直线的方程.ppt

7.2,直线的方程（,1,）,数学组,一,.,复习回顾,直线的方程与方程的直线,直的倾斜角和斜率,概念辨析,7.2,直线的方程,(1),4,5,斜率公式,斜率公式的形式特点及适用范围,确定一条直线需要具备几个独立条件,6,以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线叫做这个方程的直线。,直线的方程与方程的直线,直线的倾斜角和斜率,在平面直角坐标系中，对于一条与,x,轴相交的直线，如果把,x,轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为 ，那么 就叫做直线的倾斜角。,倾斜角不是,90,的直线，它的,倾斜角的正切,叫做这条直线的斜率，常用,K,表示。,斜 率 公 式,经过两点,p,1,(x,1,，,y,1,),，,p,2,(x,2,，,y,2,),的直线的斜率公式：,4,5,斜率公式的形式特点及适用范围,斜率公式与两点的顺序无关，,即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次序可同时颠倒；,斜率公式表明，直线对于,x,轴的倾斜程度，,可以通过直线上任意两点坐标表示，而不需求出直线的倾斜角；,斜率公式是研究直线方程各种形式的基础，必须熟记，,并且会灵活运用,;,当,x,1,=x,2,y,1,y,2,时，直线的倾斜角,90,0,，没有斜率,.,确定一条直线需要具备几个独立条件,6,1,直线经过一个已知点及方向（即斜率）,;,2,直线经过两个已知点；,如果把直线当作结论，如何根据这些条件求出直线方程？,7.2,直线的方程,若直线,L,经过点,P,1,（,1,，,2,），且斜率为,1,，求直线,L,的方程,.,思考,1,、直线方程的点斜式和斜截式,若直线,L,经过点,p,1,(x,1,y,1,),，且斜率为,k,，求,L,的方程？,问题,1,平面上的所有直线是否都可以用点斜式表示？,问题,2,：,1,、直线方程的点斜式和斜截式,讨论,：（,1,）区别方程 与方程 。,（,2,）直线的斜率,k=0,时，方程如何？,（,3,）点斜式方程有狭隘性？哪方面？,（,4,）直线的斜率不存在时，方程如何？,k,x,x,y,y,=,-,-,1,1,),(,1,1,x,x,k,y,y,-,=,-,不能,因为斜率可能不存在,.,因此,在具体运用时应根据情况,分类,讨论,避免遗漏,.,纵截距,：,直线,L,与,Y,轴交点的纵坐标。,横截距：,直线,L,与,X,轴交点的横坐标。,已知直线的斜率为,K,，与,Y,轴的交点是,P,（,0,，,b,），,求直线,L,的方程？,说明,：,(1),上述方程是由直线,L,的斜率和它的纵截距确定的，叫做直线的方程的,斜截式。,(2),纵截距可以大于,0,，也可以等于,0,或小于,0,。,问题,3,：,1,、直线方程的点斜式和斜截式,(3),斜截式与点斜式存在什么关系？斜截式是点斜式的特殊情况，某些情况下用,斜截式比用点斜式更方便,.,(4),斜截式在形式上与一次函数的表达式一样，但它们之间有什么差别？,什么情况下，斜截式方程才是一次函数的表达式,.,例,1:,一条直线经过点,P,1,(-2,3),，倾斜角,=45,0,，,求这条直线的方程,.,例,2:,写出下列直线的斜截式方程，并画出图形：,斜率是,1/2,，在轴上的距截是,2,；,斜角是,135,0,，在轴上的距截是,3,例题,如果直线,l,的倾斜角为,0,，那么经过一点,P,1,(x,1,，,y,1,),的直线,l,的方程为 。,y=y,1,如果直线,l,的倾斜角为,90,，那么经过一点,P,1x,1,，,y,1,),的直线,l,的方程为 。