,(,x,)=(,x,2,-,4)(,x,-,a,).(1),求导函数,f,(,x,);(2),若,f,(,-,1,)=0,求,f,(,x,),在,-,2,2,上的最大值和最小值,;(3),若,f,(,x,),在,(,-,-,2,和,2,+,),上都是递增的,求,a,的取值范围,.,解,:,(1),由已知,f,(,x,)=,x,3,-,ax,2,-,4,x,+4,a,f,(,x,)=3,x,2,-,2,ax,-,4.,(2),由,f,(,-,1,)=0,得,a,=,.,1,2,f,(,x,)=3,x,2,-,x,-,4.,由,f,(,x,)=0,得,x,=,-,1,或,.,4,3,f,(,-,2,)=0,f,(,-,1,)=,f,(,)=,-,f,(,2,)=0,9,2,4,3,27,50,f,(,x,),在,-,2,2,上的最大值为,最小值为,-,.,9,2,27,50,(3),f,(,x,),的图象为开口向上的抛物线且过点,(0,-,4),由题设得,f,(,-,2,),0,且,f2,),0,.,8+4,a,0,且,8,-,4,a,0.,-,2,a,2,.,故,a,的取值范围是,-,2,2,.,典型例题,4,又,f,(,x,),的图象过点,P(0,1),此时,f,(,x,)=,ax,4,+,cx,2,+1,偶函数,f,(,x,)=,ax,4,+,bx,3,+,cx,2,+,dx,+,e,的图象过点,P(0,1),且在,x,=1,处的切线方程为,y,=,x,-,2,(1),求,y,=,f,(,x,),的解析式,;(2),求,y,=,f,(,x,),的极大,(,小,),值,.,函数,在,x,=1,处的切线方程为,y,=,x,-,2,切线的斜率为,1.,解,:,(1),f,(,x,),是偶函数,b,=,d,=0.,e,=1.,f,(,x,)=4,ax,3,+2,cx,.,1=,f,(1)=4,a,+2,c,.,即,4,a,+2,c,=1.,切线的切点在曲线上,a,+,c,+1=,-,1.,由,得,:,a,=,c,=,-,.,5,2,9,2,9,2,5,2,f,(,x,)=,x,4,-,x,2,+1.,典型例题,4,由,f,(,x,)=0,得,:,当,x,变化时,f,(,x,),f,(,x,),的变化情况如下表,:,解,:,(2),由,(1),知,f,(,x,)=10,x,3,-,9,x,.,当,x,=0,时,f,(,x,),极大值,=1.,x,=0,或,.,3,10,10,由上表可知,:,当,x,=,时,f,(,x,),极小值,=,-,;,3,10,10,11,10,x,f,(,x,),f,(,x,),10,3,(,-,-,),10,3,10,3,10,3,10,3,10,3,-,(,-,0),0,(0,),(,+),-,0,+,0,-,0,+,极小值,极大值,极小值,偶函数,f,(,x,)=,ax,4,+,bx,3,+,cx,2,+,dx,+,e,的图象过点,P(0,1),且在,x,=1,处的切线方程为,y,=,x,-,2,(1),求,y,=,f,(,x,),的解析式,;(2),求,y,=,f,(,x,),的极大,(,小,),值,.,典型例题,5,设,t,0,点,P(,t,0),是函数,f,(,x,)=,x,3,+,ax,与,g,(,x,)=,bx,2,+,c,的图象的一个公共点,两函数的图象在点,P,处有相同的切线,.