高三数学一轮复习 7-7空间向量的应用课件 理 苏教版 课件.ppt

第,7,课时空间向量的应用,理解直线的方向向量与平面的法向量,/,能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系,/,能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理,(,包括三垂线定理,)/,能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面夹角的计算问题,/,了解向量方法在研究几何问题中的作用,【,命题预测,】,1,空间向量的共线定理常常用来证明线线平行，在高考中使用向量法证明线线平行是近几年的热点,2,空间向量的共面定理常常用来证明点共面，在高考中使用向量法证明点共面也是近几年的热点解法,3,建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出题中要求的向量，来证明线线的平行、线线的垂直、线面的平行、线面的垂直，是近几年高考题中考生最为关注的解题思想,4,直线的方向向量、平面的法向量是利用向量法解题的中间环节，因此对其求解问题的方法和技巧一定要掌握,【,应试对策,】,1,对异面直线所成的角，要注意：,深刻理解异面直线所成的角的概念，领悟其所渗透的,“,空间向平面转化,”,的思想；,异面直线所成角的范围为,0,90,；,解题时，应首先考虑两条异面直线是否互相垂直，可由三垂线定理及其逆定理或线面垂直来完成；,应熟练掌握,“,平移,”,这个解法，平移的途径有取中点、作平行线、补体,(,形,),等；,理科学生应会用反三角函数表示异面直线所成的角,2,对于直线和平面所成的角，应分线在面内或线与面平行、线与面垂直、线与面斜交这三种情况，同时要注意线面角的范围是,.,3,向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化其步骤主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算,4,计算空间距离时要熟练进行各距离间的相互转化，以点线距离、点面距离为主，在计算前关键是确定垂足，作出辅助图形，再应用解三角形知识,【,知识拓展,】,立体几何综合问题的向量法处理,(1),常用方法和规律,利用向量坐标解决立体几何中的平行、垂直、求角、求距离等问题，关键是建立正确的空间直角坐标系，难点是正确表达已知点的坐标,在计算和证明立体几何问题时，若能在原图中建立适当的空间直角坐标系，把图形中的点的坐标求出来，那么图形中的有关问题可用向量表示，利用空间内向量的坐标运算来求解，这样可以避开较为复杂的空间想象,对空间任意一点,A,求其坐标的一般方法，过点,A,作,z,轴的平行线交平面,xOy,于点,B,，过点,B,分别作,x,、,y,轴的平行线，分别交,y,、,x,轴于,C,、,D,，则由,的长度和方向便可求得点,A,的坐标,用,空间向量解决立体几何问题,一般可按以下过程进行思考：,a,要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？,b,所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？,c,所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？,d,怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？,(2),常用工具,如,图,1,，若平面,的法向量为,n,，则直线,AB,与,所成角的大小为：,如图,2,，点,A,到平面,的距离等于,的斜线段,AB,在,的法向量,n,上的正射影长，即,d,|,A,1,B,1,|,a,、,b,为,异面直线，如图,3,，若,b,，,a,，,n,为,的法向量，,A,1,、,B,1,分别为,a,、,b,上两点在,n,上的正射影，则,a,、,b,的距离,d,|,A,1,B,1,|,如图,4,，设二面角,l,的两个半平面,和,的法向量分别为,m,、,n,，设二面角,l,的大小为,，则二面角的平面角与两法向量所成的角相等或互补当二