,x=x,1,一条直线经过点,P,（,-2,，,3,），倾斜角为,45,，求这条直线的方程，并画出图形。,课堂练习,(一）,写出下列直线的点斜式方程；,（,1,）经过点,A,（,2,，,5,），斜率是,4,；,（,2,）经过点,B,（,3,，,-1,），斜率是 ；,（,3,）经过点,C,（,-,，,2,），倾斜角是,30,；,（,4,）经过点,D,（,0,，,3,），倾斜角是,0,；,（,5,）经过点,E,（,4,，,-2,），倾斜角是,120,；,答案,（二）,（三）,（,1,）已知直线的点斜式方程是,y-2=x-1,那么直线的斜率是,_,倾斜角是,_,(2)已知直线的点斜式方程是,那么直线的斜率是_倾斜角是_，,1,45,o,150,o,(3).,下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是,(),A.x=3 B.y=,5 C.2y=x D.x=4y,1,B,(4),已知直线的斜率,k=2,，,P,1,(3,5),P,2,(x,2,7),P,3,(-1,y,3,),是这条,直线上的三点，求,x,2,y,3,.,3,3,-,小结,方程,y-y,1,=k(x-x,1,),是由直线上一点和直线的斜率确定的，所以叫做直线方程的,点斜式；,方程,y=kx+b,是由直线,l,的斜率和它在,y,轴上的截距确定的，所以叫做直线方程的,斜截式；,求直线方程应注意分类：,(),当,k,存在时,经过点,P,1,(x,1,，,y,1,),的方程为,y-y,1,=k(x-x,1,),；,(),当,k,不存在时，经过点,P,1,(x,1,，,y,1,),的方程为,x=x,1,。,方程,y=kx+b,是,y-y,1,=k(x-x,1,),的特殊情况，其图形是直线，运用它们解决问题的,前提是,k,存在,。,通过上面的学习和应用，请同学们总结一下，确定一条直线需要几个独立的条件？,小结,y-y,0,=k(x-x,0,),y=kx+b,点,(x,0,y,0,),斜率,k,截距,b,斜率,k,k,存在,k,存在,2,一直线过点,A(-1,-3),其倾斜角等于直线,y=2x,倾斜角的两倍，求直线,l,的方程,.,1,直线,y=ax+b(a+b=0),的图象是,(),1,-,1,-,1,A,B,C,D,课前练习,2,、直线方程的,两点式,和截距式,已知直线上两点,A(x,1,y,1,),B(x,2,y,2,),(x,1,x,2,),求直线方程,.,范围的区别,应用直线方程的点斜式，求经过下列两点的直线方程：,A(2,1),B(6,-3),；,A(-4,-5),B(0,0),两点式,),(,1,1,2,1,2,1,x,x,x,x,y,y,y,y,-,-,-,=,-,1,2,1,1,2,1,x,x,x,x,y,y,y,y,-,-,=,-,-由于这个方程是由直线上两点确定的,探究,1,：哪些直线不能用两点式表示？,探究,2,：若要包含倾斜角为,90,0,或,0,的直线，,应把两点式变成什么形式,？,探究,3,：我们推导两点式是通过点斜式推导出来的，,还有没有其他的途径来进行推导呢？,2,、直线方程的,两点式,和截距式,例,1:,求过下列两点的直线的两点式方程，,再化为斜截式方程,.,（,1,）,A,（,2,1,），,B,（,0,，,3,）；,（,2,）,A,（,1,，,2,），,B,（,3,4,）,（,3,）,A,（,0,5,），,B(5,0),；,（,4,）,A(a,0)B(0,b),（,a,b,均不为,0,）,2,、直线方程的,两点式,和截距式,例题,2,、直线方程的两点式和,截距式,直线与,x,轴交于一点（,a,0,）,定义,a,为直线在,x,轴上的截距,；,直线与,y,轴交于一点（,0,b,）定义,b,为直线在,y,轴上的截距,.,以上直线方程是由直线在,x,轴和,y,轴上的截距确定的，,所以叫做直线方程的截距式,.,由这两个特殊点，如何求直线的方程？