1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,“杨辉三角”,与二项式系数的性质,复习,二项式定理,(,a,+,b,),n,=,C,n,0,a,n,+,C,n,1,a,n-1,b,1,+,C,n,k,a,n-k,b,k,+,C,n,n,b,n,展形式的第,k+1,项为,T,k+1,=,C,n,k,a,n-k,b,k,计算,(,a+b,),n,展开式的二项式系数并填入下表,n,(,a+b,),n,展开式的二项式系数,1,2,3,4,5,6,1,6,15,20,15,6,1,1,5,10,10,5,1,1,4,6,4,1,1,3,3,1,1,2,1,1,1,
2、对称性,(,a,+,b,),1,(,a,+,b,),2,(,a,+,b,),3,(,a,+,b,),4,(,a,+,b,),5,(,a,+,b,),6,议一议,1,）请看系数有没有明显的规律？,2,）,上下两行有什么关系吗？,3,）,根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗,?,每行两端都是,1,C,n,0,=,C,n,n,=1,从第二行起，每行除,1,以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和,C,n+1,m,=C,n,m,+C,n,m-1,(,a,+,b,),1,(,a,+,b,),2,(,a,+,b,),3,(,a,+,b,),4,(,a,+,b,),5,(,a,+,b,),6,+,+,+,+
3、杨辉三角,九章算术,杨辉,详解九章算法,中记载的表,杨辉三角,二项式系数的性质,展开式的二项式系数依次是：,从函数角度看，可看成是以,r,为自变量的函数,其定义域是：,当 时，其图象是右图中的,7,个孤立点,对称性,与首末两端,“,等距离,”,的两个二项式系数相等,这一性质可直接由公式,得到,图象的对称轴：,二项式系数的性质,增减性与最大值,由于,：,所以 相对于 的增减情况由 决定,二项式系数的性质,由,：,二项式系数,前,半部分是,逐渐增大,的，由对称性可知它的,后,半部分是,逐渐减小,的，且,中间项取得最大值,。,可知，当 时，,二项式系数的
4、性质,增减性与最大值,因此,当,n,为偶数时,中间一项的二项式,系数,取得最大值；,当,n,为奇数时,中间两项的二项式系数,相等，且同时取得最大值。,增减性与最大值,二项式系数的性质,各二项式系数的和,在二项式定理中，令 ，则：,这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于,：,同时由于 ，上式还可以写成：,这是组合总数公式,二项式系数的性质,例,证明在,(,a,+,b,),n,展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。,在二项式定理中，令 ，则：,特值法,1.(1-,x,),13,的展开式中系数最小的项是,(),(,A),第,6,项,(,B),第,7,项（,C,）,第,8,项,(,D),第,9,项,2.,一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有,20,个灯泡，只要有一个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为 （）,(,A)20 (B)2,19,（,C,）,2,20,(D)2,20,1,C,D,练习,4,或,5,-2,-,1094,1093,练习,变式,:,若将“只有第,10,项”改为“第,10,项”呢？,解,(1),二项式系数的三个性质,(2),数学思想：函数思想,a,单调性；,b,图象；,c,最值。,小结,两个计数原理,排列，排列数公式,组合，组合数公式,二项式定理,应用,
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