高考数学复习专题讲座 空间图形的证明与计算 人教版 试题.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高考数学复习专题讲座,空间图形的证明与计算,考点分析与预测,:,1,.,空间图形主要有两块内容,:,一块是直线与平面,另一块是简单几何体。直线与平面的基本性质,解决空间图形基本问题,(,平行,垂直,角,距离,),的方法,是解决复杂几何体问题的基础。因此，必须学好平面的基本性质，解决空间图形基本问题的方法。,2,首先要学会识别图形，包括几何的图形的形状，大小，几何体间的位关系；几何体中各元素在平面上，空间中的相互位置关系以及特定位置的排列顺序。其次要能够画出表示概念的“图”，定理的“图”，能够根据题目的条件和要求画出相应的图。第三，还要能够对图形进行适当的处理，对图形分割，补全，展开，移出，添加辅助线，面。第四，由于立体几何图形是在平面上给出的，只有在想象的基础上进行分析，才可能得出正确的判断。,3,对于有关几何量的度量，要做到解题过程完整，即：一作，二证，三计算。作在何处大有讲究，一般而言，所求的角，垂线应作在图形的表面，显眼的地方，汇聚几何元素多的地方，因为这样做，易于弄清关系，好计算。,4,高考的三种题型都有立体几何题目，并且以立体几何的内容为载体，首创了“开放题”，“类比题”。通过立体几何内容的试题，考查空间想象力，逻辑思维能力。为了提高这方面的能力，同学们在平时应多观察图，多想图，加强表达训练，努力使解题过程层次分明，表达清晰，理由充分。,知识框架,空间线,、,面平行与垂直的判定与证明,空间的角和距离,简单的几何体,内容,一、空间线面平行与垂直的判定与证明,线线垂直,（或平行）,线面垂直,（或平行）,面面垂直,（或平行）,（体现转化思想）,【,例,1】,如图，在四棱锥,PABCD,中，底面,ABCD,是一直角梯形，,BAD=90,ADBC,且,AB=BC=a,，,AD=2a,，且,PA,底面,ABCD,，,若,AEPD,，,E,为垂足。,求证：,BEPD,【,证明,】,法一：,PA,平面,ABCD,，,PA,AB,再由,AB,AD,，,得,AB,平面,PAD,，,AB,PD,又,AE,PD,，,PD,平面,ABE,，故,BE,PD,【,分析,】,要证线线垂直，要证,线面,垂直,或,三垂线定理，,还可以运用,空间向量法。,法二：,由题设,AB,AD,，,AB,AP,，,AB,平面,PAD,在平面,上的射影是,又由,AE,PD,，,得,BE,PD,法三：,本题还可用空间向量法,【,例,2】,如图，在四棱锥,P,ABCD,中，,底面,ABCD,是正方形，,侧棱,PD,底面,ABCD,，,PD=DC,，,E,是,PC,的中点，,作,EFPB,交,PB,于点,F,。,求证：,PB,平面,EFD,【,分析,】,要证明,PB,平面,EFD,，,可证,PBEF,和,PBDE,EFPB,已知，,故只要证,PBDE,，,通过证,DE,平面,PBC,便可实现,【,证明,】,证法一：,PD,底面,ABCD,，且,DC,底面,ABCD,PDDC,PD=DC,可知,PDC,是等腰直角三角形，,而,DE,是斜边,PC,的中线，,DEPC,同理由,PD,底面,ABCD,，,得,PDBC,DEPB,又,EFPB,，且,DEEF=E,，,所以,PB,平面,EFD,。,而,DE,平面,PDC,，,BCDE,DE,平面,PBC,，而,PB,平面,PBC,，,底面,ABCD,是正方形，,DCBC,，,BC,平面,PDC,，,证法二：,以,D,为坐标原点，,DA,、,DC,、,DP,所在直线分别为,x,轴、,y,轴、,z,轴建立空间坐标系,D-xyz,，,设,DC=,，依题意,得,B,（，,0,），,P,（,0,，,0,，）,E,（,0,，），,D,（,0,，,0,，,0,）,=,（，,-,），,=,（,0,，）,=0,=0,，即,PBDE,已知,EFAB,，且,EF,DE=E,，,所以,PB,平面,EFD,【,例,3】,如图，,正三棱柱,ABC,-,A,1,B,1,C,1,，,D,是棱,BC,上的一点，,且,A,1,B,平面,ADC,1,，,求证：,平面,ADC,1,平面,BB,C,1,【,分析,】,根据已知条件,“,A,1,B,平面,ADC,1,”,联想性质。