面角为锐角时，,arccos,当二面角为钝角时，,arccos,1,直线的方向向量,直,线,l,上的向量,e,(,e,0),以及与,e,共线的非零向量叫做直线,l,的,向量,2,平面的法向量,如果,表示非零向量,n,的有向线段所在直线垂直于平面,，那么称向量,n,平面,，记作,n,，此时，我们把向量,n,叫做平面,的,3,三垂线定理,在,平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影,垂直，那么它也和这条斜线垂直方向,垂直于,法向量,1,正,方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,的棱长为,a,，点,M,分,的比为 ，,N,为,BB,1,的中点，,则,|,MN,|,为,_,解析：,以,D,为原点，,所在直线分别为,x,轴，,y,轴，,z,轴建立空间直角坐标系，则,A,(,a,0,0),，,C,1,(0,，,a,，,a,),，,.,又,M,分,的比为 ，,答案：,2,已,知直线,l,1,的方向向量,a,(2,4,，,x,),，直线,l,2,的方向向量,b,(2,，,y,2),，若,|,a,|,6,，且,a,b,，则,x,y,的值是,_,解析：,依题意，得 解得,x,y,1,或,3.,答案：,1或,3,3,若,直线,l,的方向向量为,a,(1,0,2),，平面,的法向量为,u,(,2,0,，,4),，则,l,与,的位置关系是,_,解析：,u,2,a,，则直线,l,与平面,的法向量平行，故,l,.,答案：,l,4,若,直线,l,的一个方向向量,a,(,1,0,2),，平面,的一个法向量为,n,(,3,0,4),，,则,l,与,所成角的正弦值为,_,解析：,所求角的正弦值为,答案,：,5,已知,二面角,l,中，其平面角为锐角，面,的一个法向量为,(2,，,2,1),，面,的一个法向量为,(1,1,1),，则二面角的平面角的余弦值,为,_,解析：,所求余弦值为,答案,：,利用直线的方向向量和平面的法向量，可以判定直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行和垂直,(1),设直线,l,1,的方向向量为,u,1,(,a,1,，,b,1,，,c,1,),，直线,l,2,的方向向量为,u,2,(,a,2,，,b,2,，,c,2,),，则,l,1,l,2,u,1,u,2,(,a,1,，,b,1,，,c,1,),k,(,a,2,，,b,2,，,c,2,)(,k,R),；,l,1,l,2,u,1,u,2,a,1,a,2,b,1,b,2,c,1,c,2,0.,(2),设直线,l,的方向向量为,u,(,a,1,，,b,1,，,c,1,),，平面,的法向量为,n,(,a,2,，,b,2,，,c,2,),，,则,l,u,n,a,1,a,2,b,1,b,2,c,1,c,2,0,；,l,u,n,(,a,1,，,b,1,，,c,1,),k,(,a,2,，,b,2,，,c,2,)(,k,R),(3),设平面,的法向量为,n,1,(,a,1,，,b,1,，,c,1,),，平面,的法向量为,n,2,(,a,2,，,b,2,，,c,2,),，则,n,1,n,2,(,a,1,，,b,1,，,c,1,),k,(,a,2,，,b,2,，,c,2,)(,k,R),；,n,1,n,2,a,1,a,2,b,1,b,2,c,1,c,2,0.,【,例,1,】,(,江苏启东中学高三质量检测,),如,图所示，在四棱锥,P,ABCD,中，底面,ABCD,为正方形，,PD,平面,ABCD,，且,PD,AB,a,，,E,是,PB,的中点,(1),在平面,PAD,内求一点,F,，使得,EF,平面,PBC,；,(2),求二面角,F,PC,E,的余弦值大小,思路点拨：,建立适当的空间直角坐标系，利用向量求解,解：,由,题意可知直线,PD,、,DC,、,DA,两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系则,B,(,a,，,a,0),，,C,(0,，,a,0),，,P,(0,0,，,a,),，,(1),设平面,PAD,内一点,F,的坐标为,(,x,0,，,z,),，则 ，,又,(,a,0,0),，,(,a,，,a,，,a,),，要使,EF,平面,PBC,，需,即,解之得 ，,F,为,AD,的中点,(2),由,(1),可知：,为平面,PCE,的一个法向量，设平面,FPC,的法向量为,n,(,p,，,q,，,r,),，,则,取,r,a,，得,q,a,，,p,2,a,，即,n,(2,a,，,a,，,a,),则,变式,1,：,(,南京市高三期末调研,),如,图所示，,PD,垂直于正方形,ABCD,所在的平面，,AB,2,，,PD,m,，记二面角,D,PB,C,的大小为,.,若,60,，求,m,的取值范围,解：,因为,PD,平面,ABCD,，,DA,DC,，所以分别以,DA,，,DC,，,DP,所在直线为,x,轴，,y,轴，,z轴建立空间直角坐标系，连接,AC,，因为,ABCD,是边长为,2,的正方形，因为,PD,m,，所以,A,(2,0,0),，,B,(2,2,0),，,C,(0,2,0),，,P,(0,0,，,m,),，,因为,PD,AC,，,BD,AC,，所以,AC,平面,PBD,.,所以,(,2,2,0),为平面,PBD,的一个法向量,(,2,0,0),，,(0,2,，,m,),，,设平面,PBC,的法向量为,n,(,a,，,b,，,c,),，,则由,得，,所以即,不妨取,c,2,，则,b,m,，向量,n,(0,，,m,2),是平面,PBC,的一个法向量,因为二面角,D,PB,C,的大小为,，,所以,|,cos,|,因为,.,所以,，所以,m,2,，,即,m,的取值范围是,(2,，,),(1),求,两条异面直线所成的角,设,a,，,b,分别是两异面直线,l,1,，,l,2,的方向向量，则,l,1,与,l,2,的夹角,满足,cos,(2),求直线与平面所成的角,设直线,l,的方向向量为,a,，平面,的法向量为,n,，直线,l,与平面,所成的角为,，,则,sin,(3),求,二面角的大小,若,分别是二面角,l,的两个面内与棱,l,垂直的异面直线，,则二面角的大小就是向量,AB,与,CD,的夹角,(,如图,),设,n,1,，,n,2,分别是二面角,l,的两个面,，,的法向量，则向量,n,1,与,n,2的夹角,(,或其补角,),的大小就是二面角的平面角的大小,(,如图,),【,例,2,】,(,盐城市高三调研,),如,图所示，在三棱锥,P,ABC,中，,PA,平面,ABC,，,PA,1,，,AB,AC,，,AB,2,，,AC,2,，,E,为,AC,中点,(1),求异面直线,BE,与,PC,所成角的余弦值；,(2),求二面角,P,BE,C,的平面角的余弦值,思路点拨：,建立适当的空间直角坐标系，把求余弦值转化成向量坐标的运算,解：,(1),以,A,为原点，,AB,、,AC,、,AP,所在直线分别为,x,轴、,y,轴、,z,轴建立空间直角坐标系,A,xyz,，,则,A,(0,0,0),，,B,(2,0,0),，,C,(0,2,0),，,E,(0,1,0),，,P,(0,0,1),，,所以,(,2,1,0),，,(0,2,，,1),，,故异面直线,BE,与,PC,所成角的余弦值为,(2),作,PM,BE,交,BE,(,或 延 长线,),于,M,，作,CN,BE,交,BE,(,或 延 长线,),于,N,，,则存在实数,m,、,n,，使得,即,(2,m,1,m,，,1),，,(2,n,，,n,1,0),因为,所以,1,5,m,0,，,5,n,1,0,，解得,所以,所以,即为所求二面角的平面角的余弦值,变式,2,：,(,苏锡常镇四市高三教学情况调查,),如,图所示，建立空间直角坐标系,O,xyz,，,BC,2,，点,O,是,BC,的中点，点,A,的坐标为 ，点,D,在平面,yOz,上，且,BDC,90,，,DCB,30.,(1),求向量,的坐标；,(2),若,P,为线段,CD,上的一点，且,PC,2,DP,，求二面角,D,AB,P,的余弦值,解：,(1),BDC,90,，,BC,2,，,DCB,30,，,BD,1,，,OC,1,，,BCD,的,边,BC,上的高为,D,点的坐标为 ，,C,(0,1,0),，,(2),B,(0,，,1,0),，,设平面,ABD,的法向量为,n,(,x,，,y,，,z,),，则,令,x,3,，则,PC,2,DP,，,设平面,ABP,的法向量为,m,(,x,，,y,，,z,),，则,令,x,，则,y,1,，,z,，,m,(,，,1,，,),，,设二面角,D,AB,P,的平面角大小为,，,cos,由题意知，,为锐角，,二面角,D,AB,P,的余弦值为,1,用向量方法证明平行、垂直问题的步骤：,(1),建立空间图形与空间向量的关系,(,可以建立空间直角坐标系，也可以不建系,),，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面；,(2),通过向量运算研究平行、垂直问题；,(3),根据运算结果解释相关问题,2,求异面直线所成的角，用向量法比较简单，若用基向量法求解，则必须选好空间的一组基向量，若用坐标求解，则一定要将每个点的坐标写正确,3,找直线和平面所成的角常用方法是过线上一点作面的垂线或找线上一点到面的垂线，或求出法向量利用已知公式求出,4,求二面角的法向量法；利用两个平面法向量夹角去求二面角大小，要注意区别与联系,.,【,规律方法总结,】,【,例,3,】,(2009,宁夏、海南卷,),如,图所示，四棱锥,S,ABCD,的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，,P,为侧棱,SD,上的点,(1),求证：,AC,SD,；,(2),若,SD,平面,PAC,，求二面角,P,AC,D,的大小；,(3),在,(2),的条件下，侧棱,SC,上是否存在一点,E,，,使得,BE,平面,PAC,.,若存在，求,SE,EC,的值；若不存在，试说明理由,【,高考真题,】,分析：,对于第,(1),问，根据这个四棱锥的特点只要连接底面对角线,BD,，交,AC,于点,O,，再连接,SO,，就出现了一系列的垂线，证明,AC,，,SD,中的一条直线垂直于另一条直线所在的平面即可；对于第,(2),题，很显然，,PAC,，,DAC,都是以,AC,为底边的等腰三角形，连接,PO,，,DO,就得到了所求二面角的平面角，在,Rt,POD,中求解,POD,即可；对于第,(3),问，根据第,(2),问找到点,E,的位置，通过寻找平行线解决本题也可以在建立空间直角坐标系后，通过向量的方法解决,规范解答：解法一：,(1),如,图所示，连接,BD,，设,AC,交,BD,于,O由题意知,SO,AC,.,在正方形,ABCD,中，,AC,BD,，所以,AC,平面,SBD,，又,SD,平面,SBD,，所以,AC,SD,.,(2),设正方形的边长为,a,，则,SD,又,OD,，所以,SDO,60.,连接,OP,，,由,(1),知,AC,平面,SBD,，所以,AC,OP,，且,AC,OD,，,所以,POD,是二面角,P,AC,D,的平面角,由,SD,平面,PAC,，知,SD,OP,，所以,POD,30.,即二面角,P,AC,D,的大小为,30.,(3),在,棱,SC,上存在一点,E,，使,BE,平面,PAC,.,由,(2),可得,PD,，故可在,SP,上取一点,N,，使,PN,PD,.,过,N,作,PC,的平行线与,SC,的交点即为,E,.,连接,BN,.,在,BDN,中，由分析可知,BN,PO,.,又由于,NE,PC,，故平,面,BEN,平面,PAC,，得,BE,平面,PAC,.,由于,SN,NP,21,，故,SE,EC,21.,解法二：,(1),连,接,BD,，设,AC,交,BD,于,O,，由题意知,SO,平面,ABCD,.,以,O,为坐标原点，,分别为,x,轴、,y,轴、,z,轴的正方向，,建立空间直角坐标系,O,xyz,，如图所示,设底面边长为,a,，则高,SO,于是,因为,故,OC,SD,.,从而,AC,SD,.,(2),由题设知，平面,PAC,的一个法向量 ，平面,DAC,的一个,法向量,.,设所求二面角为,，则,故所求二面角的大小为,30.,(3),在,棱,SC,上存在一点,E,使,BE,平面,PAC,.,由,(2),知,是平面,PAC,的一个法向量，,且,设,则,而,即当,SE,EC,21,时，,而,BE,不在平面,PAC,内，故,BE,平面,PAC,.,【,命题探究,】,本题是以正四棱锥为载体，考查线线垂直的证明、二面角的求解及线面平行的一个探索性问题，试题的前两问属于立体几何最基本的证明与计算，试题的核心部分是第,(3),问，探索性问题本身就是一个考生不容易解决的问题，本题又是在需要较高的空间想象能力和逻辑推理能力的立体几何中，难度是比较大的，但解答问题的基本思路是明确的，一个思路就是通过两个平面的平行解决线面平行，一个是通过向量的方法解决本题入手容易，但最后完整解答就需要考生具有一定的分析问题、解决问题的能力，是一道具有较好区分度的试题,【,全解密,】,【,方法探究,】,解决探索性问题的基本思路,解决存在与否类的探索性问题一般有两个思路：一是直接去找存在的点、线、面或是一些其他的量；二是首先假设其存在，然后通过推理论证或是计算，如果得出了一个合理的结果，就说明其存在；如果得出了一个矛盾的结果，就说明其不存在如本题解法一就是直接寻找满足要求的点,E,，解法二实际上就是先假设了其存在，通过计算得到了一个合理的结果，就说明了点,E,的存在性以及点,E,的确切位置,【,技巧点拨,】,利用向量的线性运算证明立体几何的相关问题,(1),要用向量表示相关的量；,(2),根据证明的需要对向量进行运算，运算可以结合实际图形，以图形为指导是解题的关键；,(3),要注意利用空间向量解决立体几何中各种问题的方法，如证明线线垂直，可以证其向量的数量积为零；如证明四点共面，可以证从同一点出发的三个向量共面；如求线线夹角，可以利用其向量的数量积,(,向量夹角公式,),；如求两点间的距离，可以求两点向量的模等,【,发散思维,】,本题第,(1),问可以在不建立空间直角坐标系的情况下用基向量的方法证明：设四棱锥的底面边长为,a,，则侧棱长为,cos,SDA,cos,SDC,，设,DC,a,，,则,a,b,，故,(,a,b,),c,a,c,b,c,0,，,故,AC,SD,.,本题第,(3),问的规范解析中是用直线,BE,与平面,PAC,的法向量互相垂直解答的，还可以根据空间向量有关定理解答，基本思路是：如果在侧棱,SC,上存在点,E,使,BE,平面,PAC,，根据共面向量定理，一定存在一组有序实数,，,，使得,由于点,E,在棱,SC,上，根据共面向量定理有,(0,t,1),，即,，只要把各个向量的坐标代入，根据空间,向量基本定理中有序实数组的唯一性，就得到了一个含有三个未知数的方程组，如果这个方程组有解，就说明存在点,E,，根据求出的,t,值也知道了点,E,的位置，如果方程组无解或是解不合理,(,如解得,t,2),，就说明点,E,不存在,.,1,如,图，在长方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，已知,AB,4,，,AD,3,，,AA,1,2.,E,，,F,分别是线段,AB,，,BC,上的点，且,EB,BF,1.,求直线,所成的角的余弦,值,分析：,本题宜建立空间直角坐标系，把,EC,1,与,FD,1,所成角看做向量,EC,与,FD,1,的夹角或其补角，用向量法来求解,解：,以,A,为原点，,分别为,x,轴、,y,轴、,z,轴的正向建立空间直角,坐标系，则有,D,1,(0,3,2),，,E,(3,0,0)F,(4,1,0),，,C,1,(4,3,2),，于是,(1,3,2),，,(,4,2,2),设,EC,1,与,FD,1,所成的角为,，则,直线,EC,1,与,FD,1,所成的角的余弦值为,2.,如,图，在棱长为,1,的正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,P,是侧棱,CC,1,上的一点，,CP,m,.,试确定,m,，使得直线,AP,与平面,BDD,1,B,1,所成角的正切值为,分析：,先根据题意建立空间直角坐标系，求出平面,BB,1,D,1,D,的一个法向量，再利用公式即可求出其解,解：,建,立如图所示的空间直角坐标系，,则,A,(1,0,0),，,B,(1,1,0),，,P,(0,1,，,m,),，,C,(0,1,0),，,D,(0,0,0),，,B,1,(1,1,1),所以,(,1,，,1,0),，,(0,0,1),，,(,1,1,，,m,),，,(,1,1,0),又由,0,，,0,知,为平面,BB,1,D,1,D,的一个法向量,设,AP,与平面,BB,1,D,1,D,所成的角为,，,则,依题意有 解得,m,.,故当,m,时，直线,AP,与平面,BB,1,D,1,D,所成的角的正切值为,点击此处进入 作业手册,