高三数学一轮复习 8.36 椭圆的简单几何性质课件 理 大纲人教版 课件.ppt

掌握椭圆的简单几何性质,第,36,课时 椭圆的简单几何性质,标准方程,1,(,a,b,0),(,a,b,0),范围,a,x,a,，,b,y,b,a,y,a,，,b,x,b,对称性,坐标轴是椭圆的对称轴，,原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的,顶点,椭圆的,与椭圆的交点叫做椭圆的,.,离心率,e,中心,对称轴,顶点,1,已,知,F,1,、,F,2,是椭圆的两个焦点，过,F,1,且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于,A,、,B,两点，若,ABF,2,是正三角形，则这个椭圆的离心率是,(,),解析：,设椭圆方程为 ,1,，则过,F,1,且与椭圆长轴垂直的通径,|,AB,|,若,ABF,2,是正三角形，则,2,c,，即,a,2,2,ac,c,2,0,，,(,a,c,)(,a,c,),0,，,e,.,答案：,A,近一点,P,轨进入以月球球心,F,为一个焦点的椭圆轨道,绕月飞行，,之后卫星在,P,点第二次变轨进入仍以,F,为一个焦点的椭圆,轨道,绕月飞行，最终卫星在,P,点第三次变轨进入以,F,为圆心的圆形轨道,绕月飞行，若用,2,c,1,和,2,c,2,分别表示,椭轨道,和,的焦距，用,2,a,1,和,2,a,2,分别表示椭圆轨道,和,的长轴的长，给出下列式子：,a,1,c,1,a,2,c,2,；,a,1,c,1,a,2,c,2,；,c,1,a,2,a,1,c,2,；,.,其中正确式子的序号是,(,),A,B,C,D,解析：,由焦点到顶点的距离可知,正确，由椭圆的离心率知,正确，故应 选,B.,答案：,B,2,如,图所示，,“,嫦娥一号,”,探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附,3,椭,圆 ,1,上任意一点到焦点,F,的距离的最小值和最大值分别是,_,答案：,2,8,4,已,知,A,、,B,为椭圆,C,：,1,的长轴的两个端点，,P,是椭圆,C,上的动点，,且,APB,的最大值是 ，则实数,m,的值是,_,解析：,由椭圆几何性质知，当点,P,位于短轴的端点时,APB,取得最大值，据题意有,答案：,椭圆的离心率,e,是刻画椭圆性质的不变量，当,e,趋近于,1,时，椭圆,越扁，当,e,趋近于,0,时，椭圆越圆,与求椭圆的标准方程相比较，求椭圆的标准方程需要两个条件，而求椭圆,的离心率只需要根据一个条件得到关于,a,、,b,、,c,的齐次方程，结合,a,2,b,2,c,2,即可求出椭圆的离心率,焦点,F,的直线交椭圆于,A,、,B,两点，,OA,OB,与,a,(3,，,1),共线,(1),求椭圆的离心率；,(2),设,M,为椭圆上任意一点，且,OM,OA,OB,(,，,R,),，,证明,2,2,为定值,【,例,1,】,已,知椭圆的中心为坐标原点,O,，焦点在,x,轴上斜率为,1,且过椭圆右,解答：,(1),设,椭圆方程为 ,1(,a,b,0),，,F,(,c,0)则直线,AB,的方程为,y,x,c,，代入 ,1,，化简得,(,a,2,b,2,),x,2,2,a,2,cx,a,2,c,2,a,2,b,2,0.,令,A,(,x,1,，,y,1,),、,B,(,x,2,，,y,2,),，则,x,1,x,2,，,x,1,x,2,.,由,OA,OB,(,x,1,x,2,，,y,1,y,2,),，,a,(3,，,1),，,OA,OB,与,a,共线，得,3(,y,1,y,2,),(,x,1,x,2,),0.,又,y,1,x,1,c,，,y,2,x,2,c,，,3(,x,1,x,2,2,c,),(,x,1,x,2,),0,，,x,1,x,2,，即 ，所以,a,2,3,b,2,.,c,，故离心率,e,.,(2),证明：,由,(1),知,a,2,3,b,2,，所以椭圆 ,1,可化为,x,2,3,y,2,3,b,2,.,设,OM,(,x,，,y,),，由已知得,(,x,，,y,),(,x,1,，,y,1,),(,x,2,，,y,2,),，,M,(,x,，,y,),在椭圆上，,(,x,1,x,2,),2,3(,y,1,y,2,),2,3,b,2,.,即,2,(,x,3,y,),2,(,x,3,y,),2,(,x,1,x,2,3,y,1,y,2,),3,b,2,.,由,(1),知,x,1,x,2,c,，,a,2,c,2,，,b,2,c,2,.,x,1,x,2,x1,x,2,3,y,1,y,2,x,1,x,2,3(,x,1,c,)(,x,2,c,),4,x,1,x,2,3(,x,1,x,2,),c,3,c,2,c,2,c,2,3,c,2,0.,又,x,3,y,3,b,2,，,x,3,y,3,b,2,，代入,得,2,2,1.,故,2,2,为定值，,定值为,1.,比如,a,c,，,a,c,是椭圆上的点到其焦点距离的最大值和最小值；通径长 是过,椭圆焦点的直线被椭圆所截得的弦长的最小值等，解决与椭圆相关的最值问题一,般要化归为函数问题，然后去求函数的最值,焦点，求,|,PF,1,|,PF,2,|,的最大值和最小值,解答：,解法一：,由,椭圆的定义：,|,PF,1,|,|,PF,2,|,2,a,；,|,PF,1,|,PF,2,|,(),2,a,2,(,当且仅当,|,PF,1,|,|,PF,2,|,时等号成立,),，可知,|,PF,1,|,PF,2,|,最大值为,a,2,.,由,|,PF,1,|,2,a,|,PF,2,|,，,|,PF,1,|,PF,2,|,(2,a,|,PF,2,|)|,PF,2,|,|,PF,2,|,2,2,a,|,PF,2,|.,其中,a,c,|,PF,2,|,a,c,，当,|,PF,2,|,a,c,或,|,PF,2,|,a,c,时，,|,PF,1,|,PF,2,|,b,2,.,最小值为,b,2,.,【,例,2,】,已,知点,P,为椭圆 ,1(,a,b,0),上一点，,F,1,、,F,2,分别为椭圆的左、右,解法二：,设,P,点坐标为,(,x,0,，,y,0,),，由椭圆的第二定义可得,|,PF,1,|,a,ex,0,，,|,PF,2,|,a,ex,0,.,又,a,x,0,a,，可知当,x,0,0,时，,|,PF,1,|,PF,2,|,取到最大值,a,2,；当,x,0,a,，或,x,0,a,时，,|,PF,1,|,PF,2,|,取到最小值,b,2,.,解法三：,设,P,点坐标为,(,a,cos,，,b,sin,),，,则,|,PF,1,|,PF,2,|,a,2,c,2,cos,2,.,当,cos,2,0,时，,|,PF,1,|,PF,2,|,取到最大值,a,2,；,当,cos,2,1,时，,|,PF,1,|,PF,2,|,取到最小值,b,2,.,变式,2.,已,知,P,为椭圆 ,1(,a,b,0),上一点，,F,1,、,F,2,分别为椭圆的左、,右焦点，求,cos,F,1,PF,2,的最小值,解答：,根,据余弦定理：,cos,F,1,PF,2,所以，,cos,F,1,PF,2,的最小值为,.,a,、,b,、,c,、,e,等是刻画椭圆性质的不变量，只要椭圆的形状确定，不会由于坐标系,所建的位置不同而变化，同时焦点到准线的距离是 ，椭圆的通径长是 不变,等，在解决与椭圆相关的定值问题时，可先由特殊点和特殊位置明确证题的方向,【,例,3,】,已,知点,A,(1,1),是椭圆 ,1(,a,b,0),上一点，,F,1,、,F,2,是椭圆的两,焦点，且满足,|,AF,1,|,|,AF,2,|,4.,(1),求椭圆的两焦点坐标；,(2),设点,B,是椭圆上任意一点，如果,|,AB,|,最大时，求证,A,、,B,两点关,于原点,O,不对称；,(3),设点,C,、,D,是椭圆上两点，直线,AC,、,AD,的倾斜角互补，试判断直线,CD,的斜率是否为定值？,解答：,(1),根,据已知条件,|,AF,1,|,|,AF,2,|,4,，且,A,(1,1),为椭圆上一点知：,2,a,4,即,a,2,，,椭圆方程为 ,1又,A,(1,1),为椭圆上一点，,1,，解得：,b,2,c,.,因此椭圆两焦点坐标为,(,，,0),，,(,，,0),(2),假设椭圆存在一点,B,，使,A,、,B,两点关于原点,O,对称且,|,AB,|,为最大，则,B,点坐标为,(,1,，,1),，,|,AB,|,2,，,又椭圆左顶点,M,(,2,0),到,A,(1,1),的距离为,|,AM,|,，,|,AM,|,AB,|,与,|,AB,|,最大相矛盾，,因此,B,为椭圆上一点当,|,AB,|,取得最大值时，,A,、,B,两点不关于原点,O,对称,(3),解法一：,如,图，设,C,、,D,两点的坐标为,(,x,1,，,y,1,),，,x,2,，,y,2,),，设直线,AC,的方,程为,y,1,k,(,x,1),，即,y,k,x,1,k,代入 ,1,整理得：,(1,3,k,2,),x,2,6,k,(1,k,),x,3,k,2,6,k,1,0,，,x,1,，,y,1,k,x,1,1,k,.,将以上两个式子中,k,换为,k,得,x,2,，,y,2,，,k,CD,解法二：,如,图，设直线,CD,的方程为,y,k,x,m,代入 ,1,整理得,(3,k,2,1),x,2,6,k,mx,3,m,2,4,0.,设,C,(,x,1,，,y,1,),，,D,(,x,2,，,y,2,),，则,x,1,x,2,，,x,1,x,2,.,由直线,AC,与,AD,的倾斜角互补知,k,AC,k,AD,，即,.,整理得：,(,k,x,1,m,1)(,x,2,1),(,k,x,2,m,1)(,x,1,1),0,，即,2,k,x,1,x,2,(,m,1),k,(,x,1,x,2,),2(,m,1),0.,可整理为,(3,k,1)(,k,m,1),0.,因此,k,.,变式,3.,在,ABC,中,，,C,90,，,BC,2,AC,，,A,、,B,、,C,都是椭圆上的点，其中,A,是椭圆的左顶点，直线,BC,经过椭圆中心,(,即原点,O,),(1),求证,：,无论,AC,的长取何正实数,，,椭圆的离心率恒为定值，并求出该定值；,(2),若,PQ,是椭圆的一条弦,，,PQ,AB,，,求证,PCQ,的平均线垂直于,AO,.,证明：,(1),设椭圆方程为,1,，,则点,A,的坐标为,(,a,，,0),，,在,ABC,中,，,C,90,，,BC,2,AC,，,直线,BC,经过椭圆中心,(,即原点,O,),AC,OC,，,AOC,为等腰直角三角形,，,C,(),，,点,B,坐标为,(),，,将,C,点坐标代入椭圆方程得,b,2,a,2,，,c,2,a,2,，,离心率,e,是定值,(2),由,(1),得直线,AB,的斜率为,k,AB,，设直线,PQ,的方程为,y,x,m,，,将直线,PQ,的方程代入椭圆方程化简得,x,2,2,xm,3,m,2,a,20.,由题知,PQ,存在，,0,，且,x,P,x,Q,(3,m,2,a,2,),k,PC,与,k,QC,互为相反数,PCQ,的平分线垂直于,AO,.,1,在掌握椭圆简单几何性质的基础上，能对椭圆性质有更多的了解，如：,a,c,与,a,c,分别为椭圆上点到焦点距离的最大值和最小值；,椭圆的通径,(,过焦点垂直于长轴的弦,),长 是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得的弦长的最小值等,2,求椭圆的离心率,e,，可根据已知条件列出一个关于,a,、,b,、,c,的齐次等式，再结合,a,2,b,2,c,2,可得关于,e,的方程求解，求椭圆的离心率与求椭圆的标准方程相比较，比求椭圆的标准方程少一个条件,.,【,方法规律,】,(,本小题满分,12,分,),已知椭圆,C,：,1(,a,b,0),的左、右焦点分别是,F,1,、,F,2,，,离心率为,e,.,直线,l,：,y,ex,a,与,x,轴,、,y,轴分别交于点,A,、,B,，,M,是直线,l,与椭圆,C,的一个公共点,P,是点,F,1,关于直线,l,的对称点,设,.,(1),试证,：,1,e,2,；,(2),确定,的值，使得,PF,1,F,2,是等腰三角形,解答：,(1),证明：,因为,A,、,B,分别是直线,l,：,y,ex,a,与,x,轴,、,y,轴的交点,，,所以,A,、,B,的坐标分别是,(,，,0),，,(0,，,a,),由,这里,c,.所以点,M,的坐标是,(,c,，,),由,AM,AB,得,(,c,),(,，,a,),即,解得,1,e,2,.,【,答题模板,】,(2),因为,PF,1,l,，所以,PF,1,F,2,90,BAF,1,为钝角，要使,PF,1,F,2,为等腰三角,形，必有,|,PF,1,|,|,F,1,F,2,|,，即,|,PF,1,|,c,.,设点,F,1,到,l,的距离为,d,，由,|,PF,1,|,d,c,，,得 ,e,.,所以,e,2,，于是,1,e,2,.,即当,时，,PF,1,F,2,为等腰三角形,.,在高考中无论是客观题还是主观题对于椭圆的几何性质都有可能考查，主要涉,及到求椭圆的离心率，解决与椭圆相关的定值和最值等问题,本题主要考查求椭圆离心率的方法；你能否察觉直线,y,ex,a,是椭圆,1(,a,b,0),的切线，而切点恰好是椭圆通径的端点同时也给出了椭圆,准线的一种几何作图方法,过,B,(0,，,a,),点作椭圆的切线，切线与,x,轴的交点可确定椭圆准线的位置，其切点是,椭圆通径的端点,.,【,分析点评,】,