1、单击此处编辑母版文本样式,第五章 平面向量,向量的坐标运算,第 讲,（第二课时）,题型,4,向量的夹角,1.,在平面直角坐标系内，已知向量,=(2,，,1),，,=(1,，,7),，,=(5,，,1).,若,Z,为直线,OP,上一个动点，当 取最小值时，求,cos,AZB,的值,.,解,：因为,Z,在直线,OP,上，所以 与 共线，所以,又因为,=(1-2,，,7-,),，,同理,=(5-2,，,1-,),，,所以，,=(1-2,)(5-2,)+(7-,)(1-,),=5(,-2)2-8,，,所以当,=2,时，,(),min,=-8.,此时,=(-3,，,5),，,=(1,，,-1),，,点
2、评：,利用坐标向量求向量夹角的有关问题时，运用坐标运算先求其数量积与模的积，其中涉及到参数时，一般是转化为函数问题后，利用函数的性质进行求解，这正体现了知识之间的纵横联系,.,已知,M,(-1，0)，,N,(1，0)，动点,P,使得,求,与,的夹角,的取值范围.,解,：因为,由已知|,|=2，所以,=2.,设点,P,(,x,，,y,)，则,=(-1-,x,，-,y,)，,=(1-,x,，-,y,)，所以(-1-,x,)(1-,x,)+,y,2,=2，,即,x,2,+,y,2,=3.,所以,因为,0,x,2,3,，所以,4-,x,2,1,，,2,，,从而,cos,，,1,所以,0,.,题型,5,
3、向量的坐标运算与三角函数交汇,2.,已知,x,R,向量,f,(,x,)=,，,a,0.,(1),求函数,f,(,x,),的解析式，并求当,a,0,时，,f,(,x,),的单调递增区间；,(2),当,x,0,时，,f,(,x,),的最大值为,5,，求,a,的值,.,解,：,当,即 时，,f,(,x,),为增函数,即,f,(,x,),的单调递增区间为,(,k,Z,).,(2),由,(1),知,f,(,x,)=2,a,sin(2,x,+).,当,x,0,时，,2,x,+,.,若,a,0,当,2,x,+=,时,f,(,x,),的最大值为,2,a,=5,，,则,a,=,；,若,a,0,当,2,x,+,时
4、f,(,x,),的最大值为,-,a,=5,则,a,=-5.,点评：,向量既是数形结合的一种工具，也是各知识综合的一个平台,.,向量与三角函数的交汇综合，是近几年高考中的一个亮点,.,如本题就是利用向量的数量积转换已知条件，综合考查了向量的运算、三角函数的化简、三角函数的性质等知识,.,设,a,=(1+cos,，,sin,),，,b,=(1-cos,，,sin,),，,c,=(1,，,0),，其中,(0,，,),，,(,，,2,).,记,a,与,c,的夹角为,1,，,b,与,c,的夹角为,2,，若,1,-,2,=,，求,-,的值,.,解,：由题设，,因为,所以,因为 所以,所以,1,.,数量积是向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系；而向量的夹角、长度是向量的数量特征,.,利用数量积可以求以下几类问题：,判断两向量是否垂直或共线；,计算向量的长度或平面内两点间的距离；,求两向量的夹角；,用来证明三角形中与边角有关的命题,.,2,.,向量的垂直、平行关系要记牢,.,实质上，平面解析几何中两直线的垂直与平行的关系就类似于向量的垂直、平行关系，要注意区别向量平行与直线平行的关系,.,3,.,明确运用向量的数量积求线线角、线面角及二面角的思路及运用平面的法向量与直线夹角求线面角的方法,.,
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