有何特征？,1,=,+,b,y,a,x,探究,4,：,a,b,表示截距，是不是表示直线,与坐标轴的两个交点到原点的距离,？,探究,5,：有没有截距式不能表示的直线？,2,、直线方程的两点式和,截距式,例,3,、,说出下列直线的方程，并画出图形,.,倾斜角为,450,，在轴上的截距为,0,；,在,x,轴上的截距为,5,，在,y,轴上的截距为,6,；,在,x,轴上截距是,3,，与,y,轴平行；,在,y,轴上的截距是,4,，与,x,轴平行,.,2,、直线方程的,两点式和截距式,例题,例,2,、,三角形的顶点是,A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),求这个三角形三边所在的直线方程,.,2,、直线方程的,两点式和截距式,.,.,;,1,.,;,),)(,(,),)(,(,),(,),(,.,;,),(,),(,.,),(,1,2,1,1,2,1,2,2,2,1,1,1,0,0,0,0,0,表示,用,经过定点的直线都可以,表示,以用方程,不经过原点的直线都可,表示,都可以用方程,的点的直线,经过任意两个不同,表示,方程,的直线都可以用,经过定点,题是,下列四个命题中的真命,b,kx,y,D,b,y,a,x,C,y,y,x,x,x,x,y,y,y,x,P,y,x,P,B,x,x,k,y,y,y,x,P,A,+,=,=,+,-,-,=,-,-,-,=,-,补充练习,B,2,、直线方程的,两点式和截距式,补充练习,过点,P(2,1),作直线,L,交,x,y,正半轴于,A,B,两点，当,|PA|,.|PB|,取到最小值时，求直线,L,的方程。,已知直线的斜率为,1/6,，且和坐标轴围成面积为,3,的三角形，求该直线的方程。,3 一条直线经过A(1,2)，且与两坐标轴的正半轴所,围成的三角形面积是4，求这条直线的方程。,1,=,+,b,y,a,x,通过上面的学习和应用，请同学们总结一下，确定一条直线需要几个独立的条件？,小结,P,1,(x,1,y,1,),P,2,(x,2,y,2,),x,轴上的截距,y,轴上的截距,1,2,1,1,2,1,x,x,x,x,y,y,y,y,-,-,=,-,-,2,1,2,1,y,y,x,x,a,0,且,b,0,3,、直线方程的一般形式,P(x,1,y,1,),及,k,k及b,P(x,1,y,1,),及,P,2,(x,2,y,2,),a及b,a,0,且,b,0,直线方程有几种形式？指明它们的条件及应用范围,.什么叫二元一次方程？直线与二元一次方程有什么关系,?,),(,1,1,x,x,k,y,y,-,=,-,存在,k,b,kx,y,+,=,存在,k,1,2,1,1,2,1,x,x,x,x,y,y,y,y,-,-,=,-,-,2,1,2,1,y,y,x,x,1,=,+,b,y,a,x,3,、直线方程的一般形式,问题,1,：平面内的任一条直线，一定可以用,以上四种形式之一来表示吗？,问题,2,：是否存在某种形式的直线方程，,它能表示平面内的任何一条直线？,P(x,1,y,1,),及,k,k及b,P(x,1,y,1,),及,P,2,(x,2,y,2,),a及b,a,0,且,b,0,什么叫二元一次方程？直线与二元一次方程有什么关系,?,),(,1,1,x,x,k,y,y,-,=,-,存在,k,b,kx,y,+,=,存在,k,1,2,1,1,2,1,x,x,x,x,y,y,y,y,-,-,=,-,-,2,1,2,1,y,y,x,x,1,=,+,b,y,a,x,问题,1,：平面内的任一条直线，一定可以用,以上四种形式之一来表示吗？