高三数学抽象函数与解题策略课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,抽象函数与解题策略,2026/2/17 周二,1,2026/2/17 周二,2,那些没有给出函数的具体解析式，,只给出一些特殊条件或特征的函数,称为抽象函数。,抽象函数的定义：,2026/2/17 周二,3,；,抽象函数往往有它所对应的具体的函数,模型。例如，,对应的是指数函数,对应的是对数函数,等等。,当然，也有的时候并没有我们比较熟悉的函数模型，而是新定义的一种函数。,2026/2/17 周二,4,抽象函数也可以与我们熟悉的函数，,如指数函数、对数函数等一样，有自己的,性质，如奇偶性、周期性、单调性等。,有自己的特殊点，有自己的对称性，能画,出大致图像。,2026/2/17 周二,5,面对抽象函数数学题，我们的解题思路一般不外乎合理赋值，化抽象为具体；作恒等变形，找出该函数规律性、特征性特点；利用函数的性质；分类讨论，归纳出抽象函数的实质问题；构造与联想。,2026/2/17 周二,6,面对抽象函数数学题，我们的解题思路一般不外乎,合理赋值，化抽象为具体；,作恒等变形，找出该函数规律性、特征性特点；,利用函数的性质；,分类讨论，归纳出抽象函数的实质问题；,构造与联想等。,2026/2/17 周二,7,是奇函数,2026/2/17 周二,8,策略一：赋予特殊值,例题,1,、设函数,（,，且任意,实数,满足,（,1,）求证：,；（,2,）求证：,为偶函数；（,3,）已知,在,上为增函数，解不等式,），对,2026/2/17 周二,9,证明：（,1,）令,令,2026/2/17 周二,10,（,2,）令,令,，即,为偶函数。,2026/2/17 周二,11,（,3,）,又,或,由（,2,）知,f(x,),为偶函数，又,在,上为增函数,2026/2/17 周二,12,或,2026/2/17 周二,13,例题,2,、设,定义在,R,上且对任意的,有,，求证：,是周期函数，并找出它的一个周期。,策略二：恒等变形,2026/2/17 周二,14,分析：这同样是没有给出函数表达式的,（,T为非零常数）则,为周期函数，,抽象函数，其一般解法是根据所给关系式,进行递推，若能得出,且周期为,T,。,2026/2/17 周二,15,证明：已知,得,2026/2/17 周二,16,由（,3,）得,由（,3,）和（,4,）得,上式对任意,都成立，因此,是周期函数，且周期为,6,。,2026/2/17 周二,17,例题,3,、,f(x,),是定义在,R,上的函数，且,若,f(1)=2,，求,f(2005),的值。,，（,f(x)0,，,1,）。,2026/2/17 周二,18,解：,已知,2026/2/17 周二,19,解：,f(x,),是以,4,为周期的周函数，则,2026/2/17 周二,20,例题,4,、设,f(x,),是定义在实数集,R,上的函数，,；,求证：,f(x,),是奇函数，又是周期函数。,且满足下列关系：,。,2026/2/17 周二,21,证明：,已知,又,（,1,）,2026/2/17 周二,22,证明：,（,2,）,即,f(x,),是以,40,为周期的周期函数,2026/2/17 周二,23,证明：,由（,1,）式,由（,2,）式,综上所述，,f(x,),是奇函数，又是周期函数。,即,f(x,),是奇函数,2026/2/17 周二,24,例题,5,、已知函数,f(x,),对于,x0,有意义，,且满足条件,f(2)=1,f(xy)=,f(x)+f(y,),f(x,),是非减函数。（,1,）证明,f(1)=0,；,（,2,）若,f(x)+f(x,2)2,成立，求,x,的,取值范围。,策略三：利用函数的性质,2026/2/17 周二,25,解：,(1),令,x=2,y=1,，则,f(2,1)=f(2)+f(1),(2),由已知,f(x)+f(x,2)=f(x,2,2x)2,，,又,2=1+1=f(2)+f(2)=f(4),f(1)=0,又,f(x,),为非减的函数,f(x2,2x)f(4),2026/2/17 周二,26,解：,x,2,2x4,即,x,2,2x,40,x1+,或,x1,已知,f(x,),对,x0,有意义，且,x,20,x2,2026/2/17 周二,27,策略四：分类讨论,例题,6,、（新）设,f(x,),是定义在,R,上的函数，,时，,，且对任意的实数,求证：对于任意,，都有,。