1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,3,2.2,用向量方法求空间中的角,学习目标,1.,理解直线与平面所成角的概念,2,能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题,课堂互动讲练,知能优化训练,3.2.1,用,向,量,方,法,求,空,间,中,的,角,课前自主学案,课前自主学案,温故夯基,1,两条异面直线所成的角的范围是,_,2,直线与平面所成的角是指这条直线与它在这个,平面内的,_,所成的角，其范围是,_,3,二面角的大小就是指二面角的平面角的大小，其范围是,_,4,已知直线,l,1,的一个方向向量为,a,(1,，,2,1),，直线
2、l,2,的一个方向向量为,b,(2,，,2,0),，则两直线所成的角为,_,.,射影,0,，,30,知新益能,1,异面直线所成角的求法,设两异面直线所成角为,，它们的方向向量分别,为,a,、,b,，则,cos,_,_,.,2,直线与平面所成角的求法,设直线,l,与平面,所成角为,，直线,l,的方向向量为,a,，平面,的法向量为,n,.,则,sin,|,cos,n,，,a,|,_,.,1,异面直线所成的角是否等于它们的方向向量所成的角？,提示：,不一定若方向向量所成角小于等于,90,则相等；若方向向量所成角大于,90,，则不相等,2,直线与平面所成角与直线的方向向量和平面法向量所成角互余吗？,
3、提示：,不一定,问题探究,课堂互动讲练,求异面直线的夹角,考点一,考点突破,两条异面直线所成角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等当两方向向量夹角为钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角,四棱锥,P,ABCD,中，,PD,平面,ABCD,，,PA,与平面,ABCD,所成的角为,60.,在四边形,ABCD,中，,ADC,DAB,90,，,AB,4,，,CD,1,，,AD,2.,(1),建立适当的坐标系，并写出点,B,、,P,的坐标；,(2),求异面直线,PA,与,BC,所成的角的余弦值,例,1,求直线与平面所成的角,考点二,例,2,【,思路点拨,】,利用正三棱柱的性质，建
4、立适当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，取,A,1,B,1,的中点,M,，连结,C,1,M,，证明,C,1,AM,是,AC,1,与平面,A,1,ABB,1,所成的角；另一种是利用平面,A,1,ABB,1,的法向量,n,(,，,x,，,y,),求解,利用向量法求二面角的步骤：,(1),建立适当的空间直角坐标系；,(2),分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；,(3),求出两个法向量的夹角；,(4),判断出所求二面角的平面角是锐角还是钝角；,(5),确定出二面角的平面角的大小,求平面与平面所成的角,考点三,例,3,(2010,年高考天津卷,),如图，在
5、长方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,，,F,分别是棱,BC,，,CC,1,上的点，,CF,AB,2,CE,，,AB,AD,AA,1,1,2,4.,(1),求异面直线,EF,与,A,1,D,所成角的余弦值；,(2),证明,AF,平面,A,1,ED,；,(3),求二面角,A,1,ED,F,的正弦值,【,思路点拨,】,解答本题首先建立空间坐标系，写出一些点的坐标，再利用向量法求解,【,名师点评,】,方法感悟,1,利用空间向量求线线角、线面角的关键是转化为直线的方向向量之间、直线的方向向量与平面的法向量之间的角，通过数量积求出，通常方法分为两种：坐标方法、基向量方法，解题时要灵活掌握,2,利用向量方法求二面角的方法分为二类：一类是找到或作出二面角的平面角，然后利用向量去计算其大小；另一类是利用二面角的两个平面的法向量所成的角与二面角的平面角的关系去求后一类需要依据图形特点建立适当的空间直角坐标系,
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