(1),用,t,表示,a,b,c,;(2),若函数,y,=,f,(,x,),-,g,(,x,),在,(,-,1,3),上单调递减,求,t,的取值范围,.,解,:,(1),函数,f,(,x,),的图象过点,P(,t,0),f,(,t,)=0,t,3,+,at,=0.,t,0,a,=,-,t,2,.,又,函数,g,(,x,),的图象也过点,P(,t,0),g,(,t,)=0,bt,2,+,c,=0.,c,=,ab,.,两函数的图象在点,P,处有相同的切线,f,(,t,)=,g,(,t,).,而,f,(,x,)=3,x,2,+,a,g,(,x,)=2,bx,3,t,2,+,a,=2,bt,.,将,a,=,-,t,2,代入上式得,b,=,t,.,c,=,ab,=,-,t,3,.,综上所述,a,=,-,t,2,b,=,t,c,=,-,t,3,.,(2),方法一,y,=,f,(,x,),-,g,(,x,)=,x,3,-,tx,2,-,t,2,x,+,t,3,.,y,=3,x,2,-,2,tx,-,t,2,=(3,x,+,t,)(,x,-,t,).,当,y,=(3,x,+,t,)(,x,-,t,)0,时,y,=,f,(x,),-,g,(,x,),为减函数,.,由,y,0,则,-,x,t,;,若,t,0,则,t,x,-,.,3,t,3,t,函数,y,=,f,(,x,),-,g,(,x,),在,(,-,1,3),上单调递减,(,-,1,3)(,-,t,),或,(,-,1,3)(,t,-,).,3,t,3,t,t,3,或,-,3.,3,t,t,3,或,t,-,9.,t,的取值范围是,(,-,-,9,3,+,).,(2),方法二,y,=,f,(,x,),-,g,(,x,)=,x,3,-,tx,2,-,t,2,x,+,t,3,.,y,=(3,x,+,t,)(,x,-,t,).,函数,y,=,f,(,x,),-,g,x,),在,(,-,1,3),上单调递减,y,=(3,x,+,t,)(,x,-,t,),的图象是开口向上的抛物线,y,=(3,x,+,t,)(,x,-,t,),0,对于,x,(,-,1,3),恒成立,.,则,y,|,x,=,-,1,0,且,y,|,x,=3,0.,即,(,-,3+,t,)(,-,1,-,t,),0,且,(9+,t,)(3,-,t,),0.,解得,t,3,或,t,-,9.,t,的取值范围是,(,-,-,9,3,+,).,典型例题,6,已知函数,f,(,x,)=,ax,3,+,cx,+,d,(,a,0),是,R,上的奇函数,当,x,=1,时,f,(,x,),取得极值,-,2.(1),求,f,(,x,),的单调区间和极大值,;(2),证明,:,对任意,x,1,x,2,(,-,1,1),不等式,|,f,(,x,1,),-,f,(,x,2,)|4,恒成立,.,(1),解,:,函数,f,(,x,),是,R,上的奇函数,f,(,-,x,)=,-,f,(,x,),即,-,ax,3,-,cx,+,d,=,-,ax,3,-,cx,-,d,对,x,R,恒成立,.,d,=0.,f,(,x,)=,ax,3,+,cx,f,(,x,)=3,ax,2,+,c,.,当,x,=1,时,f,(,x,),取得极值,-,2,f,(1)=,-,2,且,f,(1)=0.,a,+,c,=,-,2,且,3,a,c,=0.,a,=1,c,=,-,3.,f,(,x,)=3,x,2,-,3.,由,f,(,x,)0,得,-,1,x,0,得,x,1.,f,(,x,),在,(,-,-,1),上是增函数,在,(,-,1,1),上是减函数,在,(1,+,),上是增函数,.,当,x,=,-,1,时,f,(,x,),取得极,大,值,f,(,-,1)=2.,故,函数,f,(,x,),的单调递减区间是,(,-,1,1),单调递增区间是,(,-,-,1),和,(1,+,);,f,(,x,),的极大值为,2.,典型例题,6,已知函数,f,(,x,)=,ax,3,+,cx,+,d,(,a,0),是,R,上的奇函数,当,x,=1,时,f,(,x,),取得极值,-,2.