,若连,AC1,交,AC,1,于,O,，,可得,A,1,BOD,，,从而,D,是,BC,的中点，,这是解题的关键；,本题还可从向量入手。,【,证明,】,证法一：,如图，连接,A,1,C,交,AC,1,于,O,，,连接,OD,A,1,B,平面,ADC,1,，,且平面,ADC,1,平面,A,1,BC,=OD,A,1,BOD,在,A,1,BC,中，,O,为,A,1,C,的中点 ,D,为,BC,的中点,ADBC,AD,平面,B,1,BCC,1,又,AD,平面,ADC,1,平面,ADC,1,平面,B,1,BCC,1,证法二：,向量法,以,AB,的中点,M,为原点,建立空间直角坐标系,（如图）也可证,ADBC,，,证明过程请同学们完成。,思考：,能否建立其它的空间直角坐标系呢？,【,例,4】,已知正方形,ABCD,和矩,形,ACEF,所在的平面互相垂,直，,AB=,，,AF=1,，,M,是,EF,的中点。,求证：,AM,平面,BDE,【,证明,】,证法一：,设,AC,与,BD,的交点为,O,，,连接,OE,。,O,、,M,分别是,AC,、,EF,的中,点，,ACEF,是矩形，,四边形,AOEM,是平行四边形，,AMOE,【,分析,】,如图，只要证,AMOE,即可,AM,平面,BDE,OE,平面,BDE,，,AM,平面,BDE,证法二,:,建立如图所示的空间直角坐标系,设,AC BD=N,，连接,NE,，则,N,（，,0,）,E,（,0,，,0,，,1,），,A,（，,0,），,M,（，,1,）,=,（，,1,）,=,（,，,1,）,=,，且与,不共线 即,NEAM,NE,平面,BDE,，,AM,平面,BDE,，,AM,平面,BDE,【,解题回顾,】,空间直线、平面的平行（或垂直）位置关系的问题：,“已知条件”联想性质定理，,“求证”联想判定定理，,这对平行与垂直关系的证明很有帮助。,二：空间的角和距离,空间的角：,异面直线所成的角；,直线与平面所成的角；,二面角的平面角,强调：,求异面直线所成的角的方法,求异面直线所成的角的方法：,平移法，向量法,E,、,F,分别是,CC,1,、,AD,的中点，求异面直线,OE,和,FD,1,所成的角的,余弦值。,【,例,5】,如图，在棱长为,2,的正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，,O,是底面,ABCD,的中心，,分析,:,通过平移异面直线中的一条或两条，,将异面直线所成的角化归到三角形中，,然后解三角形求之（,称构造三角形,）；,或建立空间直角坐标系，利用,向量,求之,解法一：,取面,CC,1,D,1,D,的,中心为,H,，连接,FH,、,D,1,H,，,在,FHD,1,中,=,，,FH=,，,D,1,H=,由余弦定理,得,D,1,FH,的余弦值为。,解法二：,取,C,1,D,1,的中点,H,，,连接,HE,，故,HOE即为所求，,然后在,HOE,中,解出,HOE,的余弦值。（请同学们完成）,解法三：,以点,D,为坐标原点，,建立如图所示的坐标系，,则,A,（,2,，,0,，,0,），,D,（,0,，,0,，,0,），,D1,（,0,，,0,，,2,），,C,（,0,，,2,，,0,），,C1,（,0,，,2,，,2,），,B,（,2,，,2,，,0,）,F,（,1,，,0,，,0,），,E,（,0,，,2,，,1,），,O,（,1,，,1,，,0,），,得,=,（,-1,，,1,，,1,），,=,（,-1,，,0,，,2,）,与夹角的余弦值为,=,=,求二面角的平面角的方法：,定义法；利用三垂线定理法；,垂面法；法向量法；面积射影法。