1、第八章,平面解析几何初步,直线与圆的综合应用,第,49,讲,直线与圆相切,【,例,1】,点评,【,变式练习,1】,已知圆,x,2,y,2,2,x,2,y,1,0,，点,A,(2,a,0),，,B,(0,2,b,),，且,a,1,，,b,1.,(1),若圆与直线,AB,相切时，求线段,AB,的中点的轨迹方程；,(2),若圆与直线,AB,相切，且,AOB,面积最小时，求直线,AB,的方程及,AOB,面积的最小值,直线和圆的方程的综,合应用,【,例,2】,已知圆,C,：,x,2,y,2,2,x,ay,1,0,，过定点,P,(0,1),作斜率为,1,的直线交圆,C,于,A,、,B,两点，,
2、P,为线段,AB,的中点,(1),求,a,的值；,(2),设,E,为圆,C,上异于,A,、,B,的任意一点，求圆,C,的内接三角形,ABE,的面积的最大值,点评,本题较好地考查了直线与圆的交点弦及圆内接三角形面积的最值第,(1),问的顺利解决得益于代入求差法：已知曲线的弦的中点为定点，斜率为定值，则设弦的端点坐标，代入曲线方程，两式相减，斜率,都出来了，,因而可以方便地求出参数,a,的值；第,(2),问可以先求出直线,CP,的方程，然后求直线,CP,与圆的两个交点坐标，取能使到直线,AB,距离最大的一个点,E,的坐标，再求,|,EP,|,即可，但用三角代换的方法显然容易得多,.,动圆性质的探究
3、例,3】,已知,t,R,，圆,C,：,x,2,y,2,2,tx,2,t,2,y,4,t,4,0.,(1),若圆,C,圆心在直线,x,y,2,0,上，求圆,C,的方程；,(2),圆,C,是否过定点？如果过定点，求出定点的坐标；如果不过定点，说明理由,【,解析,】,(1),圆,C,的方程可化为,(,x,t,),2,(,y,t,2,),2,t,4,t,2,4,t,4,，,其圆心为,(,t,，,t,2,),，,则由题意有,t,t,2,2,0,，所以,t,1,或,t,2,，,故圆,C,的方程为,(,x,1),2,(,y,1),2,10,或,(,x,2),2,(,y,4),2,16.,点评,动圆过定
4、点问题有两种解法：,一是,先从动圆系中取出两个已知圆，求出它们的交点坐标，再将求得的坐标代入动圆中验证；,二是,将动圆方程改写为关于参数,t,的等式，再利用多项式恒等理论列出关于,x,，,y,的方程组，解得定点坐标,【,变式练习,4】,已知圆,C,：,x,2,y,2,2,x,4,y,4,0,，问是否存在斜率为,1,的直线,l,，使,l,被圆,C,截得弦,AB,，以,AB,为直径的圆经过原点，若存在，写出直线,l,的方程；若不存在，请说明理由,1.,过点,P,(0,1),与圆,x,2,y,2,2,x,3,0,相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是,_,2.,已知直线,l,：,x,y,4
5、0,与圆,C,：,(,x,1),2,(,y,1),2,2,，则,C,上各点到,l,的距离的最大值与最小值之差为,_,x,y,1,0,5.,已知圆,x,2,y,2,2,x,4,y,3,0.,(1),若圆,C,的切线在,x,轴上和,y,轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程；,(2),从圆,C,外一点,P,(,x,，,y,),向圆引一条切线，切点为,M,，,O,是坐标原点，且有,|,PM,|,|,PO,|,，求使,|,PM,|,最小的,P,点坐标,1,求圆的方程通常用待定系数法若所求的圆过已知两圆的交点或一直线与圆的交点，一般用圆系方程,2,如果圆心问题转化为三角函数问题更方便求解，则将圆上的点的坐标用参数式表示，特别是求最值的问题,3,有关直线和圆的位置关系，一般要由圆心到直线的距离与半径的大小来确定,4,直线与圆所涉及的知识都是平面解析几何的最基础的内容，并渗透到解析几何的各个部分，尤其是直线与圆的位置关系等，构成了解析几何问题的基础因此，要在这些基础知识的内在的联系和基本方法的运用、通法的熟练程度上下狠功夫,
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