(走向清华北大)高考总复习 导数的应用课件.ppt

第,*,页 共 56 页,第十五讲导数的应用,回归课本,1.,函数的单调性与导数,在区间,(a,b),内,函数的单调性与其导数的正负关系,:(1),如果,f(x)0,那么,y=f(x),在这个区间内单调递增,.(2),如果,f(x)0,那么函数,y=f(x),在这个区间内单调递减,.(3),如果,f(x)=0,那么,f(x),在这个区间内为常数,.,2.,函数的极值与导数,(1),函数极值的定义,若函数,f(x),在点,x=a,处的函数值,f(a),比它在点,x=a,附近其他点的函数值,都小,且,f(a)=0,而且在,x=a,附近的左侧,f(x)0,则,a,点叫函数的极小值点,f(a),叫做函数的极小值,.,若函数,f(x),在点,x=b,处的函数值,f(b),比它在点,x=b,附近其他点的函数值,都大,且,f(b)=0,而且在,x=b,附近的左侧,f(x)0,右侧,f(x)0,右侧,f,(x)0,那么,f(x,0,),是极大值,.,如果在,x,0,附近左侧,f,(x)0,那么,f(x,0,),是极小值,.,如果,f,(x),在点,x,0,的左,右两侧符号不变,则,f(x,0,),不是函数极值,.,3.,函数的最值与导数,(1),函数,f(x),在,a,b,上有最值的条件,如果在区间,a,b,上函数,y=f(x),的图象是一条,连续不断,的曲线,那么它必有最大值和最小值,.,(2)求函数,y=f(x),在,a,b,上的最大值与最小值的步骤,求函数,y=f(x),在,(a,b),内的,极值,.,将函数,y=f(x),的各极值与,端点处的函数值,f(a),、,f(b),比较,其中,最大,的一个是最大值,最小,的一个是最小值,.,4.,解决优化问题的基本思路,考点陪练,1.,已知函数,f(x)=x,3,+ax,2,+3x-9,且在,x=-3,时取得极值,则,a,的值为,(),A.2B.3,C.4D.5,解析,:,由题意得,f(x)=3x,2,+2ax+3.,又,f(x),在,x=-3,时取得极值,所以,f(-3)=30-6a=0,解得,a=5.,故选,D.,答案,:D,2.2010,重庆统考,),已知函数,f(x)=x,3,-3x,则函数,f(x),在区间,-2,2,上的最大值是,(),A.0B.1,C.2D.3,解析,:f(x)=3x,2,-3,当,x-2,-1,或,1,2,时,f(x)0,f(x),单调递增,;,当,x(-1,1),时,f(x)0,f(x),单调递减,.,故极大值为,f(-1)=2,极小值为,f(1)=-2,又因为,f(-2)=-2,f(2)=2,f(x),在,-2,2,上的最大值为,2.,答案,:C,3.f(x),是定义在,(-,+),上的可导的奇函数,且满足,xf(x)0,f(1)=0,则不等式,f(x)0,的解为,(),A.(-,-1)(0,1),B.(-1,0)(1,+),C.(-,-1)(1,+),D.(-1,0)(0,+),解析,:,由,xf(x)0,时,f(x)0,时,由,f(x)1,又因为函数为奇函数,故当,x0,时,不等式,f(x)x-1,故选,B.,答案,:B,答案,:C,5.,已知函数,f(x),的导函数的图象如图所示,则下列说法正确的有,_,.,函数,f(x),在区间,(-3,1),内单调递减,;,函数,f(x),在区间,(1,7),内单调递减,;,当,x=-3,时,函数,f(x),有极大值,;,当,x=7,时,f(x),有极小值,.,解析,:,由图象可得,在区间,(-3,1),内,f(x),的导函数值大于零,所以,f(x),单调递增,;,在区间,(1,7),内,f(x),的导函数值小于零,所以,f(x),单调递减,;,在,x=-3,左右的导函数符号不变,所以,x=-3,不是函数的极大值点,;,在,x=7,左右的导函数符号由负到正,所以函数,f(x),在,x=7,处有极小值,.,故填,.,答案,:,类型一函数的单调性,解题准备,:,求函数单调区间的基本步骤是,:,确定函数,f(x),的定义域,;,求导数,f(x);,由,f