,求直,线与平面所成的角的方法,:,【,例,6】,如图，在四棱锥,V-ABCD,中，底面,ABCD,是正方形，,侧面,VAD,是正三角形，,平面,VAD,底面,ABCD,，,求面,VAD,与面,VDB,所成的二面角的大小,tanAEB,=,【,分析,】,本题可用,三垂线定理法,，,面积射影法,，,法向量法,求之,解法一：,取,VD,的中点,E,，连接,AE,、,BE,，,VAD,是正三角形,AEVD,，,AE=,AD,平面,VAD,平面,ABCD,，,ABAD,，,AB,平面,ABCD,AB,平面,VAD ABVD,AEB,即为所求二面角的平面角。于是,故,AEB解法二：,由解法 一 知,BA,平面,VAD,，设面,VAD,与面,VDB,所成的二面角为，则有,=,设,AD,=a,则,=,=,=,=,=,解法三：,过,V,做,VMAD,于点,M,，,取,BC,的中点,N,，,连接,M N,，以,M,为坐标原点，,建立如图所示坐标系,设,AD=2,，则,V,（,0,，,0,，），,A,（,1,，,0,，,0,），,B,（,1,，,2,，,0,），,D,（,-1,，,0,，,0,），,则,=,（,2,，,2,，,0,），,=,（,1,，,0,，），,由,解法 一,知,为平面,VAD,的法向量,，,且,=,（,0,，,2,，,0,）设平面,VBD,的法向量,为,=,（,1,，,x,，,y,）,由 且,得,2+2x=0,且,1+,y=0,解得,x=,1,，,Y=,=(1,1,),=,=,【,解题回顾,】,空间角或距离的计算，,解题途径主要有两条：,平移,向量,（,2,）,空间距离：,求点到平面的距离的求法：,1.,直译法,2.,等积法,3.,转移法,4.,法向量法（例题从略）,三：简单多面体,前面几道例题主要涉及到棱柱、棱锥中线面关系的判断和证明以及有关角、距离的问题，下面讲解有关棱柱、棱锥、球面的概念及面积、体积的计算。,【,例,7】,如图，在多面,ABCDEF,中，,已知面,ABCD,是,边长为,3,的正方形，,EF,AB,，,EF=,，EF,与面,AC,的距离为,2,求该多面体的体积,【,分析,】,题目所给的多面体是棱柱或棱锥的部分，不能直接套用公式，适当,割补,后，才能运用体积公式进行计算。,解法一：,连接,EB,、,EC,，则,V,E-ABCD,=332=6,AB=2EF,，,EFAB,S,EAB,=2S,BEF,V,F-EBC,=V,C-EFB,=V,C-EAB,=V,E-ABC,=V,E-ABCD,=,所求多面体的体积为,V=V,E-ABCD,+V,F-EBC,=6,+=,解法二：,设,M,、,N,分别是,AB,、,CD,的中点，,则,EFFB,，,ENFC,，,MNBC,，则,FBC-EMN,为三棱柱，,其中,VE-MNDA,=,3,2=3,不妨设面,BCF,面,ABCD,，,则,V,FBC-EMN,=S,BCF,EF=,32,=,所求多面体体积为,3,=,【,例,8】,下面是关于三棱锥的四个命题：,(1),底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥；,(2),底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；,(3),底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；,(4),侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥；,其中，真命题的编号是（写出所有真命题的编号）。,【,分析,】,本题考查正三棱锥的定义、性质。,(1),因为底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，故侧面三角形的高相等，由此推得三条侧棱相等，所以三侧面都是等腰三角形，并且三侧面全等。,由正三棱锥的定义知这样的三棱锥是正三棱锥。,(2),侧面是等腰三角形的三棱锥，如果有一条棱与底面三角形的边相等，构成等腰三角形，这就不能确定三个侧面全等，这样的三棱锥不一定是正三棱锥。,(3),侧面的面积都相等的三角形不能确定为全等等腰三角形，所以这样的三棱锥不一定是正三棱锥。,(4),由侧面与底面所成的角都相等，可知三条侧棱在底面的射影相等且三条侧棱相等。