(1),求,f,(,x,),的单调区间和极大值,;(2),证明,:,对任意,x,1,x,2,(,-,1,1),不等式,|,f,(,x,1,),-,f,(,x,2,)|4,恒成立,.,(2),证,:,由,(1),知,f,(,x,)=,x,3,-,3,x,在,-,1,1,上是减函数,且,f,(,x,),在,-,1,1,上的最大值,M,=,f,(,-,1)=2,f,(,x,),在,-,1,1,上的最小值,m,=,f,(1)=,-,2,对任意,x,1,x,2,(,-,1,1),不等式,|,f,(,x,1,),-,f,(,x,2,)|4,恒成立,.,解,:,(1),由已知,f,(,x,)=3,ax,2,+,2,bx,-,3,依题意得,f,(,-,1)=,f,(1)=0.,解得,a,=1,b,=0.,3,a,-,2,b,-,3=0,且,3,a,+2,b,-,3=0.,f,(,x,)=3,x,2,-,3,.,由,f,(,x,)0,得,-,1,x,0,得,x,1.,f,(,x,),在,(,-,-,1),上是增函数,在,(,-,1,1),上是减函数,在,(1,+,),上是增函数,.,f,(,-,1)=2,是极大值,f,(1)=,-,2,是极小值,.,点,A(0,16,),不在曲线上,.,设切,点为,M(,x,0,y,0,),则,y,0,=,x,0,3,-,3x,0,.,f,(,x,0,)=3,x,0,2,-,3,.,切线方程为,y,-,(,x,0,3,-,3,x,0,)=(3,x,0,2,-,3)(,x,-,x,0,),.,点,A(0,16,),在切线上,16,-,(,x,0,3,-,3,x,0,)=(3,x,0,2,-,3)(,-,x,0,),.,化简得,x,0,3,=,-,8,.,x,0,=,-,2,.,切线方程为,y,-,(,-,8+6)=9(,x,+2),即,9,x,-,y,+16=0,.,课后练习,2,已知向量,a,=(,x,2,x,+1),b,=(1,-,x,t,).,若,函数,f,(,x,)=,a,b,在区间,(,-,1,1),是增函数,求,t,的取值范围,.,解,:,由题设,f,(,x,)=,x,2,(1,-,x,)+,t,(,x,+1),=,-,x,3,+,x,2,+,tx,+,t,.,f,(,x,)=,-,3,x,2,+2,x,+,t,.,函数,f,(,x,),在区间,(,-,1,1),是增函数,f,(,x,),0,即,-,3,x,2,+2,x,+,t,0,亦即,t,3,x,2,-,2,x,对,x,(,-,1,1),恒成立,.,考虑函数,g,(,x,)=3,x,2,-,2,x,x,(,-,1,1).,g,(,x,),的图象是开口向上的抛物线,对称轴为直线,x,=,1,3,故,t,3,x,2,-,2,x,对,x,(1,1),恒成立等价于,t,g,(,-,1),即,t,5,.,而当,t,5,时,f,(,x,),在,(,-,1,1),上满足,f,(,x,)0,故,t,的取值范围是,5,+,).,即,f,(,x,),在,(,-,1,1),是增函数,课后练习,3,已知函数,f,(,x,)=,x,3,+,bx,2,+,cx,+,d,的图象过点,P(0,2),且在点,M(,-,1,f,(,-,1),处的切线方程为,6,x,-,y,+7=0,(1),求函数,y,=,f,(,x,),的解析式,;(2),求函数,y,=,f,(,x,),的单调区间,.,解,:,(1),函数,f,(,x,),的图象过点,P(0,2),f,(0)=2,d,=2.,f,(,x,)=,x,3,+,bx,2,+,cx,+,2,f,(,x,)=3,x,2,+2,bx,+,c,.,f,(,x,),图象,在点,M(,-,1,f,(,-,1),处的切线方程为,6,x,-,y,+7=0,-,6,-,f,(,-,1)+7=0,即,f,(,-,1)=1,且,f,(,-,1)=6.,3,-,2,b,+,c,=6,且,-,1+,b,-,c,+2=1.,即,2,b,-,c,=,-,3,且,b,-,c,=0.,b,=,c,=,-,3.,f,(,x,)=,x,3,-,3,x,2,-,3,x,+,2.,(2),由,(1),知,f,(,x,)=3,x,2,-6,x,-,3.,令,f,(,x,)0,得,x,1+2,.,令,f,(,x,)0,得,1,-,2,x,1+2,;,f,(,x,),的单调递增区间为,(,-,1,-,2,),和,(1+2,+,).,f,