(x)0(,或,f(x)0,时,f(x),在相应的区间上是单调递增函数,;,当,f(x)0,时,f(x),在相应的区间上是单调递减函数,.,【,典例,1】,已知函数,f(x)x,3,-ax-1.,(1),若,f(x),在实数集,R,上单调递增,求实数,a,的取值范围,;,(2),是否存在实数,a,使,f(x),在,(-1,1),上单调递减,?,若存在,求出,a,的取值范围,;,若不存在,说明理由,.,分析,第,(1),问由,f(x),在,R,上是增函数知,f(x)0,在,R,上恒成立,进而转化为最值问题,;(2),作法同第,(1),问,.,解,(1),由已知,f(x)=3x,2,-a,f(x),在,(-,+),上是单调增函数,f(x)=3x,2,-a0,在,(-,+),上恒成立,即,a3x,2,对,xR,恒成立,.,3x,2,0,只需,a0,又,a=0,时,f(x)=3x,2,0,f(x)=x,3,-1,在,R,上是增函数,a0.,(2),由,f(x)=3x,2,-a0,在,(-1,1),上恒成立,得,a3x,2,x(-1,1),恒成立,.,-1x1,3x,2,3,只需,a3.,当,a3,时,f(x)=3x,2,-a,在,x(-1,1),上恒有,f(x)0(f(x)0,f(x),单调递增,f(x)0,f(x),单调递减,.,第,(2),问转化为,f(x),极小值,m0,此时,f(x),为增函数,;,当,x(1,2),时,f(x)0,此时,f(x),为增函数,因此在,x=2,处函数取得极小值,.,结合已知,可得,x,0,=2.,错源二误认为导数为零的点就是极值点,【,典例,2】,求函数,f(x)=x,4,-x,3,的极值,并说明是极小值还是极大值,.,剖析,错解中的错误有两点,认为导数为零的点就是极值点,其实,并非如此,.,导数为零只是该点是极值点的必要不充分条件,;,极大值大于极小值,这也是不准确的,.,极值仅描述函数在该点附近的情况,.,技法一解决与不等式有关的问题,【,典例,1】,当,x0,时,证明不等式,ln(1+x)x-,x,2,成立,.,解题切入点,欲证,x0,时,ln(1+x)x-,x,2,可以证,F(x)=ln(1+x)-(x-,x,2,)0,易知,F(0)=0,因此可以考虑,F(x),在,0,+),上是增函数,.,证明,设f(x)=ln(1+x),g(x)=x-,x,2,F(x)=f(x)-g(x),F(x)=f(x)-g(x)=,.,当,x0,时,F(x)=,0.,所以,F(x),在,0,+),上是增函数,.,故当,x0,时,F(x)F(0)=0,方法与技巧,运用导数证明不等式是一类常见题型,主要是根据欲证不等式的题设特点构造函数,利用导数判定函数的单调性进而求解,.,技法二解决与函数周期有关的问题,【,典例,2】,设,f,0,(x)=sinx,f,1,(x)=f,0,(x),f,2,(x)=f,1,(x),f,n+1,(x)=f,n,(x),nN,则,f,2005,(x),等于,(),A.sinxB.-sinx,C.cosxD.-cosx,解析,f,0,(x)=sinx,f,1,(x)=f,0,(x)=cosx,f,2,(x)=f,1,(x)=-sinx,f,3,(x)=f,2,(x)=-cosx,f,4,(x)=f,3,(x)=sinx.,所以,f,n,(x),的周期为,4.,所以,f,2005,(x)=f,4501+1,=f,1,(x)=cosx.,故选,C.,答案,C,方法与技巧,本题是一个关于三角函数的求导问题,这里要利用函数的周期性,.,刚开始求解不一定能看出周期性,这需要借助我们平时的做题经验,由此可见,在平时的学习中要善于总结,.,技法三解决与方程有关的问题,【,典例,3】,方程,x,3,-3x+a=0(a,为常数,),在区间,0,1),上,(),A.,无实根,B.,有唯一实根,C.,至多有一个实根,D.,有两个实根,解析,设,f(x)=x,3,-3x+a,则,f(x)=3x,2,-3,在,0,1),上恒为负,所以,f(x),在,0,1),上单调递减,.,故选,C.,答案,C,