高考数学总复习 第4讲 直线、平面垂直的判定与性质课件.ppt

单击此处编辑母版文本样式,第,4,讲直线、平面垂直的判定与性质,知,识,梳,理,1,直线与平面垂直,(1),定义：若直线,l,与平面,内的,一条直线都垂直，则直线,l,与平面,垂直,(2),判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条,直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面即：,a,，,b,，,l,a,，,l,b,，,a,b,P,.,(3),性质定理：垂直于同一个平面的两条直线,即：,a,，,b,.,任意,相交,l,平行,a,b,2,平面与平面垂直,(1),定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直,(2),判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条,，那,么这两个平面互相垂直即：,a,，,a,.,(3),性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂,直于它们,的直线垂直于另一个平面即：,，,a,，,b,，,a,b,.,垂线,交线,a,辨,析,感,悟,1,对线面垂直的理解,(1),直线,a,，,b,，,c,；若,a,b,，,b,c,，则,a,c,.(,),(2),直线,l,与平面,内无数条直线都垂直，则,l,.(,),(3)(2013,浙江卷，,4C),设,m,，,n,是两条不同的直线，,，,是两个不同的平面，若,m,n,，,m,，则,n,.(,),(4)(2013,广东卷，,8D),设,l,为直线，,，,是两个不同的平面，若,，,l,，则,l,.(),2,对面面垂直的理解,(5),若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面,(,),(6),若平面,内的一条直线垂直于平面,内的无数条直线，则,.(,),感悟,提升,三个防范,一是注意在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还有可能异面、相交等，如,(1),；,二是注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为,“,如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面,”,，,如,(2),；,三是注意对平面与平面垂直性质的理解，如,(5),考点一直线与平面垂直的判定和性质,【,例,1,】,如图，在四棱锥,P,ABCD,中，,PA,底面,ABCD,，,AB,AD,，,AC,CD,，,ABC,60,，,PA,AB,BC,，,E,是,PC,的中点,证明：,(1),CD,AE,；,(2),PD,平面,ABE,.,证明,(1),在四棱锥,P,ABCD,中，,PA,底面,ABCD,，,CD,平面,ABCD,，,PA,CD,.,AC,CD,，,PA,AC,A,，,CD,平面,PAC,.,而,AE,平面,PAC,，,CD,AE,.,(2),由,PA,AB,BC,，,ABC,60,，可得,AC,PA,.,E,是,PC,的中点，,AE,PC,.,由,(1),，知,AE,CD,，且,PC,CD,C,，,AE,平面,PCD,.,而,PD,平面,PCD,，,AE,PD,.PA,底面,ABCD,，,PA,AB,.,又,AB,AD,且,PA,AD,A,，,AB,平面,PAD,，而,PD,平面,PAD,，,AB,PD,.,又,AB,AE,A,，,PD,平面,ABE,.,规律方法,证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法,(,若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面,),解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形,(,或给出线段长度，经计算满足勾股定理,),、直角梯形等等,.,而,BB,1,BC,B,，,BB,1,，,BC,平面,BCC,1,B,1,，,AB,平面,BCC,1,B,1,，而,B,1,C,平面,BCC,1,B,1,，,AB,B,1,C,，,而,AB,BC,1,B,，,AB,，,BC,1,平面,ABC,1,.,B,1,C,平面,ABC,1,，而,B,1,C,平面,B,1,CD,，,平面,ABC,1,平面,B,1,CD,.,规律方法,证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也可简单地记为,“,证面面垂直，找线面垂直,”,，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键,【,训练,2,】,如图，在长方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AB,AD,1,，,AA,1,2,，,M,是棱,CC,1,的中点,证明：平面,ABM,平面,A,1,B,1,M,.,考点三平行、垂直关系的综合问题,【,例,3,】,(2013,山东卷,),如图，在四棱锥,P,ABCD,中，,AB,AC,，,AB,PA,，,AB,CD,，,AB,2,CD,，,E,，,F,，,G,，,M,，,N,分别为,PB,，,AB,，,BC,，,PD,，,PC,的中点,(1),求证：,CE,平面,PAD,；,(2),求证：平面,EFG,平面,EMN,.,审题路线,(1),取,PA,的中点,H,证明四边形,DCEH,是平行四边形,CE,DH,根据线面平行的判定定理可证,(2),证明,AB,EF,证明,AB,FG,证明,AB,平面,EFG,证明,MN,平面,EFG,得到结论,(2),因为,E,，,F,分别为,PB,，,AB,的中点，,所以,EF,PA,.,又,AB,PA,，且,EF,，,PA,共面，,所以,AB,EF,.,同理可证,AB,FG,.,又,EF,FG,F,，,EF,平面,EFG,，,FG,平面,EFG,，,因此,AB,平面,EFG,.,又,M,，,N,分别为,PD,，,PC,的中点，,所以,MN,DC,.,又,AB,DC,，所以,MN,AB,，,因此,MN,平面,EFG,.,又,MN,平面,EMN,，,所以平面,EFG,平面,EMN,.,规律方法,线面关系与面面关系的证明离不开判定定理和性质定理，而形成结论的,“,证据链,”,依然是通过挖掘题目已知条件来实现的，如图形固有的位置关系、中点形成的三角形的中位线等，都为论证提供了丰富的素材,【,训练,3,】,(2013,辽宁卷,),如图，,AB,是圆,O,的直径，,PA,垂直圆,O,所在的平面，,C,是圆,O,上的点,(1),求证：,BC,平面,PAC,；,(2),设,Q,为,PA,的中点，,G,为,AOC,的重心，求证：,QG,平面,PBC,.,证明,(1),由,AB,是圆,O,的直径，得,AC,BC,，,由,PA,平面,ABC,，,BC,平面,ABC,，得,PA,BC,.,又,PA,AC,A,，,PA,平面,PAC,，,AC,平面,PAC,，,所以,BC,平面,PAC,.,(2),连接,OG,并延长交,AC,于,M,，连接,QM,，,QO,，由,G,为,AOC,的重心，得,M,为,AC,中点,由,Q,为,PA,中点，得,QM,PC,，,又,O,为,AB,中点，得,OM,BC,.,因为,QM,MO,M,，,QM,平面,QMO,，,MO,平面,QMO,，,BC,PC,C,，,BC,平面,PBC,，,PC,平面,PBC,.,所以平面,QMO,平面,PBC,因为,QG,平面,QMO,，所以,QG,平面,PBC,.,1,转化思想：垂直关系的转化,2,在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直故熟练掌握,“,线线垂直,”,、,“,面面垂直,”,间的转化条件是解决这类问题的关键,创新突破,7,求解立体几何中的探索性问题,【,典例,】,(2012,北京卷,),如图,1,，在,Rt,ABC,中，,C,90,，,D,，,E,分别为,AC,，,AB,的中点，点,F,为线段,CD,上的一点将,ADE沿,DE,折起到,A,1,DE,的位置，使,A,1,F,CD,，如图,2.,(1),求证：,DE,平面,A,1,CB,；,(2),求证：,A,1,F,BE,；,(3),线段,A,1,B,上是否存在点,Q,，使,A,1,C,平面,DEQ,？说明理由,突破,1,：,弄清翻折前后的线面关系和几何量的度量值翻折前：,DE,BC,，,DE,AC,翻折后：,DE,BC,，,DE,A,1,D,，,DE,CD,.,突破,2,：,要证,A,1,F,BE,，转化为证,A,1,F,平面,BCDE,.,突破,3,：,由,A,1,D,CD,，可想到取,A,1,C,的中点,P,，则,DP,A,1,C,，进而可得,A,1B,的中点,Q,为所求点,证明,(1),因为,D,，,E,分别为,AC,，,AB,的中点，,所以,DE,BC,.,又因为,DE,平面,A,1,CB,，,BC,平面,A,1,CB,，,所以,DE,平面,A,1,CB,.,(2),由已知得,AC,BC,且,DE,BC,，所以,DE,AC,.,所以,DE,A,1,D,，,DE,CD,，又,A,1,D,DE,D,，,所以,DE,平面,A,1,DC,.,而,A,1,F,平面,A,1,DC,，所以,DE,A,1,F,.,又因为,A,1,F,CD,，所以,A,1,F,平面,BCDE,.,又,BE,平面,BCDE,所以,A,1,F,BE,.,(3),线段,A1,B,上存在点,Q,，使,A,1,C,平面,DEQ,.,理由如下：,如图，分别取,A,1,C,，,A,1,B,的中点,P,，,Q,，则,PQ,BC,.,又因为,DE,BC,，所以,DE,PQ,.,所以平面,DEQ,即为平面,DEP,.,由,(2),知，,DE,平面,A,1,DC,，所以,DE,A,1,C,.,又因为,P,是等腰三角形,DA,1,C,底边,A,1,C,的中点，,所以,A,1,C,DP,，又,DE,DP,D,，,所以,A,1,C,平面,DEP,.,从而,A,1,C,平面,DEQ,.,故线段,A,1,B,上存在点,Q,，使得,A,1,C,平面,DEQ,.,反思感悟,(1),解决探索性问题一般先假设其存在，把这个假设作已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算，在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在，如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在,(2),在处理空间折叠问题中，要注意平面图形与空间图形在折叠前后的相互位置关系与长度关系等，关键是点、线、面位置关系的转化与平面几何知识的应用，注意平面几何与立体几何中相关知识点的异同，盲目套用容易导致错误,(1),证明,在图,1,中，可得,AC,BC,2,，从而,AC,2,BC,2,AB,2,，,AC,BC,，,平面,ADC,平面,ABC,，平面,ADC,平面,ABC,AC,，,BC,平面,ABC,，,BC,平面,ADC,，又,AD,平面,ADC,，,BC,DA,.,(2),解,取,CD,的中点,F,，连接,EF,，,BF,，在,ACD,中，,E,，,F,分别为,AC,，,DC,的中点，,EF,为,ACD,的中位线，,AD,EF,，,又,EF,平面,EFB,，,AD,平面,EFB,，,AD,平面,EFB,.,