(,x,),的单调递减区间为,(1,-,2,1+2,);,课后练习,4,解,:,(1),由已知,f,(,x,)=3,ax,2,+,2,bx,-,2,函数,f,(,x,),在,x,=,-,2,x,=1,处取得极值,12,a,-,4,b,-,2=0,且,3,a,+2,b,-,2=0.,由,f,(,x,)0,得,-,2,x,0,得,x,1.,y,=,f,(,x,),的单调递减区间是,(,-,2,1);单调递增区间是,(,-,-,2,),和,(1,+,).,f,(,-,2)=,f,(1)=0.,(2),由,(1),知,f,(,x,)=,x,2,+,x,-,2,.,解得,a,=,b,=,.,1,2,1,3,f,(,x,)=,x,3,+,x,2,-,2,x,.,1,2,1,3,课后练习,5,设函数,f,(,x,)=,x,3,+,ax,2,+,bx,+,c,的图象如图所示,且与,x,轴在原点相切,若函数极小值为,-,4,(1),求,a,b,c,的值,;(2),求函数的递减区间,.,解,:,(1),函数,f,(,x,),的图象,过原点,c,=0.,函数,f,(,x,),的图象,与直线,y,=0,相切,f,(,x,)=3,x,2,+2,ax,+,b,0=,f,(0)=3,0,2,+2,a,0+,b,.,b,=0.,f,(,x,)=3,x,2,+2,ax,.,令,f,(,x,)=0,得,x,=0,或,x,=,-,a,.,2,3,故由已知可得当,x,=,-,a,时,函数有极小值,-,4.,2,3,-,4,=(,-,a,),3,+,a,(,-,a,),2,.,2,3,2,3,解得,a,=,-,3.,故,a,b,c,的值分别为,-,3,0,0.,(2),由,(1),知,f,(,x,)=3,x,2,-,6,x,=3,x,(,x,-,2).,令,f,(,x,)0,得,0,x,2.,函数的递减区间,为0,2).,x,y,o,课后练习,6,解,:,(1),f,(,x,)=,-,3,x,2,+2,ax,+,b,又当,x,=,-,2,时,f,(,-,2)=2,即,(,-,2,2),在曲线上,切线斜率,k,=,f,(,-,2)=,-,8.,故所求切线方程为,y,-,2=,-,8(,x,+2).,已知函数,f,(,x,)=,-,x,3,+,ax,2,+,bx,在区间,(,-,2,1),内,当,x,=,-,1,时取得极小值,x,=,时取得极大值,.(1),求函数,y,=,f,(,x,),在,x,=,-,2,时的对应点的切线方程,;(2),求函数,f,(,x,),在,-,2,1,上的最大值与最小值,2,3,函数,f,(,x,),当,x,=,-,1,时取得极小值,x,=,时取得极大值,2,3,-,1,和 为方程,-,3,x,2,+2,ax,+,b,=0,的两根,.,2,3,-,1+,=,a,-,1 =,-,.,2,3,2,3,2,3,b,3,解得,:,a,=,-,b,=2.,1,2,f,(,x,)=,-,x,3,-,x,2,+2,x,.,1,2,即,8,x,+,y,+14=0.,课后练习,6,当,x,=,-,2,时,函数,f,(,x,),在,-,2,1,上取得最大值,2;,解,:,(2),由,(1),知函数,f,(,x,),在,-,2,1,上的最值只可能在点,-,2,-,1,和,1,处取得,.,2,3,3,2,f,(,-,2)=2,f,(,-,1)=,-,f,()=,f,(1)=,其中,2,最大,-,3,2,2,3,1,2,27,32,最小,3,2,当,x,=,-,1,时,函数,f,(,x,),在,-,2,1,上取得最小值,-,.,已知函数,f,(,x,)=,-,x,3,+,ax,2,+,bx,在区间,(,-,2,1),内,当,x,=,-,1,时取得极小值,x,=,时取得极大值,.(1),求函数,y,=,f,(,x,),在,x,=,-,2,时的对应点的切线方程,;(2),求函数,f,(,x,),在,-,2,1,上的最大值与最小值,.,2,3,