,问题,2,：是否存在某种形式的直线方程，,它能表示平面内的任何一条直线？,探究2：在平面直角坐标系中，任何直线的方程,都可以表示成Ax+By+C=0 (A、B不全,为0)的形式吗？,探究1：方程Ax+By+C=0 (A、B不全为0),总表示直线吗？,Ax+By+C=0其中,A,、,B,、,C,是常数，,A,、,B,不全为,0),的形式，叫做直线方程的一般式,3,、直线方程的一般形式,3,、直线方程的一般形式,例题,解：经过点,A,（,6,，,-4,）并且斜率等于,-4/3,的直线方程的点斜,式是,y+4=-4/5,（,x 6,）,化成一般式，得,4x+3y 12=0,例,1,、,已知直线经过点,A,（,6,，,-4,），斜率为,-4/3,，,求直线的点斜式和一般式方程,.,注意,对于直线方程的一般式，一般作如下约定：,x,的系数为正，,x,y,的系数及常数项一般不出现分数，一般按含,x,项，含,y,项、常数项顺序排列,.,2.,已知直线,Ax+By+C0,(1),当,B,0,时，斜率是多少,?,当,B,0,时呢,?,(2),系数取什么值时，方程表示通过原点的直线,?,补充练习,斜率是,1/2,，经过点,A,（,8,，,-2,）；,经过点,B,（,4,，,2,），平行于,X,轴；,在,X,轴和,Y,轴上的截距分别是,3/2,，,-3,；,经过两点,P,1,（,3,，,-2,），,P,2,（,5,，,-4,）；,根据下列条件写出直线的方程，并且化成一般式：,3,、直线方程的一般形式,例题,解：将原方程移项，得,2y=x+6,，,两边除以,2,，得斜截式,因此，直线,L,的斜率,k=1/2,，它在,Y,轴上的截距是,3,，,令,y=0,，可得,x=-6,即直线,L,在,X,轴上的截距是,-6,x,y,o,3,-6,例,2,、,把直线,l,的方程,x 2y+6=0,化成斜截式，,求出直线,l,的斜率和它在,X,轴与,Y,轴上的截,距，并画图,.,3,2,1,+,=,x,y,3,、直线方程的一般形式,例题,例,3,、,设直线,L,的方程为,（,m,2,-2m-3,）,x+,（,2m,2,+m-1,）,y=2m-6,，根据下列,条件确定,m,的值：,（,1,）,L,在,X,轴上的截距是,-3,；（,2,）斜率是,-1.,解,：（,1,）由题意得,(,2),由题意得,当,m=,1,时，,2m,2,+m,1=0,，,m-1,m =4/3,3,3,2,6,2,2,-,=,-,-,-,m,m,m,(,),(,),6,2,3,3,2,2,-,=,-,.,-,-,m,m,m,3,5,3,-,=,=,m,m,或,解得,0,3,2,3,2,=,-,-,=,m,m,m,时,而当,3,5,3,-,=,m,m,1,3,2,3,2,2,2,-,=,-,+,-,-,m,m,m,m,0,),1,2,(,3,2,2,2,=,-,+,+,-,-,m,m,m,m,3,4,1,=,-,=,m,m,或,解得,补充练习,求下列直线的斜率和在,Y,轴上的截距，并画出图形：,3x+y-5=0 x/4,y/5=1 x+2y=0,7x,6y+4=0 2y,7=0,3,、直线方程的一般形式,例题,例,4,、,利用直线方程的一般式，求过点,(0,3),并且,与坐标轴围成三角形面积是,6,的直线方程,.,解：设直线为,Ax+By+C=0,，,直线过点（,0,，,3,）代入直线方程得,3B=-C,，,B=,C/3,A=C/4,又直线与,X,，,Y,轴的截距分别为,x=-C/A,Y=-C/B,由三角形面积为,6,得,方程为,O,X,Y,3,所求直线方程为,3x-4y+12=0,或,3X+4y-12=0,12,2,=,AB,C,0,3,4,=,+,-,C,y,C,x,C,