又因为侧面与底面所成的二面角都相等，所以侧面三角形的高及高在底面上的投影都相等，三侧面是全等的等腰三角形，这样的三棱锥是正三棱锥。,【,例,9】,设地球的半径为,R,，在北纬,45,圈上有两点,A,、,B,，点,A,在西经,40,，点,B,在东经,50,，求,A,、,B,两点纬线圈的弧长及,A,，,B,两点的球面距离。,【,分析,】,首先看第一解题目标，是求纬线圈中的弧长，必须要用弧长公式,=,r,去解决，而公式中的,=AO,1,B,，就是,A,、,B,两地间的经度差，如何求,r,呢？由,地球半径和纬度,来求得。,再看第二解题目标，要求,A,、,B,两点的球面距，根据定义，要先找出经过,A,、,B,、,O,（球心）的一个大圆，再找出劣弧，而劣弧,=AOBR,，只需求出,AOB,的弧度数。,解：设,45,纬线圈的中心为,O,1,，球心为,O,，,则,AO,1,B=40+50=90,OO,1,平面,AO,1,B,而,OAO,1,=45,，,O,1,A=O,1,B=O,1,O,=OAcos45=,R,在,RtAO,1,B,中,，,AB=,AO,1,=R,AOB,为等边,AOB=,故在,45,纬线圈上,L=,AO,1,=,R,；,A,、,B,两点间的球面距离为,=,R,【,小结,】,解题口诀：,立体几何点线面，垂直平行重头戏；,做图识图鬼门关，图形处理割补添；,理解概念和定理，定性定量分清楚；,判定方法要清晰，计算之前作和证；,审题一定要仔细，学会分析找思路；,三种语言莫含糊，表述要过四大关；,要用空间坐标系，选定原点和三轴；,点的坐标莫写错，以免错误丢分数；,转化思想解问题，回归课本要牢记；,善于思考和勤问，观察想象常推理。,立体几何高考题型预测：,热点之一：,点、线、面问题,包括平面的基本性质、空间的直线和平面的位置关系及判定方法。,【,例,1】,已知是两个平面，直线,若以中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，,则其中正确命题的个数是（）,（,A,）,0,个 （,B,）,1,个,（,C,）,2,个 （,D,）,3,个,分析：以，中两个为条件，,另一个为结论可构成三个命题,命题,1,：，,命题,2,：，,命题,3,：，,其中前两个命题正确，第三个命题错误。,【,例,2】,正方体,中，分别是、,的中点，那么，正方体的过、的截面图形是（）,（）三角形（）四边形,（）五边形（）六边形,分析：本题考查的知识点有多面体的概念，空间图形截面的性质，直线和平面的位置关系，图形的画法以及根据图形想象它们的位置关系。画出图形，如图所示。,（练习）,1,在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触，经过棱,锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（）,分析：根据题意，钢球球心必在棱锥 的高上，故 排除,C,、,D,。钢球恰好与棱锥的四个面都接触，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，所得圆只能与这条侧棱对面上的高线，底面高线相切，而与这条侧棱不相切。故 排除,A,2,在正方体中，写出过顶点,A,的,一个平面,_,使该平面与,正方体的,12,条棱,所在的直线所成,的角均相等,(,注：填上你认为,正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况,),。,分析：,连结,AB,1,B,1,D,1,D,1,A,。,则四面体,A,1,AB,1,D,1,是正三棱锥,A,1,A,，,A,1,B,1,，,A,1,D,1,与底面,AB,1,D,1,所成的角均相等,A,1,ABB,1,CC,1,DD,1,A,1,D,1,ADBCB,1,C,1,A,1,B,1,AB DC D,1,C,1,正方形的,12,条棱与面,AB,1,D,1,所成的角都相等。