,当,x,、,y,，均有,2026/2/17 周二,28,证明：令,若,，令,与已知,矛盾,2026/2/17 周二,29,当,时，,综上所述，对于任意,，都有,。,2026/2/17 周二,30,例题,7,、若对任意实数,x,和常数,a,都有,成立，试判断,f(x,),是不是周期函数？为什么？,策略五：构造与联想,2026/2/17 周二,31,看作是,的一个原型，而,的周期,是,的四倍，故可猜想,4a,是,的一个周期,可以把,分析：观察已知的抽象关系式，可以联想到,极其相似,它与,2026/2/17 周二,32,证明：,2026/2/17 周二,33,即,f(x,),是周期函数，且,4a,是它的一个周期。,2026/2/17 周二,34,例题,8,、对每一实数对,x,、,y,，函数,f(t,),满足,。若,，试求满足,的整数,t,的个数。,2026/2/17 周二,35,解：令,，得,令,，得,，又,令,，得,2026/2/17 周二,36,令,，得,（,）即当,y,为正整数时,，由,，,2026/2/17 周二,37,，,即对于一切大于,1,的正数,t,恒有,又由（,）式,下证明，当整数,时，恒有,：,2026/2/17 周二38,由（,）式,即,同理可得,2026/2/17 周二,39,相加,，即当整数,时，恒有,综上所述，满足,的整数只有,2026/2/17 周二,40,综合例题解析,例题,9,、设函数,定义在,R,上，当,时，,，且对任意,，有,，当,时,。（,1,）证明,2026/2/17 周二,41,（,2,）证明：,在,R,上是增函数；,若,，求,满足的条件。,，,（,3,）设,2026/2/17 周二,42,解：（,1,）令,得,或,，当,时，有,，这与当,时，,矛盾，,。,若,2026/2/17 周二,43,（,2,）,，则,，由已知得,，由,若,时，,由,2026/2/17 周二,44,2026/2/17 周二,45,（,3,）由,得,由,得,（,2,）,2026/2/17 周二,46,从（,1,）、（,2,）中消去,得,因为,即,2026/2/17 周二,47,例题,10,、已知定义在,R,上的函数,（,1,）值域为,，且当,时，,；,，均满足：,试回答下列问题：,满足：,（,2,）对于定义域内任意的,实数,2026/2/17 周二,48,（,1,）试求,的值；（,2,）判断并证明函数,的单调性；（,3,）若函数,存在反函数,，求证：,2026/2/17 周二,49,解：,（,1,）在,中，令,，,即,2026/2/17 周二,50,解：,函数,的值域为,。,也即：,2026/2/17 周二,51,解：,在,中，令,，得,函数,为奇函数,（,2,）由（,1,）知,，,2026/2/17 周二,52,解：,（,）式,2026/2/17 周二,53,解：,，且,，则,且,函数,在,R,上单调递减。,2026/2/17 周二,54,解：,（,3,）由（,2,）知函数,在,R,上单调递减，则函数,必存在反函数,，则,也为奇函数，且,在,上单调递减，且当,时，,2026/2/17 周二,55,解：,由（,2,）中（,）式得,2026/2/17 周二,56,解：,令,，则,，则上式可改写为,:,不难验证：对于任意的,上式都成立。（根据一一对应）,2026/2/17 周二,57,解：2026/2/17 周二,58,解：,2026/2/17 周二,59,例题,11,、设,是定义在区间,上的函数，且满足条件：,(i),(ii),对任意的,，都有,。,2026/2/17 周二,60,（,1,）证明：对任意的,，都有,（,2,）证明：对任意的,，都有,（,3,）在区间,上是否存在满足题设,，且使得,；,；,条件的奇函数,2026/2/17 周二,61,若存在，请举一例；若不存在，请说明理由。,2026/2/17 周二,62,已知,对任意的,，有,，,（,1,）证明：,2026/2/17 周二,63,（,2,）证明：,时，,对任意的,，,，命题成立；,当,时，由,可知,，不妨设,当,2026/2/17 周二,64,（,2,）证明：,都有,综上所述，,对任意的,，都有,2026/2/17 周二,65,（,3,）解：,答：满足条件的函数不存在。,假设存在函数,满足条件，,理由如下：,2026/2/17 周二,66,解：,，,为奇函数,又,2026/2/17 周二,67,解：,，,矛盾，即假设不成立，,所以，满足条件的函数不存在。,2026/2/17 周二,68,2026/2/17 周二,69,