高中数学 第三章 函数 3122 函数的最大值、最小值课件 新人教B版必修1 课件.ppt

第,2,课时,函数的最大值、最小值,1.,函数的最值,前提,函数,f(x),的定义域为,D,，且,x,0,D,，对任意,xD,条件,都有,f(x)f(x,0,),都有,f(x)f(x,0,),结论,最大值为,f(x,0,),，,x,0,为最大值点,最小值为,f(x,0,),，,x,0,为最小值点,最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点,【,思考,】,最值点是点吗？,提示：,不是，是实数值，是函数取得最值时的自变量,x,的值,.,2.,直线的斜率,(1),直线斜率的定义,平面直角坐标系中的任意两点,A(x,1,，,y,1,),，,B(x,2,，,y,2,),，,当,x,1,x2,时，称 为直线的斜率，记作,当,x,1,=x,2,时，称直线的斜率不存在,.,(2),直线的斜率与函数单调性的关系,函数递增的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都大于,0,.,函数递减的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都小于,0,.,3.,函数的平均变化率,(1),平均变化率的定义：若,I,是函数,y=f(x),的定义域的,子集，对任意,x,1,，,x,2,I,，且,x,1,x,2,，,记,y,1,=f(x,1,),，,y,2,=f(x,2,),，,称 为函数在区间,x,1,，,x,2,(x,1,x,2,时,),上的平均变化率,.,(2),函数的平均变化率与函数的单调性,y=f(x),在,I,上是增函数,0,在,I,上恒成立,y=f(x),在,I,上是减函数,0,，所以,0,，所以函数,f(x),在区间,0,，,+),上是增函数,.,(2),由,(1),知函数,f(x),在区间,2,，,9,上是增函数，故函,数,f(x),在区间,2,，,9,上的最大值为,f(9)=,最小值为,f(2)=,【,内化,悟,】,利用单调性求最值的关键是什么？,提示：,准确确定函数的单调性,.,【,类题,通,】,利用函数的平均变化率证明单调性的步骤,(1),任取,x,1,，,x,2,D,，且,x,1,x,2,.,(2),计算,f(x,2,)-f(x,1,),，,(3),根据,x,1,，,x,2的范围判断 的符号，确定函数的单,调性,.,【,习练,破,】,已知函数,f(x)=x3,，,7.,(1),判断函数,f(x),的单调性，并用平均变化率加以证明,.,(2),求函数,f(x),的最大值和最小值,.,【,解析,】,(1),函数,f(x),在区间,3,，,7,内单调递减，证明,如下：,在,3,，,7,上任意取两个数,x,1,和,x,2,，且,x,1,x,2,，,因为,f(x,1,)=f(x,2,)=,所以,f(x,2,)-f(x,1,)=,所以,因为,x,1,，,x,2,3,，,7,，所以,x,1,-20,，,x,2,-20,，,所以,0,所以函数,f(x),在,(0,，,+),上为增函数,.,(2),由,(1),可知函数,f(x),在,2,，,5,上为增函数，,所以,f(x),max,=f(5)=f(x),min,=f(2)=,类型三常见的函数最值问题,角度,1,不含参数的最值问题,【,典例,】,函数,f(x)=-2x,2,+x+1,在区间,-1,，,1,上最小值点,_,，最大值为,_.,世纪金榜导学号,【,思维,引,】,求出一元二次函数的对称轴，利用对称轴和区间的关系解题,.,【,解析,】,函数,f(x)=-2x,2,+x+1,的对称轴为,x=,函数的图像开口向下，所以函数的最小值点为,-1,，最,大值为,答案：,-1,角度,2,含参数的最值问题,【,典例,】,设,a,为实数，函数,f(x)=x,2,-|x-a|+1,，,xR.,世纪金榜导学号,(1),当,a=0,时，求,f(x),在区间,0,，,2,上的最大值和最小,值,.,(2),当,0a,时，求函数,f(x),的最小值,.,【,思维,引,】,(1),代入,a,值，化简后求最值,.,(2),讨论对称轴与区间的位置关系求最值,.,【,解析,】,(1),当,a=0,，,x0,，,2,时函数,f(x)=x,2,-x+1,，,因为,f(x),的图像抛物线开口向上，对称轴为,x=,所以，当,x=,时,f(x),值最小，最小值为,当,x=2,时，,f(x),值最大，最大值为,3.,(2)f(x)=,当,xa,时f(x)=x,2,-x+a+1=,因为,0aa,，则,f(x),在,a,，,+),上的最小,值为,当,xa,时，函数,f(x)=x,2,+x-a+1=,因为,0a,所以,a,，,则,f(x),在,(-,，,a,上的最小值为,综上，,f(x),的最小值为,【,素养,探,】,在解决含参数的最值问题时，常常用到核心素养中的逻辑思维，利用分情况讨论，分别表示不同情况下的最值,.,将本例的函数改为,f(x)=x,2,-2ax+1,，试求函数在区间,0,，,2,上的最值,.,【,解析,】,函数的对称轴为,x=a,，,(1),当,x2,时，,f(x),在区间,0,，,2,是减函数，,所以,f(x),min,=f(2)=5-4a,，,所以,f(x),min,=,(2),当,x1,时，,f(x),max,=f(2)=5-4a,；,当,x1,时，,f(x),max,=f(0)=1,，所以,f(x),max,=,【,类题,通,】,一元二次函数的最值,(1),不含参数的一元二次函数的最值配方或利用公式求出对称轴，根据对称轴和定义域的关系确定最值点，代入函数解析式求最值,.,(2),含参数的一元二次函数的最值以一元二次函数图像,开口向上、对称轴为,x=m,，区间,a,，,b,为例，,最小值：,f(x),min,=,最大值：,f(x),max,=,当开口向下、区间不是闭区间等时，类似方法进行讨,论，其实质是讨论对称轴与区间的位置关系,.,【,习练,破,】,1.,函数,f(x)=x,2,-3x-4,在区间,0,，,2,上的最小值点为,_,，最大值为,_.,【,解析,】,函数的对称轴为,x=,开口向上，,所以最小值点为 最大值为,f(0)=-4.,答案：,-4,2.,已知函数,f(x)=x,2,-x+1,，求,f(x),在闭区间,t,，,t+1,(tR),上的最小值,.,【,解析,】,函数,f(x)=x,2,-x+1=,其对称轴为,x=,(1),当,t,时，,f(x),在,t,，,t+1,上是增函数，,所以,f(x),min,=f(t)=t,2,-t+1,；,(2),当,t+1,即,t-,时，,f(x),在,t,，,t+1,上是减,函数，所以,f(x),min,=f(t+1)=t,2,+t+1,；,(3),当,t t+1,，即,时，函数,f(x),在,上单调递减，在 上单调递增，所以,f(x),min,=,综上,f(x),min,=,【,加练,固,】,函数,y=-x,2,+6x+9,在区间,a,，,b(ab3),有最大值,9,，最小值,-7.,则,a=_,，,b=_.,【,解析,】,因为,y=-x,2,+6x+9,的对称轴为,x=3,，而,ab3.,所,以函数在,a,，,b,单调递增,.,所以,解得 或,又因为,ab3,，所以,答案：,-2,0,