,热点之二：空间角与距离问题,三个角：,包括两条直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角；,八个距离：,包括点到直线的距离、点到面的距离、两条,平行直线的距离、异面直线的距离、直线与,平行平面的距离、两个平行平面之间的距离、球面上两点的距离。,强调：在求角或距离时，一定要“先找（或作）后解”。,【,例,3】,已知：斜三棱柱,的侧面 与底面 垂直，,且,（,）求侧棱 与底面 所成角的大小；,（,）求侧面 与底面 所成二面角的大小；,（,）求顶点,到侧面的距离；,（,）求侧棱和侧面的距离,。,解析：,(),作,A,DAC,垂足为,D,，,由面,A,1,ACC,面,ABC,得,A,1,D,面,ABC,A,1,AD,为,A,1,A,与面,ABC,所成的角,AA,1,A,1,C AA,1,=A,1,C,A,1,AD=,为所求。,(),作,DEAB,，垂足为,E,，,则由,A,1,D,面,ABC,得,A,1,EAB,所以,是面,与,面所成的二面角,的平面角由已知,ABBC,得,EDBC,又,D,为,AC,的中点，,BC=2 AC=2,，所以,DE=1,，,AD=A,1,D=,=,故 ,A,1,ED=,为所求,。,(),连结,A,1,B,根据定义,点,C,到面,A,1,ABB,1,的距离,即为,三棱锥,C,A,AB,的,高,h,由,=,得 ,h=,A,1,D,即,2,h =,2 ,h=,(),过,B,作,BFAC,由面,A,1,ACC,1,面,ABC,得,BF,面,A,1,ACC,1,又,BB,1,面,AACC,故,B,到平面,A,1,ACC,1,的距离就是侧棱,BB,1,与,侧面,A,1,ACC,1,的距离，,在,RtAB,中,AB,BC=,AC,BF,得,BF=,=,=,(,练习,)4,如图，在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,E,、,F,分别为,AB,、,AD,的中点，分别求,A,1,C,1,与,B,1,C,所成角的大小,A,1,C,1,与,EF,所成角的大小,A,1,C,与,AD,1,所成角的大小,AD,1,与,EF,所成角的大小,BD,1,与,CE,所成角大小,B,1,C,与平面,ABCD,所成角的大小,BD,1,与平面,DCC,1,D,1,所成角的大小,二面角,B-A,1,C,1,-B,1,的大小,二面角,B-AC-B,1,的大小,二面角,C,1,-EF-C,的大小,分析：用,平移法,或,向量法,解之。,正确答案：,60,90,90,60,(6),45,45,热点之三：表面积与体积问题,【,例,4】,64,个直径都为的球，记它们的体积之,和为,V,甲,，表面积之和为,S,甲,；一个直径为的球，记,其体积为,V,乙,，表面积之和为,S,乙,。,则（）,(,A,),V,甲,V,乙,且,S,甲,S,乙,(B),V,甲,V,乙,且,S,甲,S,乙,(C),V,甲,V,乙,且,S,甲,S,乙D),V,甲,V,乙,且,S,甲,S,乙,分析：,V,甲,=64,=,S,甲,=,=,V,乙,=,=,S,乙,=,=,故,V,甲,V,乙,且,S,甲,S,乙,(,练习,),已知正四面体的棱长为,2,，求它的体积。,分析：如图，底面三角形,BCD,的面积为,S=,，设,O,为的中心，,则,OB=,2=,棱锥,ABCD,的高,h=AO=,=,，,所以正四面体的体积为,V=,=,【,回顾,】,解题口诀：,立体几何点线面，垂直平行重头戏；,做图识图鬼门关，图形处理割补添；,理解概念和定理，定性定量分清楚；,判定方法要清晰，计算之前作和证；,审题一定要仔细，学会分析找思路；,三种语言莫含糊，表述要过四大关；,要用空间坐标系，选定原点和三轴；,点的坐标莫写错，以免错误丢分数；,转化思想解问题，回归课本要牢记；,善于思考和勤问，观察想象常推理。,备考建议,:,立体几何的学习应当立足于课本,紧扣高考真题，不需要加深加宽。解答立体几何考题的关键是运用转化思想，将空间问题平面化。要求学会作图，识图，加强语言文字表达训练，充分利用身边的资源（如钢笔，铅笔，课本，教室），找（或作）几何模型（或图形），进行直观判并加以分析，论证。,